Wenn man öfter mal was über die Allgemeine Relativitätstheorie (kurz ART) schreibt, so wie ich, dann steht man früher oder später vor einem Problem: Die berühmte Einsteingleichung der ART hat auf der rechten Seite ein seltsames Objekt stehen. So sieht diese Gleichung aus (in Einheiten, bei denen die Lichtgeschwindigkeit und die Gravitationskonstante 1 sind, mache ich hier so, weil es heute nicht um diese Gleichung geht)
Das G auf der linken Seite ist eine Größe, die die Krümmung der Raumzeit beschreibt. Auf der rechten Seite steht das, was die Ursache für diese Raumzeitkrümmung ist: Der Energie-Impuls-Tensor T. Den zu erklären ist leider ziemlich knifflig, deswegen habe ich mich bisher immer davor gedrückt. Heute versuche ich es mal (und bin für jedes Feedback, wie gut das geklappt hat, sehr dankbar).
Gehen wir erst mal zurück zur Physik nach Newton. Das Newtonsche Gravitationsgesetz sagt, dass sich zwei Körper anziehen, und zwar mit einer Kraft, die proportional zu ihren Massen ist. Danach ist also die Masse die Ursache der Gravitation.
Schaut man etwas genauer hin (und das tun wir heute), dann kann man sich natürlich fragen “Welche Masse denn?”. Die Erde ist ja zum beispiel ziemlich groß – nehme ich die ganze Masse der Erde als eine einzige Masse, oder müsste es nicht so sein, dass ich, wenn ich neben einem Berg stehe, auch ein bisschen von diesem Berg angezogen werde? Richtig, das muss so sein (und ist auch tatsächlich sogar ein messbarer, wenn auch sehr kleiner Effekt). Wir müssen also die Masse der Erde irgendwie aufteilen.
Dazu können wir die Erde (bitte nur gedanklich, wir wollen hier ja noch ne Weile wohnen) in kleine Stückchen teilen. Machen wir jedes Stück einen Kubikzentimeter groß, dann hat es (im Mittel) eine Masse von etwas mehr als 5 Gramm – im Erdkern etwas mehr, an der Erdoberfläche etwas weniger.Wir brauchen natürlich ziemlich viele solcher Stücke (so etwa eine Milliarde Milliarde Milliarde, wenn ich das gerade im Kopf richtig abgeschätzt habe (sowas mache ich immer beim Duschen…)), aber da wir das ja nur gedanklich tun, spielt das keine Rolle.
Wir haben jetzt also lauter kleine Würfelchen, von denen jeder ein bisschen Schwerkraft erzeugt. Greifen wir mal einen der Würfel heraus. Ein Stück von dem Würfel entfernt messen wir ein bestimmtes Schwerefeld, das durch diesen Würfel hervorgerufen wird (und das ziemlich schwach ist). Wir können jetzt den Würfel nochmal gedanklich zerteilen, beispielsweise in 8 kleinere Würfel mit jeweils einem halben Zentimeter Kantenlänge. Der Effekt der 8 kleinen Würfel muss dann logischerweise derselbe sein wie der des einen größeren Würfels. Jeder der kleinen Würfel hat natürlich auch nur ein Achtel der Masse des großen Würfels, weil er nur ein Achtel des Volumens hat. Dafür haben wir ja auch 8 Stück davon.
Wenn ich mich frage, welche Schwerkraft von einem sehr kleinen Teil der Erde erzeugt wird, dann kann ich das Spiel immer weiter treiben. Je kleiner ich die Würfel mache,desto kleiner ist ihre Masse, aber es gibt auch immer mehr davon. Die Größe, auf die es ankommt, ist deshalb die Masse pro Volumen. Der größere Würfel hatte ne Masse von etwa 5 Gramm, verteilt auf einen Kubikzentimeter; die kleineren Würfel haben ne Masse, von einem Achtel davon, verteilt auf nen Achtel Kubikzentimeter.
