Von 1. bis 20. April bin ich auf Reisen, halte Vorträge in der Pfalz und in Baden-Württemberg und mache auch ein wenig Urlaub. Für die Zeit meiner Abwesenheit habe ich eine Artikelserie über wissenschaftliche Paradoxien vorbereitet. Links zu allen Artikeln der Serie findet ihr hier.
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Die Paradoxie des Haufens klingt eigentlich gar nicht so sehr paradox: Wie groß ist ein Haufen? Wie viele Objekte machen einen “Haufen” aus? Wenn ich die Chips aus der Tüte in eine Schüssel leere: Ist das dann ein “Haufen Chips”? Und wenn ich sie dann Stück für Stück esse: Wann hat der Haufen aufgehört ein Haufen zu sein? Die Frage ist aber schon alt und wurde schon im 4 Jahrhundert v.u.Z. von Eubulides von Milet gestellt. Es scheint also doch ein bisschen mehr dran zu sein, als man zuerst denken mag.

Wo die Paradoxie liegt, erkennt man, wenn man sich überlegt, was “Haufen” bedeuten soll: Normalerweise versteht man darunter eine unbestimmte Menge an Objekten. Wenn ich von einer unbestimmten Menge an Objekten eines entferne, ist die Menge aber immer noch unbestimmt. Es wäre ein seltsamer “Haufen” Chips, wenn ich nur ein Stück davon wegnehmen muss, damit plötzlich kein Haufen mehr übrig bleibt. Ein Haufen ist also etwas, das auch dann immer noch ein Haufen ist, wenn ich eines der Objekte entferne, die den Haufen bilde. Und genau das führt zur Paradoxie.

Ein Galaxienhaufen. Aber sind das auch ein Haufen Galaxien?

Ein Galaxienhaufen. Aber sind das auch ein Haufen Galaxien?

Nehmen wir an, wir würden unseren Haufen Chips abzählen und es wären exakt 100. Diese 100 Chips bilden den Haufen und wenn wir eins davon essen, bilden die 99 restlichen per Definition ebenfalls einen Haufen. Aber auch die 98, die übrig bleiben, wenn wir von diesem Haufen eines essen. Und so weiter. Am Ende landet man dann bei der paradoxen Situation, dass auch der letzte, einzelne Chip ein “Haufen” sein muss. Das kann man natürlich so akzeptieren, aber es fühlt sich eben irgendwie falsch an.

Man könnte das Problem lösen, in dem man einfach eine bestimmte Zahl definiert, aber der eine Menge an Objekten einen Haufen bildet. Aber auch das scheint irgendwie absurd. 67 Chips sind ein Haufen, aber 66 Chips nicht? Über diese Frage haben sich die Philosophen auch noch lange nach Eubulides gestritten. John Stuart Mill zum Beispiel war der Meinung, es könne keine Zahl geben, die einen “Haufen” definiert; Gottlob Frege meinte, dass man sie vielleicht doch irgendwie finden und sinnvoll definieren könnte.

Am Ende ist es eine Paradoxie, die nicht aufgelöst werden kann. Unbestimmte Begriffe wie “Haufen” lassen sich eben nicht mathematisch exakt definieren. Dadurch würden sie ihre Unbestimmtheit verlieren und der “Haufen” würde zu einer konkreten Menge mit einer konkreten Anzahl an Objekten. Ein Ausweg ist allerdings im Rahmen der Fuzzy Logic möglich, die in gewissem Maß auch einen mathematisch exakten Umgang mit unbestimmten Begriffen wie eben “ein Haufen” erlaubt. Wie nützlich so ein mathematisches Konzept der Unbestimmtheit sein kann, habe ich ja schon früher mal angesichts meiner Arbeit über erdnahe Asteroiden beschrieben.

Aber es ist auf jeden Fall interessant, sich darüber Gedanken zu machen (und genau darin liegt ja auch der Wert der meisten Paradoxien): Welche Mengen würdet ihr als “Haufen” bezeichnen? Welche nicht? Und auf welcher Grundlage entscheidet ihr das?

Kommentare (52)

  1. #1 BerndB
    2. April 2015

    Was ein Haufen ist, hängt sicherlich von den Objekten ab, die einen solchen bilden sollen. Auf jeden Fall ist ein Haufen eine Anzahl an Objekten, deren Anzahl man nicht mehr ohne konkret nachzuzählen erfassen kann. Also bei den meisten Menschen irgendwas zwischen 5 und 10 Stück. Zudem muss der Haufen ungeordnet sein.

  2. #2 Till
    2. April 2015

    Das Chipstütenphänomen ist aus dem Alltag wohl bekannt: Am Anfang sind da nahezu unendliche, jedenfalls zahllose Mengen Chips in der Schüssel. Ein Haufen. Irgendwann schrumpft dieser so, dass einzelne Chips ohne Mühe und auf den ersten Blick abzählbar sind, so etwa bei sieben oder zwölf Exemplaren. Dann ist klar: Das Ende ist nahe, die Schüssel ist nicht mehr halb voll, sondern fast leer.

    Woraus ich jetzt andersherum ableiten würde: ein Haufen ist eine Menge von Objekten, die nicht mehr ohne zu zählen abzählbar sind.

