Wieso bewegen sich eigentlich Objekte in der gekrümmten Raumzeit so, wie sie es nach der Newtonschen Physik in einem Schwerefeld tun? Wie kommen da dieselben Bahnen zustande, wenn in der ART Objekte kräftefrei in der Raumzeit unterwegs sind? Im ersten Teil der Serie haben wir gesehen, wie Objekte Schwerefelder erzeugen bzw. den Raum krümmen. Im zweiten Teil habe ich dann erklärt wie sich ein Teilchen in der Newtonschen Physik bewegt und wie eine Bewegung im gekrümmten Raum aussieht. Heute bringen wir dann alles zusammen und verfolgen den Weg eines Teilchens in der gekrümmten Raumzeit.
Nochmal die Krümmungen
Beim letzten Mal hatten wir gesehen, dass auf einer gekrümmten Fläche scheinbare Beschleunigungen auftreten, die schlicht daher kommen, dass sich das Koordinatensystem von Ort zu Ort ändert. Dieses Bild hier (aus einem alten Artikel) illustriert das noch einmal sehr schön:
Ihr seht das übliche Koordinatennetz mit Längen- und Breitengraden. Der Abstand zwischen zwei Breitengraden ist immer gleich (111km – vom Äquator bis zum Nordpol sind es 10000km, zu teilen durch 90°). Der Abstand zwischen zwei Längengraden ist am Äquator auch 111km; aber je weiter man nach Norden kommt, desto kleiner wird er (und direkt am Nordpol ist er sogar Null). Beim letzten Mal haben wir gesehen, dass das dazu führt, dass der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten in dieser Darstellung eben keine Gerade ist, sondern gekrümmt. Nehmen wir an, ich möchte von einem Punkt auf dem 45. Breitengrad nach Osten fliegen. Der kürzeste Weg ist dann etwas gekrümmt:
Ich mache einen Umweg in Nord-Süd-Richtung, dafür gewinne ich etwas, weil der Weg in Richtung Osten etwas kürzer wird.
In meinem Standard-Koordinatensystem (Nord-Süd – Ost-West) muss ich, wenn ich den Weg berechnen will, eine Beschleunigung berücksichtigen, aber das ist nur eine Scheinbeschleunigung. Ein Auto mit einer starren Achse ohne jede Lenkung, das auf einer vollkommen glatten Erde losrollt, würde genau der grünen Kurve folgen.
Generell sind also (auf der Nordhalbkugel) kürzeste Bahnen zwischen zwei Punkten etwas Nordwärts gekrümmt. Ein Auto, das anfangs genau in Richtung Osten losfährt, bewegt sich deshalb nach kurzer Zeit immer weiter Richtung Süden:
Wie genau diese Bewegung aussieht, sagt mir die Gleichung für die Beschleunigung, die ich am Ende des letzten Teils erläutert habe und in die die aktuelle Geschwindigkeit und die Krümmung eingeht. Aber schauen wir ruhig noch ein wenig detaillierter hin. (Ihr könnt diesen Teil auch überfliegen, wenn euch die Details nicht so sehr interessieren.)
Wie genau geht die Krümmung ein? Das tut sie dadurch, dass sich die Abstände zwischen den Koordinatenlinien ändern, denn genau das verursacht ja die Abweichung von einer Geraden im Bild, bei der ein Weg, der anfangs nach Osten geht, immer weiter nach Süden “abknickt”. Es ist also relevant, wie sich die Abstände zwischen zwei Koordinatenlinien von Ort zu Ort ändern. (Hinweis für die Expertinnen: Deswegen geht in das Christoffelsymbol ja die Ableitung des metrischen Tensors ein.)