Möchte man also Punkt für Punkt herausfinden, wie groß die von diesem gerade betrachteten Raumpunkt erzeugte Schwerkraft ist, dann ist die entscheidende Größe dafür die Masse pro Volumen – mit anderen Worten, die Dichte (folgt dem Link für eine sehr ausführliche Diskussion der Dichte, das Konzept ist nicht so trivial, wie gern behauptet wird). Die Dichte hat den Vorteil, dass wir sie (zumindest mathematisch, real besteht die Welt aus Atomen) an jedem Punkt definieren können, und mit den richtigen mathematischen Werkzeugen (nämlich der Differential- und Integralrechnung) bekommt man damit die Berechnung der Schwerkraft relativ problemlos in den Griff.
In der Newtonschen Physik kann man die Gleichung für die Schwerkraft ähnlich schreiben wie die Einstein-Gleichung oben:
Auf der linken Seite steht eine Größe, die mit der Energie zusammenhängt (das Gravitationspotential 
Entsprechend kann man diese Gleichung lesen als “Die Dichte verursacht das Gravitationspotential” oder, etwas vornehmer ausgedrückt, “Die Dichte ist die Quelle der Gravitation”.
Ihr seht schon eine gewisse Ähnlichkeit zur Einsteingleichung oben – links steht eine Größe, die was mit der Schwerkraft zu tun hat (in der ART ist das die Raumzeitkrümmung), rechts steht das, was dafür sorgt, dass die linke Seite der Gleichung nicht Null ist. Bei Newton gilt also ganz klar “Ohne Masse (oder Dichte) keine Schwerkraft”.
Warum sieht die Einstein-Gleichung nicht genauso aus? Warum steht da auf der rechten Seite das ominöse T, und nicht einfach auch die Dichte? Die Dichte ist nach Newton verantwortlich für die Schwerkraft, ganz anders kann es bei Einstein in der ART ja auch nicht sein. Warum kann die Gleichung der ART also nicht von der Form “Raumzeitkrümmung = Vorfaktor mal Dichte” sein. (Wobei man darüber nachdenken müsste, welche Größe da links genau stehen soll, um die Raumzeitkrümmung zu kennzeichnen, aber heute liegt der Fokus wie gesagt auf der rechten Seite der Gleichung.)
Um das zu sehen, müssen wir einen kleinen Umweg machen – nämlich den über die Spezielle Relativitätstheorie (SRT).
Die SRT beruht auf zwei Prinzipien:
- Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Bezugssystemen dieselbe.
- Die Gleichungen der Physik haben in allen Bezugssystemen dieselbe Form.
Über Feinheiten (wie die Frage, was genau ein “Bezugssystem” ist) müssen wir hier nicht diskutieren. Für heute reicht es, einfach davon auszugehen, dass ihr euch in einem sinnvollen Bezugssystem befindet, wenn keine Kräfte auf euch wirken. Jemand anders, der sich relativ zu euch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, aber auf kräftefrei ist, sitzt in einem anderen Bezugssystem. Das zweite Prinzip sagt jetzt, dass es einen mathematisch einfachen und konsistenten Weg geben muss, die Gleichungen der Physik so zu schreiben, dass sie für euch beide gleich aussehen.
Ein einfaches Beispiel macht das vielleicht deutlicher. Denkt euch ein Koordinatensystem, beispielsweise auf der Erde. Ihr könnt die Achsen eures Koordinatensystems so wählen, dass ihr alles entlang der Ost-West- und der Nord-Süd-Achsen beschreibt. Eine Bewegung mit einer Geschwindigkeit von 10km/h nach Osten könnt ihr dann schreiben als (10km/h, 0km/h) – ein Geschwindigkeitsvektor. Ich wähle meine Koordinatenachsen anders, beispielsweise in Nordost- und Südost-Richtung, also um 45° gegen eure Achsen gedreht. Für mich hat die Bewegung entlang der Ost-West-Richtung dann (je nachdem, wie ich die Vorzeichen wähle), die Form (7km/h, 7km/h), wobei ich die Zahlen leicht gerundet habe. Mathematisch ist es kein Problem, die Geschwindigkeit von eurem Bezugssystem in meins umzurechnen, das erledigt man durch eine Drehung des Koordinatensystems, für die es eine einfache mathematische Vorschrift gibt.