  3. #3 Axel
    2. April 2015

    Die Antwort kann nur 42 sein… 😉

  4. #4 David
    2. April 2015

    Ich würde mich hier in etwa der Argumentation von Till anschließen: Es gibt Mengen, bei denen wir die Anzahl der Objekte “auf einen Blick” also ohne zu zählen bestimmen können. Und es gibt Mengen, bei denen wir zählen müssen um die Anzahl der Objekte zu ermitteln. Das erscheint mir eine sinnvolle Trennlinie zwischen Haufen und Nichthaufen, da sie einer gewissen Logik folgt.

    Bleibt die Frage, wo genau die Schwelle ist. Ich meine an mehreren Stellen gelesen zu haben, dass wir drei Objekte immer intuitiv erfassen können und ab vier anfangen zu zählen. Kann aber sein, dass das bei jedem anders ist oder es noch andere Einflussfaktoren gibt.

  5. #5 Fleg
    Schweiz
    2. April 2015

    Ich schliesse mich mit meiner Antwort dem BerndB an.
    Ein Haufen ist eine Menge, die nicht auf den ersten Blick erkannt werden kann.

  6. #6 Crazee
    2. April 2015

    Ab vier beginnen wir die Gesamtmenge durch Teilmengen (2+2, 2+3 etc.) wahrzunehmen, das ist aber noch nicht zählen.

  7. #7 Alderamin
    2. April 2015

    Das kann man, glaube ich, an der Zahl gar nicht festmachen. Ein Haufen Chips – 10, 20 vielleicht. Ein Haufen Sandkörner? Hmm.

    Ein Teelöffel Sandkörner hat jedenfalls deutlich mehr Körner als ein Haufen Chips Chips 🙂 . Dürfte mit den Mengen und Volumina zu tun haben, mit denen man täglich umgeht. Und da können 3 cbm Sand noch ein Haufen sein, wogegen man bei Chips vielleicht schon von einem “Berg” reden würde. Weil einem die in dieser Menge selten begegnen.

  8. #8 Ranthoron
    2. April 2015

    Ein Haufen Chips sind auf jeden Fall mehr als ein paar Chips…

  9. #9 Kyllyeti
    2. April 2015

    Haufen haben ja auch eine eigene Mathematik:
    Wenn man 1 gro0en Haufen Erde hat und noch 1 daneben, hat man erstmal 2 Haufen.

    Schippt man diese zusammen, hat man 1 Haufen.
    Also gilt in der Haufenmathematik 1 + 1 = 1.

    Oder dann genauer bestrachtet hat man dann eigentlich doch 2 Haufen – 1 Haufen Erde und 1 Haufen Arbeit.
    😉

  10. #10 Böx
    2. April 2015

    @Till: hab mal gelesen, dass man so 5-7 Objekte gleichzeitig erfassen kann, ohne abzuzählen. Hier steht, es sind 4-5:
    http://www.blicklabor.de/grundlage/gehirn/simultan.html
    Also machen sechs Objekte einen Haufen 😉 Ist auf jeden Fall ein witziges Kriterium 🙂

  11. #11 AleXXblume
    2. April 2015

    Ich stimme der Definition zu, dass es Haufen heißt, sobald man nicht mehr in der Lage ist, die Anzahl mit einem Blick festzustellen. Desweiteren sehe ich aber auch einen ganz anderen Ansatz, nämlich den, dass es m.E. Auch um die räumliche Anordnung der Objekte im Sinne einer Anhäufung geht. Wann ist es ein Haufen und wann nicht mehr, das ist relativ zu beantworten. Überall, wo sich Objekte zusammenballen in Relation zur “haufenlosen” Umgebung, entsteht ein Haufen. So können auch schon – durchaus zählbare – drei T-Shirts auf dem Schlafzimmerboden einen Haufen bilden.

  12. #12 André
    2. April 2015

    Also ich bin ein wenig entäuscht von diesem ersten “Paradoxon”. Das hat meines Erachtens nichts mit Paradoxie zu tun, sondern schlichtweg mit der Ungenauigkeit der Sprache. Ich hoffe, die angekündigten nächsten Paradoxien sind nicht “Wie weit ist ‘weit’?”, “Wie dick ist ‘dick’?”, “wie heiß ist ‘heiß’?” oder gar “Wie groß muss er sein, um nicht klein zu sein und wie klein darf er sein, damit er immer noch groß ist?”

    Gruß, André

  13. #13 Ludger
    2. April 2015

    Der Name Haufen bezieht sich ursprünglich auf etwas, was auf dem Boden liegt. Nimmt man z.B. Apfelsinen, dann liegen zwei oder drei Apfelsinen nebeneinander . Erst die vierte Apfelsine kann eine Aufhäufung im Sinne eines Tetraeders machen. Ein Haufen muss also zumindest 4 Elemente haben. Damit es ein Haufen ist, müssen die Mittelpunkte der Apfelsinen räumlich angeordnet sein. Eine Anreihung wäre z.B. eine Reihe aber kein Haufen.

