Laut diesem Beispiel wäre ich also hauptsächlich “nicht sehr jung” – aber immerhin noch ein bisschen “jung” und kleines bisschen “sehr jung”. Und auch wenn ichs lieber anders hätte – das Ergebnis beschreibt die Realität doch einigermassen gut. Mit 31 Jahren bin ich zwar noch nicht alt – aber definitiv nicht mehr “jung” oder “sehr jung” – es sei denn, man vergleicht mich mit deutlich älteren Menschen.

Mit Fuzzy-Logik kann man also erstens auch logische Zwischenstufen mathematisch korrekt beschreiben und zweitens kann ein Objekt gleichzeitig (mit verschiedenen Graden der Mitgliedschaft) Mitglied in mehreren Gruppen sein. Also genau das, was man braucht um das Problem der erdnahen Asteroiden zu lösen!


Eine unscharfe Beschreibung der erdnahen Asteroiden

Will man mit Fuzzy-Gruppen arbeiten muss man zuerst mal eine vernünftige Definition finden und dann ebenfalls vernünftige Mitgliedschaftsfunktionen aufstellen.

Natürlich gibt es unzählige Möglichkeiten, Fuzzy-Gruppen zu definieren. Ich habe mich dazu entschieden, Gruppen aufzustellen, die auf der Tatsache basieren, dass die erdnahen Asteroiden sehr oft sehr nahe an die Planeten herankommen. Ich habe also folgende Klassen definiert:

  • Asteroiden die mit der Venus kollidieren können
  • Asteroiden die mit der Erde kollidieren können
  • Asteroiden die mit dem Mars kollidideren können

So wie im obigen Beispiel das Alter die Grundlage für die Berechnung des Grads der Mitgliedschaft war bietet sich hier natürlich die Anzahl der nahen Begegnungen zwischen Asteroid und Planet als Parameter an. Ein Asteroid der beispielsweise der Erde überhaupt nie sehr nahe kommt kann auch nicht wirklich mit der Erde kollidieren und sollte daher kein Mitglied der entsprechenden Gruppe sein. Je mehr nahe Begegnungen es allerdings gibt, desto größer sollte auch der Grad der Mitglieschaft sein – denn desto größer ist auch die Möglichkeit einer Kollision!

Ich habe also die Bahnen aller bekannten erdnahen Asteroiden für eine halbe Million Jahre simuliert und nachgesehen, wieviel nahe Begegnungen es zwischen Asteroiden und Planeten im Durchschnitt gibt. Aus dieser Verteilung lässt sich dann die entsprechende Mitgliedschaftsfunktion berechnen.

Mit diesen Mitgliedschaftsfunktionen können die Asteroiden nun klassifiziert werden und jedem Objekt kann der Grad der Mitgliedschaft zu den verschiedenen Gruppen zugewiesen werden. Die Ergebnisse kann man sich hier ansehen (die Gruppen die ich hier beschrieben habe heissen dort G2, G3 und G4).

Was fängt man nun mit diesen Fuzzy-Gruppen an? Da hat man jetzt viele Möglichkeiten – eine davon sind sogenannte “Alpha-Cuts”. Ein Alpha-Cut ist eine Teilmenge einer Fuzzy-Menge. Man definiert einen bestimmten Grad der Mitgliedschaft (“alpha”) und nimmt aus einer Fuzzy-Menge alle Objekte heraus, deren Grad der Mitgliedschaft größer als dieser Wert ist. Ich kann zum Beispiel die Gruppe der Asteroiden die mit der Erde kollidieren können nehmen und alle Asteroiden heraussuchen, deren Grad der Mitgliedschaft größer als 0,9 ist – all diejenigen Objekte die besonders “stark” zu dieser Gruppe gehören. Diese Asteroiden haben also eine gemeinsame Haupteigenschaft – aber alle haben ja auch noch einen bestimmten Grad der Mitgliedschaft zu den anderen Gruppen! Diese Zusammenhänge kann man nun analysieren und bekommt dann zum Beispiel so eine Grafik:

i-4156097a3c263264c4009538e74043d4-neasres.jpg

Die drei Ellipsen repräsentieren drei Alpha-Cuts in denen jeweils alle Asteroiden versammelt sind, die mit einem Grad der Mitgliedschaft größer als 0,9 zu den drei Fuzzy-Gruppen gehören. Nun kann es aber vorkommen, dass ein Asteroid zu zwei oder auch drei verschiedenen Alpha-Cuts gehört. Die Pfeile zeigen also an, wieviel Asteroiden der einen Gruppe jeweils auch zur anderen Gruppe gehören. Man sieht hier deutlich, dass die Gruppe der Asteroiden die mit der Erde kollidieren können hier dominiert. Sie hat nicht nur die meisten Mitglieder; auch Asteroiden aus den anderen Alpha-Cuts gehören wesentlich öfter zu dieser Gruppe als umgekehrt.


Kollisionen mit der Erde

Was kann man daraus schließen? Nun, erstmal, dass es möglich ist quantitative Aussagen über die Langzeitdynamik von Gruppen von erdnahen Asteroiden zu machen – das ursprüngliche Problem ist also gelöst!