Entsprechend darf der Vektor der Geschwindigkeit in physikalische Gleichungen eingehen – er verhält sich mathematisch brav, wenn man das Bezugssystem wechselt. Auch die Länge des Vektors ist eine zulässige Größe – die absolute Geschwindigkeit ist in jedem Bezugssystem für das Beispiel eben 10km/h – in eurem Bezugssystem sieht man das sofort, in meinem muss ich den Satz des Pythagoras bemühen: 7²+7²=10² (wieder leicht gerundet).
Es gibt aber auch Größen, die sich nicht ohne weiteres zwischen eurem und meinem Bezugssystem umrechnen lassen. Nehmt beispielsweise an, ihr nehmt die Ost-West-Komponente einer Geschwindigkeit und addiert dazu die Nord-Süd-Komponente. Das könnt ihr für jede beliebige Geschwindigkeit tun (beispielsweise ergibt sich 20km/h, wenn ihr eine Geschwindigkeit mit Komponenten (15km/h, 5km/h) reinsteckt). Nehmt an, ihr wollt ein physikalisches Gesetz aufstellen, in dem diese Größe (die Summe der beiden Geschwindigkeitskomponenten) auftaucht. Das kann nicht funktionieren, denn die Vorschrift “Bilde die Summe aus den beiden Komponenten” führt in unterschiedlichen Bezugssystemen zu unterschiedlichen Ergebnissen.
Ein physikalisches Gesetz der Art “Die Energie hängt von der Summe der Geschwindigkeitskomponenten ab” kann es nicht also geben, weil dieses Gesetz in dieser Form nicht in allen Bezugssystemen gelten würde. Natürlich kann man ausrechnen, wie die Summe der Geschwindigkeitskomponenten in einem anderen Bezugssystem aussieht, aber in diesem anderen Bezugssystem hat das Gesetz dann eben eine andere (und kompliziertere) Form. (Ich kann natürlich ne Gleichung hinschreiben, mit der ich erst aus meinem Bezugssystem in eures umrechne und dann den Wert ausrechne – aber dann ist euer Bezugssystem ein besonderes, und genau das soll nach dem 2. Prinzip oben nicht sein.)
Das zweite der Prinzipien oben sagt genau das: in physikalischen Gleichungen dürfen nur solche Größen auftauchen dürfen, die sich so ineinander umrechnen lassen, dass die Gleichungen dieselbe Form haben und kein Bezugssystem irgendwie ausgezeichnet ist. Warum das wichtig ist? Weil wir gleich sehen werden, dass die Dichte eine Größe ist, die sich eben nicht ohne weiteres von einem Bezugssystem in ein anderes umrechnen lässt.
Da die Dichte gleich der Masse pro Volumen ist, schauen wir erst mal, was aus der Masse wird, wenn man von einem Bezugssystem in ein anderes wechselt. Genauer gesagt, schauen wir nicht auf die Masse, sondern auf die Energie. Warum? Weil nach Einsteins berühmter Gleichung E=mc² Masse und Energie zusammenhängen. Da ich die Gleichung vor noch nicht so langer Zeit sehr detailliert erklärt habe (guckt ihr hier, hier und hier), mache ich das heute nicht nochmal.
Schaut man sich die Energie eines Objekts an (und Masse ist ja äquivalent zur Energie), dann ist die gleich der Ruhemasse des Objekts plus seiner kinetischen Energie. In unterschiedlichen Bezugssystemen hat sie entsprechend einen unterschiedlichen Wert; der Wert ist am kleinsten, wenn wir relativ zum Objekt in Ruhe sind. Das zeigt schon, dass wir nicht einfach den Energiegehalt in unserer Gleichung stehen haben können – denn wenn wir wissen, dass ein Objekt einen Energiegehalt von 1MJ hat, dann können wir daraus nicht ausrechnen, welchen Energiegehalt es in einem anderen Bezugssystem hat, dazu müssen wir auch noch etwas über die Geschwindigkeit des Objekts wissen.