  14. #14 Arne D
    2. April 2015

    Dieses Problem hat Terry Pratchett schon gelöst:

    “Tatsächlich zählen Trolle so: Eins, zwei, drei,…. viele. Deshalb glauben viele Leute, sie hätten kein Verständnis für höhere Zahlen. Diesen Leuten ist nicht klar, dass viele eine Zahl sein kann, wie zum Beispiel: Eins, zwei, drei, viele, viele-eins, viele-zwei, viele-drei, viele-viele, viele-viele-eins,viele-viele-zwei,viele-viele-drei,viele-viele-viele-eins, viele-viele-viele-zwei, viele-viele-viele-drei, EIN HAUFEN”
    (Fußnote in “Helle Barden”)

  15. #15 Crazee
    2. April 2015

    @Ludger, AleXXblume:

    Es muss auch deutlich der Haufen gegen den Stapel abgegrenzt werden! 😉

  16. #16 Karla Kolumna
    2. April 2015

    Überall, wo sich Objekte zusammenballen in Relation zur “haufenlosen” Umgebung, entsteht ein Haufen. So können auch schon – durchaus zählbare – drei T-Shirts auf dem Schlafzimmerboden einen Haufen bilden.

    Wenn ich es hübsch drapiere kann ich aber auch aus einem einzelnen Kleidungsstück einen Haufen machen.

    Bei Haufen muss ich übrigens immer an die Ludolfs denken und deren Haufenprinzip was sie zur Lagerhaltung entwickelt haben.
    Vielleicht sollte man sich mal mit denen zusammensetzen und die Haufenfrage diskutieren! 😀

    Nein, im Ernst.
    Ich denke Haufen ist eine Umschreibung dessen was unser Gehirn als spontanen Eindruck bei einer größeren Ansammlung von Dingen oder Material registriert. Also sobald es mehr ist als auf den ersten Blick erfassbar/abzählbar und zusammenhängend aber ungeordnet ist. Ein Turm besteht ja auch aus so vielen Steinen, dass wir das nicht spontan erfassen können, trotzdem ist es erst ein Haufen wenn er umstürzt.
    Unordnung ist also auch schon mal ein Merkmal eines Haufens.
    Hinzu kommt dann auch der Größeneindruck im Vergleich zu uns. Ein Löffel Sand bildet zwar einen Haufen, wird aber wohl eher als Häufchen wahrgenommen.

  17. #17 Matthias
    Graz
    2. April 2015

    Wenn man die Etymologie des Wortes Haufen nachschlägt, kommt man auf eine indogermanische Wurzel mit der Bedeutung biegen, Wölbung u.ä., verwandte Wörter sind u.a. hoch oder Hügel. Ein Haufen wäre demnach eine Menge von Objekten, die übereinander zu einer Art Hügel aufgetürmt sind. Es ist also nicht allein die Anzahl der Objekte entscheidend, sondern auch die Art der Anordnung. D.h. die erwähnten 100 Chips sind nur als Haufen zu betrachten, wenn sie zu einer Art Hügel arrangiert sind, nicht aber, wenn sie flächig am Tisch oder Boden verteilt sind.
    Für die Definition eines Haufens im übertragenen Sinne muss man das etwas abstrahieren. Grundsätzlich kann man aber auch hier sagen, dass nicht allein die Anzahl der Objekte maßgeblich ist, sondern eben auch die Anordnung: im weitesten Sinne ist ein Haufen eine Mehrzahl von Objekten, die eine (vornehmlich räumlich definierte) relative Nähe zueinander aufweisen.
    Zusammengefasst kann man also sagen, dass die Definition eines Haufens als lediglich eine unbestimmte Menge von Objekten schlicht unzureichend ist.

  18. #18 BerndB
    2. April 2015

    Der Vergleich mit den T-Shirts ist gut. Aber bei einem unordentlichen Haufen T-Shirts kann ich schon bei einem nicht erkennen: Ist das eins oder sind das mehrere gleichfarbige?

    Ich denke die Definition eines Haufens lässt sich wirklich nur subjektiv erfassen. Kann ich noch einzelne Teile voneinander problemlos zählen oder muss ich den Begriff “viele” (also Haufen?) verwenden. Also eher ein fließender Übergang. Für den einen noch einzelne Objekte und für den anderen schon ein Haufen.

    Ein Haufen ist etwas ungeordnetes, während ein Stapel, eine Reihe, etc. geordnet ist. Wobei ein Haufen Orangen ja auch geordnet sein kann. Mist!

    Ich denke, einen Haufen kann man nicht mathematisch definieren. Es ist aus meiner Sicht nur ein sprachliches Paradoxon.

  19. #19 Eisentor
    2. April 2015

    @Karla Kolumna Wobei es in der Umgangssprache durchaus auch “Haufen” benutzt wird ohne das es aufgetürmt ist. “Ich hab noch einen Haufen Arbeit zu erledigen”. Wobei auch hier der viele, nicht auf einen Blick zählbare Menge, Aspekt zutrifft.

  20. #20 Alderamin
    2. April 2015

    Das ist jetzt aber schon ein Haufen Kommentare 😉

  21. #21 kalony
    2. April 2015

    Die räumliche Anordnung ist in der Tat ein guter Punkt.
    Vielleicht aber auch die Geschichte eines Haufens?
    Habe ich einen Berg Spielchips vor mir legen, beim Poler z.B….sagen wir 15, sprechen wir von einem Haufen. Verlieren wir und haben meinetwegen nur noch 3 da liegen, ist es aber immernoch ein Haufen. Wenngleich auch ein kleiner. Selbst, wenn ich nur noch 1 Chip habe, würde ich sagn “schaut her, so mickrig ist mein Haufen.