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Kommentare (10)

  1. #1 Fischer
    19. August 2008

    *Warum das so ist überlasse ich den Leserinnen und Lesern als Hausaufgabe*

    ist die Anzahl der Asteroiden möglicherweise in etwa proportional zum Abstand zur Sonne? Dann wäre es wirklich recht simpel.

  2. #2 florian
    19. August 2008

    @Fischer: Ne, das ist nicht die Antwort 😉 Es gibt zwar Abstandsgesetze bei denen die Zahl der Asteroiden mit dem Abstand zur Sonne korreliert wird – aber für die ernahen Asteroiden gelten die nicht wirklich. Die sind, wie gesagt, chaotisch und auf lange Zeit gesehen quasi überall im inneren Sonnensystem (und das war ein Hinweis auf die richtige Antwort 😉 )

  3. #3 jordroek
    19. August 2008

    hm, hängt es möglicherweise mit den Umlaufzeiten zusammen? Also dadurch, dass die Venus (laut Wikipedia) eine Umlaufzeit von nur 224 Erdtagen hat, hat sie auf lange Sicht deutlich mehr Umläufe als Erde und Mars. Somit ist doch auch die Wahrscheinlichkeit einer Kollision höher, oder?

  4. #4 florian
    19. August 2008

    @jordroek: Vollkommen richtig! Wenn man lange Zeiträume betrachtet dann bewegt sich ein erdnaher Asteroid im Prinzip durch das ganze innere Sonnensystem und kommt allen Planeten mal nahe. Venus bewegt sich nun schneller um die Sonne als die Erde (drittes Gesetz von Kepler). Und deswegen ist auch die Chance, die Venus zu treffen größer. Das Verhältnis der mittleren Umlaufzeiten von Erde und Venus ist ~1.38. Und wenn man die mittleren Kollisionswahrscheinlichkeiten vergleicht dann bekommt man ziemlich genau das gleiche Verhältnis.

  5. #5 Ulrich Berger
    20. August 2008

    Hmm…
    Angenommen, die Asteroiden sind punktförmig und beschreiben einen random walk im inneren Sonnensytem. Du sagst, das Verhältnis der Kollisionswahrscheinlichkeiten in einem fixen Zeitraum ist proportional zum Verhältnis der Umlaufzeiten? Das kann nicht ganz stimmen. Wenn ich die Erde bis zum Stillstand abbremse (und festhalte, damit sie nicht abstürzt), dann geht das Verhältnis der Umlaufzeiten gegen unendlich, die Kollisionswahrscheinlichkeit mit der Erde geht aber nicht gegen null.
    Oder soll das nur unter den Keplerschen Gesetzen gelten? Oder ist es sowieso bloß eine Näherung?

  6. #6 florian
    20. August 2008

    @Ulrich: Also stimmen tut es sicherlich – das hab ich schon mehrmals selbst ausgerechnet. Aber es ist natürlich nur eine Näherung. Und wenn die Planeten sich nicht mehr bewegen dann macht das ganze sowieso keinen Sinn mehr 😉

  7. #7 Stevo
    14. April 2012

    Also immoment bin ich etwas. Verwirrt. Kann man jetzt nicht mehr Voraussagen, ob ein Astrroid die Erde trifft oder nicht. Erdnähe Asteroiden befinden sich zwischen den Bahnen von Venus und Mars. Dazu eine Frage: Haben sie ebenfalls eine kreisförmige Bewegung sowie Planeten um die Sonne, wovon ich ausgehe. Also in der Regel kommt es zu keiner Kollision. Jedoch die Gravitation von anderen Planeten kann ein Asteroid auf eine schiefe Bahn kommen und hat die Möglichkeit mit der Erde zu kollidieren?
    Die Frage bezieht sich auch auf 2012: wenn sich die Laufbahenen von Asteroiden immer ändert, wie kann man dann jetzt sagen , dass in den nächsten Jahren kein Asteroid, der katastrophale Auswirkungen auf die Erde hat mit ihr kollidieren wird? Oder ist der Zeitraum, in dem die Asteroiden ihre Laufbahn ändern können, ein viel längerer z.B. Eine halbe Million Jahre?? Bitte antworten, immoment beunruhigt das einen.

  8. #8 Florian Freistetter
    14. April 2012

    @Stevo: “Bitte antworten, immoment beunruhigt das einen. “

    Man kann die Bahnen von Asteroiden voraussagen. Für so etwa zehntausend Jahre; danach wird es ungenau. Aber zehntausend Jahre reichen erstmal locker aus, damit wir uns keine Sorgen machen müssen 😉

    Lies mal das hier: http://www.scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2010/02/asteroidenabwehr-apophis-die-medien-und-wie-man-sich-informiert.php Und vor allem die Links im ersten Absatz! Da habe ich jede Menge über Asteroiden geschrieben.

  9. #9 Uwe P.
    31. Mai 2016

    Lieber Florian,

    du hat einen kleinen Fehler in der Seite (der aber oft gemacht wird). Zadeh heißt mit Vornamen Lotfi, erst das t und dann das f.

    Uwe.

  10. #10 Crazee
    31. Mai 2016

    @Uwe P.: Danke für diesen Kommentar. Ich hätte diesen Artikel sonst wohl nie gelesen.

    Zufall?!? Ich denke nicht!!! 😉