Wir haben hier unterschiedliche Möglichkeiten, welche Änderung wir betrachten wollen: Wir können die Abstände in Richtung West-Ost oder in Richtung Nord-Süd betrachten und schauen, wie die sich ändern, wenn wir in Nord-Süd- oder Ost-West-Richtung gehen. Die Abstände zwischen den Breitengraden ändern sich gar nicht, die zwischen den Längengraden ändern sich nur, wenn wir in Nord-Süd-Richtung gehen. (Allerdings Vorsicht am Äquator). Wenn wir wie im Bild oben genau nach Osten starten, dann sorgt die Änderung der Ost-West-Abstände in Nord-Süd-Richtung dafür, dass wir nach Süden abgelenkt werden. Im ersten Moment ändert sich dabei nur die Geschwindigkeitskomponente in Nord-Süd-Richtung, die in Ost-West-Richtung ändert sich im ersten Moment praktisch nicht. (Mathematisch liegt das natürlich an 
Wie groß ist die Änderung der Geschwindigkeit? Da der Großkreis, auf dem wir uns bewegen (die grüne Linie) immer derselbe ist, laufen wir die Linie schneller entlang, wenn wir eine höhere Geschwindigkeit haben. Zusätzlich müssen wir die Geschwindigkeit für jeden Meter, den wir die Linie entlang laufen, ja immer um denselben Winkel drehen, damit wir auf der Linie bleiben. Insgesamt geht die Geschwindigkeit also doppelt ein (wobei man sich im Detail über die jeweiligen Komponenten in den unterschiedlichen Richtungen machen müsste). Etwas vereinfacht können wir also folgende Formel aufstellen:
Änderung der Geschwindigkeit in Richtung x = Änderung des Maßstabs in Richtung x mal Geschwindigkeitskomponente mal Geschwindigkeitskomponente
(Dabei muss man auf der Rechten Seite eventuell mehrere Terme addieren, wenn sich unterschiedliche Richtungen im Maßstab in Richtung x ändern.)
Und in Formeln ist das genau die Formel, die ich letztes Mal in die mathematische Vertiefung verbannt hatte (mit dem richtigen Vorzeichen dank Hinweis in den Kommentaren):
(Anmerkung: die Erklärung ist ein bisschen vereinfacht, aber die Essenz sollte eigentlich stimmen.)
Einstein
So, jetzt können wir endlich anschauen, wie das ganze in der ART aussieht. In der ART haben wir es nicht bloß mit dem Raum zu tun, sondern mit der Raumzeit. Eine Geodäte ist deswegen immer eine Linie in der Raumzeit – sie verbindet zwei Punkte in der Raumzeit miteinander durch eine Linie. Nehmen wir beispielsweise an, ich werfe einen Ball hoch und fange ihn dann wieder auf, dann ist seine Bewegung im Raum eine gerade Linie (ein Linienstück rauf, eins wieder runter). Die Geodäte ist aber parabelförmig, weil ich Ort und Zeit betrachten muss:
Achtung, das hier ist keine herkömmliche Wurfparabel. Wenn ihr nen Ball wegwerft, folgt er einer Bahn im Raum, die auch so aussieht wie das Bild, aber hier ist die horizontale Achse die Zeitachse, der Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Wenn ihr ihn wegwerft (nicht bloß nach oben), dann braucht ihr drei Achsen, um die Geodäte in der Raumzeit zu zeichnen – zwei für den Raum und die dritte für die Zeit.
In der Newtonschen Physik spielte diese Unterscheidung keine große Rolle, weil der Weg für ein kräftefreies Teilchen von A nach B immer der gerade Weg war, ungeachtet seiner Geschwindigkeit. In der ART mit ihrer gekrümmten Raumzeit hängt der Weg von A nach B aber von der Geschwindigkeit ab, und die Bahn in der Raumzeit ist eine andere, wenn ich mit einer anderen Geschwindigkeit starte. Beim Werfen zum Beispiel hängt von der Anfangsgeschwindigkeit ab, wie hoch der Ball fliegt:
Diese Parabeln könnt ihr mit der Bewegungsgleichung nach Newton aus dem letzten Teil berechnen, das ist nicht schrecklich schwer und Schulstoff in Klasse 9 oder so. Dort hatten wir eine Gleichung, wo links die Beschleunigung, also die Änderung der Änderung des Ortes stand, rechts ein Term für das Schwerefeld (die Schwerebeschleunigung).
Mit Hilfe der ganzen Vorüberlegungen zu gekrümmten Räumen können wir jetzt direkt die selbe Logik wie oben anwenden (wobei ich für die Expertinnen gleich darauf hinweise, dass ich Dinge wie die Vorzeichen in der Metrik etc. nicht großartig diskutiere). Ich skizziere das Argument auch nur, weil es auf die Details nicht wirklich ankommt. Mir geht es ja darum zu zeigen, wie durch die Betrachtung der “Änderung des Maßstabs” am Ende das Newtonsche Gravitationsfeld wieder ins Spiel kommt.