  22. #22 Pilot Pirx
    2. April 2015

    Gute Frage.
    Ich wurde dadurch an ein Buch erinnert, welches ich mir
    gleich wieder bestellen werde.
    Da drin ist unteranderem die eindeutige Lösung des angesprochenen Problemes… 😉 .
    http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CCEQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.thur.de%2Fphilo%2Fgelesen3.htm&ei=6EcdVfWzDoHDPejDgbgI&usg=AFQjCNGl7I67DrzO9jApPV9FCA9ShsRKLw&sig2=nrpL0R162NW0nnD2oTaHgQ

  23. #23 Folke Kelm
    2. April 2015

    Ich halte es da mit Stuart Mill, für mich kann es keine Zahl geben, die einen Haufen definiert, allenfalls eine sozusagen allgemeine Definition.
    Ein Haufen ist eine Ansammlung von Dingen von 1 bis n, die nicht mit dem Auge (auf den ersten Blick) eindeutig zu zählen sind. 1 wären zum beispiel sprachlich unzählbare Dinge wie “Hundehaufen”, T shirts auf einem Haufen können durchaus auch mal 1 sein, aber zumindest fängt es bei zwei an.
    <hundehaufen ist eigentlich ganz schön, weil man durchaus auch zwei oder drei oder vier deutlich unterscheidbare Hundehaufen in einer Gruppe auf dem Rasen haben kann, aber wenn es dann wirklich das öffentliche Hundeklo ist, kann daraus schnell ein Haufen Hundehaufen werden.

  24. #24 StefanL
    2. April 2015

    offener Haufen = Haufen ohne Rand…
    Abgesehen von umgangssprachlich synonymen Gebrauchs von bspw. “ein Haufen(Arbeit/Kommentare)” und einer “Menge (Arbeit/Kommentaren)” ist imho “Haufen” eher topologisch als arithmetisch zu sehen. Das mit dem “Hügel” kommt dem schon nahe bei Objekten wie Sand/ Kies/Orangen/T-Shirts. Und um “Häufungspunkt” gerecht zu werden: Findet sich in jeder (dimensionalen) Richtung zu einem Objekt, das nicht zum Rand gehört, ein gleichartiges Objekt so bildet die Gesammtheit dieser so zusammenhängenden Objekte einen Haufen.
    Ein einzelnes T-shirt in (3-d) Haufen-Optik wäre da faktisch dann ein Haufen-Randobjekt eines ansonsten leeren Haufens.
    Die “Dimension” spielt dabei ebenso eine Rolle. Im Falle der Kommentare könnte – eindimensional – “die Anzahl” das Kriterium für “Haufen” sein. Vor und nach jedem nicht Rand-kommentar gibt es einen Kommentar. Es gibt eben große und kleine Haufen.( mehrdimensional wäre etwa Inhalt / Form / Sprache etc. bei Kommentaren als weitere Dimensionen denkbar, dabei wäre es dann nichts mehr mit der linearen (zeitlichen) Anordnung)
    Eine “Anhäufung” “vieler” (inhaltlich) unterschiedlicher Objekte wäre dann eben ein Haufen unterschiedlicher Objekte…
    gelegentlich begegnet uns ja auch ein “Haufen Unsinn”…

  25. #25 Kyllyeti
    2. April 2015

    @StefanL

    gelegentlich begegnet uns ja auch ein “Haufen Unsinn”…

    ach was, der begegnet uns häufig. 😉

  26. #26 Florian Freistetter
    2. April 2015

    @André: “Also ich bin ein wenig entäuscht von diesem ersten “Paradoxon”. “

    Tja, Geschmäcker sind verschieden. Und ich hab mir das ja auch nicht ausgedacht; da gibts viel Literatur dazu und dieses Paradox wird seit langer, langer Zeit diskutiert. Paradoxa treten in vielen verschiedenen Formen auf und auch unklare Definitionen gehören dazu. Auch in der Sprache. Es kommen aber noch knapp zwei Dutzend weitere Artikel. Vielleicht ist da dann was dabei, was dir mehr zu sagt.

  27. #27 dgbrt
    2. April 2015

    @FF
    Ich bin tatsächlich auch ein wenig enttäuscht.

    Was bedeutet der Begriff relativ? Ein Haar in der Suppe ist relativ viel; ein Haar auf dem Kopf dagegen relativ wenig.

    Das ist nur Sprache und das Verständnis über einen einzelnen Begriff. Sprache ist immer Paradox. “Bundestag” wird zu “Federal day”.

    Wo sind die Zwillinge, einer gerade im ALL?

    Und sorry, ich finde dieses BLOG nach wie vor toll!

  28. #28 Wurgl
    2. April 2015

    Sommer!

    Ich sag nur Sommer. Und jetzt soll das mal jemand in einen Datumsbereich umwandeln. Wann ist Sommer denn Sommer? Meteorologischer Sommer oder astronomischer Sommer? Oder ist der Sprachgebrauch noch weiter gefasst?