Etwas anderes wäre es, wenn nur die Ruhemasse eines Objekts in das Gravitationsfeld einginge (denn die ist immer dieselbe) – das würde aber zu Problemen führen. Wir könnten uns beispielsweise einen perfekt verspiegelten Behälter vorstellen, in dem ein Elektron und ein Positron stecken. Da beide eine Ruhemasse haben, erzeugen sie auch ein Schwerefeld. Wenn Elektron und Positron sich gegenseitig vernichten, erzeugen sie zwei Photonen. (Damit die im Behälter bleiben, habe ich die Wände verspiegelt.) Da die Photonen keine Ruhemasse haben, würden sie kein Schwerefeld erzeugen. Separieren die beiden wieder in ein Elektron und ein Positron, ist das Schwerefeld wieder da. (Mit etwas Geschick könnte man damit ein Perpetuum Mobile bauen, indem man eine Masse immer passend relativ zum Behälter bewegt.) Wir könnten also Schwerefelder an- und ausknipsen (und nebenbei noch die Energieerhaltung verletzen) – das geht in unserem Universum nicht.
Um den Energiegehalt eines Objekts zu beschreiben, brauchen wir also eine Größe, in die auch die Geschwindigkeit eingeht, den die Energie nimmt ja mit der Geschwindigkeit zu. Eine solche Größe gibt es, nämlich den sogenannten Viererimpuls. Das ist eine Größe mit 4 Komponenten (so wie unser Geschwindigkeitsvektor oben 2 Komponenten hatte). Die nullte Komponente (ja, man fängt da immer bei Null an zu zählen) ist gerade die Energie des Objekts, die anderen drei sind der (relativistische) Impuls, der ja drei Komponenten für die drei Raumrichtungen hat. (In der klassischen Physik ist der Impuls definiert als Masse mal Geschwindigkeit; nimmt man die Ruhemasse, dann kommt in der SRT noch ein Faktor hinzu, das erkläre ich im zweiten Teil der oben zitierten Artikel über die Gleichung E=mc², und dieser Artikel wird eh schon wieder endlos (liest überhaupt noch wer mit? (Irgendwann schreibe ich mal nen Artikel, wo ab der 4. Seite nur noch lorem ipsum kommt…).))
Nebenbemerkung: Dass eben nicht nur die Energiedichte am Ende eingehen muss, sondern auch der Impuls, kann man noch anders begründen: Stellt euch vor, ein kleines Teilchen fliegt mit sehr hoher Geschwindigkeit an euch vorbei. Dann ist sein Energiegehalt sehr hoch, wenn es nur schnell genug ist, müsste es also zu einem Schwarzen Loch werden, weil es eine so hohe (relativistische) Masse hat. Logischerweise kann es aber nicht davon abhängen, wie ich mich zu einem Objekt bewege, ob das Objekt ein Schwarzes Loch ist. Das Problem wird dadurch gelöst, dass eben noch andere Terme in die Einstein-Gleichung eingehen, die der hohen Energiedichte gewissermaßen entgegenwirken.
Also: Der Viererimpuls, die die Energie und den Impuls eines Teilchens beinhaltet, ist die Größe, die einerseits die Energie enthält und andererseits so aufgebaut ist, dass sie sich vernünftig zwischen zwei Bezugssystemen transformiert. Also könnte doch der Viererimpuls auf der rechten Seite unserer Gleichung stehen, oder?