Entscheidend in der Formel oben war ja die Frage nach der “Änderung des Maßstabs”. Im ersten Teil haben wir gesehen, dass sich mit der Höhe über dem Erdboden zum einen die Zeit ändert (also der Maßstab der Zeitkomponente), zum anderen ändert sich auch die Länge in dieser Richtung (der Weg zum Beispiel geradewegs durch die Sonne hindurch ist länger, als er es wäre, wenn die Sonne die Raumzeit nicht krümmen würde).
Es gibt eine Beschleunigung in der Richtung, in der sich die Maßstäbe ändern – da sich die Maßstäbe nur in der Richtung der Höhe ändern (aber nicht wenn wir nach Ost-West oder Nord-Süd gehen), gibt es nur eine Beschleunigung in dieser Richtung. (Weil die radial von der Masse in der Mitte wegzeigt, nennt man das auch die radiale Richtung.) Das passt schon mal gut zur Newtonschen Theorie – auch da zeigt die Beschleunigung ja immer hin zur Masse, die das Schwerefeld erzeugt.
In die Formel geht ja außerdem das Produkt der Geschwindigkeiten ein.Dabei spielen die Komponenten der Geschwindigkeit eine Rolle, die in die Richtung zeigen, in der wir die Maßstäbe anschauen. (Man kann sich hier leicht verwirren – wir können räumliche und zeitliche Maßstäbe betrachten und uns fragen wie die sich räumlich und zeitlich ändern.) Bei der Änderung des räumlichen Maßstabs ist also die Geschwindigkeit in radialer Richtung entscheidend . Bei der Änderung des zeitlichen Maßstabs geht dann entsprechend die Zeitkomponente der Geschwindigkeit ein. Seit wann hat eine Geschwindigkeit eine Zeitkomponente? Laut spezieller Relativitätstheorie muss sie die haben; für Teilchen, die sich sehr langsam bewegen (im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit), ist diese Komponente gleich der Lichtgeschwindigkeit. (Wikipedia hat dazu eine “anschauliche Interpretation”, die ist aber nicht ganz unproblematisch – ihr könnt auch auf der Diskussionsseite bei Wikipedia gucken, wenn ihr wissen wollt, wo da das Problem steckt. Das zu diskutieren, wäre wohl einen eigenen Blogtext wert, aber nicht heute. Für heute bitte ich euch, das einfach mal so zu akzeptieren.)
Wir haben jetzt also die Änderung des räumlichen Maßstabs, die zweimal mit der gewöhnlichen Geschwindigkeit in der radialen Richtung multipliziert wird, und die Änderung des zeitlichen Maßstabs, die zweimal mit der “Geschwindigkeit in Zeitrichtung” (der Lichtgeschwindigkeit) multipliziert wird. Weil die normale Geschwindigkeit hier (wir machen ja die Näherung nach Newton) klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit, ist der erste der beiden Terme sehr klein und kann ignoriert werden. Übrig bleibt also nur die Änderung des zeitlichen Maßstabs (die Zeitdilatation) als Funktion der Höhe, zweimal multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit. (Und das ist genau der Grund, warum ich im ersten teil gesagt habe, dass wir uns über die Änderung des räumlichen Maßstabs am Ende nicht kümmern müssen.)
Im ersten Teil habe ich gesagt, dass die Zeitdilatation gegeben ist durch 
Wir müssen jetzt die räumliche Änderung dieses zeitlichen Maßstabs anschauen – und das ist gerade die räumliche Änderung des Gravitationspotentials, geteilt durch c². Das c² verschwindet, weil wir ja noch die Zeitkomponente der Geschwindigkeit zweimal dranmultiplizieren müssen, bleibt also die räumliche Änderung des Gravitationspotentials übrig. (Der Faktor 2 macht sich in der korrekten Rechnung an geeigneter Stelle auch noch vom Acker.)
Das Gravitationspotential hatte ja die Formel
wenn ihr im Abstand R von der Masse M seid. Dessen räumliche Änderung bekommt man mathematisch durch ableiten; falls ihr die Regeln dafür noch könnt, könnt ihr es selbst nachrechnen, ansonsten dürft ihr mir das Ergebnis auch glauben. Es lautet:
Und das ist – voila – genau die Schwerebeschleunigung, die eine Masse M im Abstand R verursacht.