    Lustig ist auch sowas wie “Winter 2015”. Ist der nun schon vorbei oder kommt der im Dezember wieder oder beides?

  29. #29 Joseph Kuhn
    2. April 2015

    Der “Haufenparadoxie” wird in R.M. Sainsburys Reclam-Büchlein “Paradoxien” ein ganzes Kapitel gewidmet, eines von sechs. Das lässt schon darauf schließen, dass die Sache keine einfache Lösung haben wird. Persönlich finde ich es schwierig, sachlich über dieses Thema zu diskutieren, da eines der häufigen Veranschaulichungsbeispiele für diese Paradoxie sich an der Frage festmacht, wie lange man oben auf dem Kopf eine Frisur hat und ab wie vielen Haaren weniger für die craniale Oberflächenbedeckung andere Begriffe zu wählen sind. Viele unserer Alltagsbegriffe müssen übrigens gegen die Haufenparadoxie verteidigt werden, weil kleine Portionen von etwas irgendwann nicht mehr unter den jeweiligen Begriff zu fallen scheinen, von Frisuren bis zu Steinen oder Tischen. Erinnert fast ein wenig an die alte dialektische Formel vom Umschlag der Quantität in Qualität.

    Von daher, Florian, bin ich auf Deinen Lösungsvorschlag gespannt.

  30. #30 sax
    3. April 2015

    Das Paradoxon kennt man aus dem Alltag, man holt sich da noch men Kaffee, kostet ja nicht viel, dann dort noch ein Eis. Dann vielleicht noch ein Bier oder zwei und am Ende de des Tages hat man einen Haufen Geld ausgegeben und fragt sich wie das geht.

  31. #31 Stefan Wagner
    https://demystifikation.wordpress.com/2015/04/02/e-bus-flotte-der-bvg/
    3. April 2015

    Es ist schon viel bejabares gesagt worden.

    Haufen ist ein schillernder Begriff, der einerseits eine räumliche Gestalt bezeichnet, aber andererseits eine Größenordnung, die aber nur nach unten abgegrenzt ist.

    Die Gestalt kann verloren sein, d.h. mit “hier hat jemand einen Haufen Chips verstreut” beschreibt man noch die Menge, auch wenn die Gestalt verloren gegangen ist, vielleicht auch nie existiert hat.

    Dass die Zahl nicht auf einen Blick erfassbar ist scheint mir eine notwendige Bedingung zu sein, aber noch keine ausreichende.

    5×5 Äpfel, in einem Raster angeordnet, sind aber von der Anzahl sofort erfassbar. Als kleiner Haufen gestapelt im Korb aber nicht mehr. Ein Saftpressbetrieb, der Äpfel in einer Halle in riesigen Haufen stapelt wird aber ein anderes Verhältnis zum Ausdruck “ein Haufen Äpfel” haben als der Vater zu Hause, der die Obstschale nachfüllt.

    Für einen Haufen Apfelmus genügt dagegen weniger als ein einzelner Apfel, etwa wenn man ihn an das Meerschweinchen verfüttert.

  32. #32 Florian Freistetter
    3. April 2015

    @dgbrt: “Wo sind die Zwillinge, einer gerade im ALL?”

    Du willst also nur über Themen lesen, die du schon kennst?

    Und ich glaube, du hast die Paradoxie des Haufens (bzw. auch “Sorites-Paradox” genannt) nicht ganz verstanden bzw. ernst genommen. Dabei geht es um deutlich mehr, als einfach nur eine “sprachliche Ungenauigkeit”… Du kannst dir ja mal bei Wikipedia die Literaturliste ansehen: http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxie_des_Haufens

  33. #33 Franz
    3. April 2015

    Ich würde einen Hafen als ‘alles > 1’ bezeichnen. Dann ist es eindeutig, auch mathematisch.
    Es gibt dann:
    N … nichts(-unendlich <= N < 1),
    E … etwas(E = 1) und
    H … Haufen(1 < H <= +unendlich).
    (und irgendwie noch Element der natürlichen Zahlen.)
    Mit den Rechenregeln N+N = N, N+E = E, E+E=H, E+H= H, H+H = H.
    Easy 🙂 , andererseits, subtrahieren wär schon etwas schwierig …. Mist

  34. #34 Franz
    3. April 2015

    Hafen, lol

  35. #35 Damian H-Z
    Pinneberg
    3. April 2015

    Der Begriff “Haufen” beschreibt eine Menge von Objekten die größer als 1 ist. Deshalb ist der Beginn eines Haufens ab einer Anzahl von 2 Elementen für mich als sinnvoll. Natürlich ist es dann ein kleiner Haufen, aber immerhin schon ein Haufen.

    Wenn etwas ‘häufig” passiert, dann passiert es mehrmalig. Wenn etwas mehrmaligem passiert, dann ist es auch nicht mehr einmalig. Somit muss es mindestens 2 mal passieren damit wir es als “mehrmalig” bzw. “häufig” passiert bezeichnen können.