Leider nicht. Denn jetzt kommt die Dichte ins Spiel. Betrachtet einen Haufen Teilchen, die alle relativ zueinander in Ruhe sind. Jedes der Teilchen hat eine Masse, alle zusammen sorgen für eine bestimmte Dichte. Wenn ihr euch jetzt relativ zum Teilchenhaufen bewegt, dann nimmt bei jedem Teilchen die Energie zu – das erfassen wir korrekt über den Viererimpuls. Es passiert aber noch etwas: Laut der SRT gibt es ja die berühmte Lorentz-Kontraktion – bewegte Objekte erscheinen verkürzt. Wenn ihr euch relativ zu dem Teilchenhaufen bewegt, sieht er verkürzt aus. Und wenn die gleiche Anzahl Teilchen in einer Richtung verkürzt ist, dann steigt logischerweise die Dichte (gemeint ist die Energiedichte, um die geht es ja) an.
Die Dichte eines Teilchenhaufens nimmt also gleich aus zwei Gründen zu: zum einen wegen der kinetischen Energie, zum anderen wegen der Längenkontraktion. Um das in eine Form zu bringen, die sich von einem Bezugssystem ins andere sinnvoll übertragen lässt, müssen wir wieder das gleiche Spiel spielen wie eben. (Ich kürze das Argument etwas ab, um es ganz sauber zu machen, müsste ich auch noch die Vierergeschwindigkeit erklären, aber das tue ich vielleicht ein andermal.)
Wir müssen also wieder überlegen, wie sich eine Größe finden lässt, die die (Energie-)dichte als eine Koponente enthält und die sich vernünftig von einem Bezugssystem in ein anderes umrechnen lässt, ohne dass man irgendwas über das Ruhesystem der beteiligten Masse oder so etwas wissen muss. Wieder muss die Energiedichte sich korrekt umrechnen lassen, ebenso auch die anderen Größen (die man als “Impulsdichte” bezeichnen kann). Und tatsächlich funktioniert die Logik praktisch genauso wie vorher. (Falls euch das zu schwammig ist, hinterlasst nen Kommentar, dann schreibe ich dazu vielleicht demnächst noch mehr.)
Das Gebilde, das herauskommt,enthält jetzt die Geschwindigkeit der Materie gleich zweimal, einmal, weil wir von der Energie zum Impuls gewechselt sind, und noch ein zweites mal, damit auch für die Dichte am Ende alles funktioniert. Am Ende kommt dann dieses Gebilde hier heraus (“momentum” ist englisch für Impuls)
By Maschen, based on File:StressEnergyTensor.svg created by Bamse – Own work, CC0, Link
Und genau dieses Ding ist der berühmt-berüchtigte Energie-Impuls-Tensor.
Warum man einige seiner Komponenten als Druck oder Spannung interpretieren kann, erkläre ich jetzt erst mal nicht, das wäre einen eigenen Text wert. Hier ging es mir nur darum, zu erklären, warum man in einer Theorie, die mit der SRT vereinbar sein soll, nicht einfach eine Masse als Ursprung der Schwerkraft stehen haben kann.
PS: Aus Gründen, die ich im Moment nicht näher erläutere, bin ich für Kommentare, in denen ihr sagt, wo es beim Lesen gehakt hat, diesmal besonders dankbar.
PPS: Im Energie-Impuls-Tensor steht der “Impulsstrom” (momentum flux). Falls ihr in der Schule das ausgesprochene Unglück hattet, Physik nach dem “Karlsruher Modell” zu lernen, habt ihr auch eine Größe namens “Impulsstrom” kennengelernt. Die hat allerdings den Nachteil, dass sie unphysikalisch ist: Wie Impuls von wo nach wo strömen, hängt in diesem Modell nämlich vom Bezugssystem ab; ihr könnt zwei identische Objekte mit ner Feder verbinden und ständig strömt Impuls von einem zum anderen. Kurz gesagt: Das Karlsruher Modell taugt nichts. Nachtrag: Die Situation ist anscheinend verworrener, als ich dachte, siehe die Kommentare unten. Ich halte den KPK nach wie vor für verfehlt, aber das Argument mit dem Impulsstrom ist nicht ganz so simpel, wie ich es dargestellt habe
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