Nochmal die Gedankenkette im Schnelldurchlauf ohne die ganzen Details (denn nur um die Idee geht es ja hier): Die Beschleunigung in radialer Richtung ist bestimmt durch die Änderung der Zeit mit dem Abstand von der Masse (also mit der Höhe). In die geht aber genau das Newtonsche Gravitationspotential ein. Deshalb ist die kürzeste Linie zwischen zwei Raumzeitpunkten eine, auf der die Beschleunigung gerade der Schwerebeschleunigung nach Newton entspricht; nicht, weil da irgendwo eine “Kraft” eingeht, sondern weil das, was in der Newtonschen Physik das Gravitationspotential ist, sich in der ART als Term in der Zeitdilatation wiederfindet.
War euch das zu abgehoben und abstrakt? Dann schauen wir uns die Sache nochmal auf eine andere Weise an, damit es klarer wird.
Die maximale Eigenzeit
Wenn ihr euch nochmal an die Bewegung auf der Kugel erinnert, dann gab es dort zwei Möglichkeiten, um eine kräftefreie Bahn (also die Bewegung auf einem Großkreis) zu charakterisieren: Ihr könnt die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten betrachten, oder ihr könnt an einem Ort in einer bestimmten Richtung losmarschieren. Beide Möglichkeiten legen eine Geodäte auf der Kugel eindeutig fest. (Mathematisch liegt das daran, dass ihr es mit einer Differentialgleichung 2. Ordnung zu tun habt, die braucht zwei Randbedingungen.)
Bei einer Bewegung in der Raumzeit der ART gilt dasselbe Prinzip. Eben haben wir die Bewegungsgleichung verwendet – die beruht darauf, dass ihr wisst, wann und wo ihr startet und welche Geschwindigkeit ihr habt. Dann könnt ihr zu jedem Zeitpunkt die Beschleunigung ausrechnen und damit die Bahn verfolgen.
Alternativ könnt ihr euch aber auch fragen: “Welche Geodäte verbindet zwei unterschiedliche Raumzeitpunkte?” Also, in etwas alltäglicherer Sprache ausgedrückt: Welche Bahn muss ein Objekt nehmen, auf das nur die Schwerkraft wirkt, um vom Ort A in einer bestimmten zeit zum Ort B zu kommen. Wenn ihr nochmal oben auf das Bild der Parabeln schaut, seht ihr, dass die Bahn, die der nach oben geworfene Ball nimmt, eindeutig festliegt, wenn ihr wisst, wie lange der Abstand zwischen Hochwerfen und Auffangen sein soll.
Diese Geodäte lässt sich auf folgende Weise festlegen: Stellt euch vor, der Ball hätte eine kleine Uhr bei sich. Während er sich im “Schwerefeld” (also der gekrümmten Raumzeit) herumbewegt, wird der Gang dieser Uhr auf zwei Weisen beeinflusst: Zum einen dadurch, dass die Zeit ja in unterschiedlicher Höhe unterschiedlich schnell läuft, zum anderen dadurch, dass für ein schnell bewegtes Objekt die Zeit ja nach der speziellen Relativitätstheorie etwas langsamer läuft. Insgesamt ist die Geodäte diejenige Bahn in der Raumzeit, bei der die Zeit, die für den Ball vergeht, maximiert wird. (Und man kann mathematisch zeigen, dass das äquivalent zur Bewegungsgleichung ist, die wir oben aufgestellt haben, ähnlichwie die Geodäte auf der Kugel einerseits die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist und andererseits die Kurve, der ein Objekt folgt, dass an einem bestimmten Ort in eine bestimmte Richtung losrollt.) Das ist das “Prinzip der maximalen Eigenzeit”, das ich etwas ausführlicher auch hier erklärt habe.