    “Mehrmalig” ist der Oberbegriff von “häufig”.
    Das Wort “häufig” hat seinen Ursprung in dem Wort “Haufen”

  36. #36 Dietmar
    3. April 2015

    @Damian H-Z: Ich würde es nicht grundsätzlich als häufig bezeichnen, wenn etwas zwei mal passiert ist. Um es häufig zu nennen, müssten noch Merkmale dazu kommen, etwa auf welchen Zeitraum verteilt die gleichartigen Ereignisse eintraten und insbesondere wie ich sie werte. Beispielsweise: ich hatte zwei Autounfälle als Fahranfänger innerhalb von vier Jahren, das empfand ich als häufig. Seitdem hatte ich keinen mehr und sehe mich als eher unfallfreien und umsichtigen Fahrer. Im gleichen Zeitraum starben zwei enge Familienmitglieder an Krebs, was ich trotz großer Familie als häufig ansehe.

    Als mathematisch Gehbehinderter sehe ich den Begriff Haufen also eher als sprachliches und psychologisches Phänomen und finde @Matthias Erläuterungen interessant.

  37. #37 Dietmar
    3. April 2015

    (Ich meine, wir empfinden ja auch den tiefstehenden Mond als größer als den hochstehenden und können wohl nicht sagen, ab welcher Position genau er zur Normalgröße schrumpft.)

  38. #38 Pilot Pirx
    3. April 2015

    Ich glaub, die Frage ist Unfug. Ein Haufen ist entweder etwas, das einem subjektiv als viel erscheint
    oder ein Begriff für eine nicht abschätzbare größere Menge von etwas.
    Hab ich hunderttausend Euro, es wäre für mich ein Haufen Geld. Für Bill Gates wohl eher nicht.
    Oder ich hab einen Haufen Kohlen vor dem Gartenzaun, sagen wir zwei Tonnen.
    Wenn ich sie als zwölfjähriger in die Schubkarre schaufeln und in den Keller bringen muß, ist das ganz sicher ein Haufen.
    Für meine Eltern war es keiner sondern jämmerlich wenig, sie wussten, daß es nicht ausreichen würde.
    Und zehn Jahre später wäre es auch schaufeltechnisch kein Haufen sondern eine Kleinigkeit gewesen. Obwohl ich trotzdem von einem Kohlehaufen gesprochen hätte.
    Ein Hirnfurz von Philosophen mit langer Weile.

  39. #39 Pilot Pirx
    3. April 2015

    Und noch was. Man müsste mal rausfinden, wie genau man damals den Begriff Haufen überhaupt verwendet hat.
    Dazu mal ein Beispiel:
    Würde ich heute zu einem Vortrag von Florian gehen und ihn danach fragen “Na Nazi, trinken wir ein Bier zusammen?”,
    er würde wohl ausrasten.
    Hätte ich das 1916 zu seinem Ururgroßvater gesagt, wäre die Antwort vermutlich gewesen “Gern Piefke. Wennst zahlst?” 😉 .
    Begriffe wandeln sich.

  40. #40 Kalli
    3. April 2015

    fest steht: der Begriff “Haufen” ist nicht eindeutig definierbar deswegen ein dankbares Objekt für persönliche Meinungen

  41. #41 Joseph Kuhn
    3. April 2015

    @ Pilot Pirx:

    “Begriffe wandeln sich.”

    Ja, aber die Haufenparadoxie hat man früher nicht anders verstanden als heute.

    “Ein Hirnfurz von Philosophen mit langer Weile.”

    Wirklich? Es geht darum, was Begriffe bezeichnen, wie sie sich auf die Welt beziehen. Was meint man damit, dass ein Mensch mit 2 m Körpergröße “groß” ist? Dann ist sicher auch ein Mensch mit 1,99 noch groß, und so weiter, bis zum Zwerg, wie es FF im Blogbeitrag mit dem Chipshaufen beschrieben hat. Oder: Was meinen wir damit, dass etwas “rot” ist? Wellenlänge 750 nm, klar, 749,99 auch, usw., irgendwann ist es aber orange und irgendwann gelb. Es gibt demnach Begriffe, die zweifelsfrei etwas bezeichnen, aber in einer “vagen” Form, Begriffe, die sich z.B. irgendwie über eine Menge von Gegenständen zu definieren scheinen (durch “Messung”?) und es irgendwie doch nicht so richtig tun. Nur Alltagsbegriffe, oder vielleicht auch manche wissenschaftliche Begriffe? Alles nur ein “Hirnfurz von Philosophen mit langer Weile”?

  42. #42 Pilot Pirx
    3. April 2015

    @41:
    Sie haben es doch gerade bestätigt. Der Versuch einer objektiven Definition eines subjektiven Sachverhaltes ist auf die Welt bezogen sinnlos.
    Man kann willkürlich Grenzen ziehen, tut man ja z.B. bei der Fahrtüchtigkeit in Bezug auf Alkohol. Physiologisch ist das zwar statistisch begründet und juristisch sinnvoll aber im Einzelfall unbrauchbar. Und so ist es bei der Haufenfrage auch ,
    Wieviele Engel haben eigentlich auf einer Nadelspitze Platz?

  43. #43 rolak
    3. April 2015

    was Begriffe bezeichnen

    Ja, Joseph, und welcher Kategorie sie angehören. Ist doch das Paradoxon in diesem Falle und imho eher ein Kollateralschaden, nicht systemisch wie zB bei dem Klassiker des Barbiers von Erwillja aberdarfnicht. Es kann doch nicht angemessen sein, einem Begriff der Kategorien (unscharf, subjektiv, ‘ist mir egal’) einen Aspekt der Kategorien (exakt, objektiv, ‘mit Regelwerk versehen’) zuordnen zu wollen, selbst vorsichtige Versuche wie in diesem Falle das

    Wenn ich von einer unbestimmten Menge an Objekten eines entferne, ist die Menge aber immer noch unbestimmt.

    müssen Folgefehler bewirken, die eben manchmal paradox wirken.

    Physiologisch wäre es übrigens völliger Blödsinn — zumindest wenn unbestimmt=’Anzahl muß gezählt werden’ und bestimmt=’Anzahl kann gesehen werden’ gesetzt wird. Dann hat, falls das numerische Erfassen des zu Zählenden überhaupt möglich ist, jeder seinen persönlichen, (zeitlich mehr oder weniger lokal) festen Grenzübergang vom Ungewissen ins Absolute 😉
    6 Stück klappt noch unzuverlässig, kippt häufig um in ‘zwei Dreier’, ‘5er’ kenn ich mittlerweile mehrere. Der TrainingsAnreiz ist auch nicht sehr stark, zählt es sich in 5er-Gruppen doch schon ziemlich flott und einfach.

  44. #44 Braunschweiger
    3. April 2015

    Interessant ist ja, dass der Begriff “Haufen” in vielen Sprachen existiert und funktioniert, und das über viele, viele Generationen denkender und den Sprachgebrauch ändernder Menschen hinweg. Dabei zeigt sich aber auch, dass der Begriff einerseits in einer eher emotional umgangssprachlichen Variante verwendet wird (man denke nur an den “Hundehaufen”), und andererseits in einer eher wissenschaftlichen Weise, wo man auch die exakte Bedeutung sucht, die der Begriff eigentlich haben soll. Man denke nur an die mehrdeutige Übersetzungen ins Englische, mit jeweils unterschiedlichen Bedeutungen: heap, cluster, “quiet a lot”, “a bunch of”, …

    Ein Haufen im strenger definierten Sinne sagt doch, dass ich eine Menge irgendwelcher zusammenfassbarer Dinge als ein einziges Ganzes sehen möchte, aber nicht an der Art der Dinge selbst (bis auf den einen Parameter, der sie als etwas Gleiches zusammenfasst) und nicht an der inneren Struktur der Dinge untereinander. Mathematisch gedacht, nicht ob die Dinge geordnet, sortiert oder vernetzt sind, mit einem Maß bedacht, oder anderes. Das funktioniert sogar emotional, denn beim Hundehaufen möchte man auch besser nicht über das Innere nachdenken.

    Ein Haufen ist eine Menge Dinge, die (wenig mathematisch) eine gefühlt unendliche Größe hat bzw. man ist sich über die Anzahl der Dinge nicht bewusst oder will es nicht schlicht wissen. Von einer unendlichen Menge (jetzt wieder mathematischer) kann man endlich oft eine endlich Anzahl der Elemente wegnehmen, und es bleibt immer noch eine unendliche Menge. Das ist das theoretische “verwaschene” unscharfe Bild, in der Realität klappt das nicht, denn unsere real begreifbaren Mengen von Dingen sind immer endlich. Aber ich will beim Haufen ja auch nicht die Anzahl, sondern das eine Ganze sehen, das unter einem bestimmten Aspekt zusammengefasst wurde.

    Vielleicht nur, um einen Oberbegriff für etwas zu finden. Das ist wie mit der physikalischen Unschärferelation: sehe ich die Dinge als Haufen, kann ich die Einzelteile nicht scharf sehen; sehe ich mir die Einzelteile mit ihren Charakteristika und Beziehungen untereinander an, dann sehe ich den Haufen nicht mehr. Jedenfalls nicht im selben Gedanken. – – Es gibt übrigens auch die erotische (Un-)Schärferelation: sehe ich eine neue frische Frau, ist sie ein Haufen attraktiv wirkender Körperteile, und daher scharf. Kenne ich die Teile erst im Einzelnen genauer, werden sie meist unattraktiver – und völlig unscharf. (Und natürlich gebe ich zu, dass ich hier gerne völlig seggsistisch bin…)

  45. #45 hinrich7
    3. April 2015

    Nicht so viel Denken: 1, 2, viele, oder besser: Unikat, Paar, Haufen.

    Andernfalls müsste man ja auch die sprachlichen Hintergründe betrachten, denn ein Haufen setzt voraus, dass etwas (aufeinander) gehäuft ist. 100 Chips nebeneinander (oder im Kreis) sind auch kein Haufen.

  46. #46 Braunschweiger
    3. April 2015

    @hinrich7: Was die Wissenschaft angeht, ist es schon notwendig, über das Tun nachzudenken, z.B. was die Folgen von Definitionen angeht. Im umgangssprachlichen Bereich mag das anders sein, da orientieren sich viele an den jeweils anderen. Und einige wenige Avantgardisten preschen mit Ideen vor.

    100 Chips neben- oder übereinander haben ja schon eine geometrische Ordnung. Das will ich bei einem Haufen gar nicht wissen; aber ein Haufen muss auch nicht zwangsläufig ungeordnet sein. Meine ich.