Vergleicht noch einmal die beiden Bilder der Geodäten auf der Kugel und in der Raumzeit:
Die Bahn im Bild links ist nach oben gekrümmt, weil dort die Abstände in Ost-West-Richtung zwischen den Längegraden kleiner werden, dafür müssen wir einen kleinen Nord-Süd-Umweg in Kauf nehmen. Zu weit nach oben gekrümmt darf die Bahn deshalb nicht sein, sonst wird der Nord-Süd-Umweg zu groß. Die Bahn rechts ist gekrümmt, weil in größerer Höhe die Zeit etwas schneller verläuft (und der hochgeworfene Ball soll ja die maximale Eigenzeit bekommen). Zu weit nach oben kann der Ball aber nicht fliegen, dann wird seine Geschwindigkeit zu groß (er soll ja nach festgelegter Zeit wieder ankommen), und die Zeitdilatation der SRT schlägt zu. Die Logik ist also in beiden Fällen ziemlich ähnlich.
Objekte, auf die in der ART keine Kräfte wirken (die sich also in der gekrümmten Raumzeit bewegen) folgen also Bahnen, auf denen die Eigenzeit maximiert wird. So zumindest wird es gern formuliert, die Formulierung ist so aber etwas unsauber, wie man leicht merkt, wenn man sich folgende Frage stellt: “Warum fallen Objekte eigentlich nicht nach oben?”
Klingt verrückt? Objekte sollten doch wohl nach unten fallen. Aber wenn ihr euch vorstellt, das ein Objekt seine Geodäte so “sucht”, dass es seine Eigenzeit maximiert, dann wäre es doch sinnvoll, statt nach unten nach oben zu fallen, denn oben geht die Zeit schneller und ich bekomme “mehr” Eigenzeit. Wenn man so argumentiert, vergisst man aber, dass das Prinzip der maximalen Eigenzeit in dieser einfachen Form nur angewandt werden darf, wenn ich Anfangs- und Endpunkt festlege.
Gehen wir nochmal kurz zurück zur Kugeloberfläche: Wenn ihr zwei einigermaßen dicht benachbarte Punkte auf der Kugeloberfläche (wie immer auf der Nordhalbkugel) betrachtet und euch fragt “was ist der kürzeste Weg zwischen beiden”, dann ist dieser Weg immer leicht in Richtung Norden gekrümmt. Wenn ihr analog zwei benachbarte Raumzeitpunkte betrachtet und euch fragt “was ist der Weg maximaler Eigenzeit zwischen den beiden”, dann ist die Geodäte immer nach oben gekrümmt. Wenn ihr deshalb auf der Kugel genau in Richtung Osten startet, dann bewegt ihr euch entsprechend zwangsläufig nach einer Weile nach Süden, das Bild dazu gab’s oben schon:
Um beim Weg nach Osten nach einer Weile wieder auf gleicher Höhe zu sein, müsst ihr am Anfang etwas nach Norden fliegen.
Und genauso gilt, wenn ihr in einem Schwerefeld in der gekrümmten Raumzeit im Raum-Zeit-Diagramm in horizontaler Richtung startet (ihr habt also keine Geschwindigkeit und seid anfänglich in Ruhe), dann bewegt ihr euch zwangsläufig nach unten:
Um nach kurzer Zeit wieder auf gleicher Höhe zu sein, müsst ihr am Anfang entsprechend nach oben fliegen.
Und genau deswegen fallen Dinge nach unten und nicht nach oben, auch wenn das Prinzip der maximalen Eigenzeit etwas anderes zu suggerieren scheint.
Fazit
Wie üblich ist der Artikel viiieeel länger geworden als gedacht – dass gleich drei Teile einer Serie draus werden, hatte ich am Anfang wirklich nicht erwartet. Am Ende zeigt sich aber, dass man in der ART tatsächlich (wenn man hinreichend viele Effekte vernachlässigt) die Bewegung genau so herausbekommt, wie sie auch bei Newton stand. Entscheidend dabei ist, dass die zeit in größerem Abstand von einer Masse etwas schneller verläuft. Das führt dazu, dass Geodäten “nach oben” gekrümmt sind. Die Bewegungsgleichung, die am Ende herauskommt, ist in beiden Fällen dieselbe. Bei Newton sind es Kräfte, die Beschleunigungen verursachen, in der ART ist es die Krümmung der Raumzeit (ganz analog zur Krümmung der Kugel, die unsere Geodäten auf der Landkarte krümmt). Die Verbindung zwischen beiden kommt dadurch zu Stande, dass in der Formel für die Zeitdilatation derselbe mathematische Ausdruck drinsteckt wie in der Newtonschen Formel für das Gravitationspotential.
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