  47. #47 Peroppi
    3. April 2015

    Man kann beliebige weitere Fragen aufwerfen:
    – Wie weit muss man einen Sandhaufen “auseinanderziehen” bis es zwei Haufen sind?
    – um wieviele Meter muss ein Hügel anwachsen, damit er ein Berg ist?
    – Wie viele Buchten hat die Ostsee?
    – Wo endet eine Nebelschwade?
    – Wie viele Wolken siehst du beim Blick aus dem Fenster?

    Die Antwort hängt immer vom subjektiven Empfinden ab. Die Grenzen sind verschwommen.

    Bei Haufen finde ich, es geht darum, wann man etwas als gemeinsames Ganzes und nicht mehr als eine Anzahl Einzelobjekte begreift. Man könnte also verschiedenen Versuchspersonen jeweils ein Bild zeigen und sie fragen was sie sehen – “drei Chips” oder “einen Haufen Chips”.

    Bei der Antwort spielt sicherlich auch der Grad der Unordnung eine Rolle. Drei Wäscheteile auf dem Boden sind eher ein Haufen als vier nebeneinander geparkte Autos.

    Außerdem kommt es darauf an, ob ich in nacheinanderfolgenden Versuchen die Anzahl stetig erhöhe und zu einem Haufen komme oder ob ich die Anzahl verringere und warte bis es kein Haufen mehr ist. Beim Essen der Chips wird der Haufen wohl länger ein Haufen sein als wenn ich die Schale nach und nach mit einzelnen Chips fülle.

    Noch eine interessante Ergänzung aus der Linguistik: In vielen Sprachen spiegelt sich auch in der Grammatik das Empfinden eines Ganzen oder vieler Einzelteile wider. Beispielsweise die slawischen Sprachen: “ein Teil” steht im Nominativ Singular (wie im Deutschen auch), “zwei Teile” stehen im Nominativ Plural (wie im Deutschen), drei und vier Teile ebenso. Ab fünf Teilen stehen sie im Genitiv Plural, was ungewohnt ist wenn man die Sprache lernt. Ins Deutsche übersetzt sagt man also so etwas wie “fünf der Teile” – die Teile werden als unzählbares Ganzes angesehen und davon fünf Stück abgezählt.

  48. #48 Joseph Kuhn
    3. April 2015

    @ rolak:

    Ja, siehe ähnlich auch im Wiki-Eintrag zur Haufenparadoxie. Bei Sainsbury endet das Kapitel zur Haufenparadoxie übrigens mit der Diskussion, ob die Begriffe, um die es hier geht, vage sind, oder die Gegenstände, die damit bezeichnet werden. Wie dem auch sei, ich gehe jetzt “etwas” essen, mehr als nichts, aber (imho) weniger als einen Haufen.

  49. #49 rolak
    3. April 2015

    siehe ähnlich

    Hätte mich auch gewundert, wenn das noch keiner so ähnlich formuliert hätte, Joseph, bei der Historie dürfte es schwer fallen, etwas Originäres in die Debatte zu bringen.

    jetzt “etwas”

    Das ist schon ziemlich nahe einem der kölschen Paradoxa: “Krie’ch zu wenig, krie’ch zuviel”

  50. #50 Maskoolin
    Baden
    7. April 2015

    Bin zwar ein bissl spät hier, würde aber trotzdem gerne noch meinen Senf dazu geben.

    Ich sehe hier eigtl. gar kein Paradoxon, sondern nur ungenaue Verwendung der Spache. Florian hats für mich auch schon im OP angedeutet: ein Haufen ist eine unbestimmte Menge an Objekten. Das wäre die für mich treffendste Definition.

    Daraus folgere ich, dass, wenn ich die Menge an Objekten in einem Haufen bestimme, es sich danach nicht mehr um einen Haufen handelt, sondern um eine bestimmte Menge, sagen wir 100 Äpfel, statt einem Haufen Äpfel.

    Wenn wir also ein Haufen Objekte haben, und 1 entfernen, haben wir danach immer noch einen Haufen, weil noch immer unbestimmt. Wenn wir allerdings von 100 Äpfeln, 1 wegnehmen haben wir halt 99 – in diesem Fall von einem Haufen zu sprechen wäre meiner Meinung nach falsch.

    Auf Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxie_des_Haufens finde ich zu diesem Thema: Der Begriff „Haufen“, verstanden als Anhäufung gleichartiger Teile, lässt sich anscheinend nicht klar definieren.

    Das ist mir nicht ganz klar: Wir können doch einfach festlegen was ein Haufen, sagen wir, “ab jetzt” ist.

    Auf Wikipedia wird auch auf das “Kahlköpfigkeits-Paradoxon” verwiesen. Auch da orte ich aber nur falschen bzw ungenauen Gebrauch der Sprache. Dort ist die Rede von einer Undefiniertheit von “kahl”. Ich denke allerdings, dass kahl in diesem Zusammenhang wohl definiert ist, und “gar keine” bedeutet. Sobald jemand 1 Kopfhaar besitzt ist er genau genommen nicht als kahl zu bezeichnen.

    Um nochmal zur ursprünglichen Frage zurückzukehren: Wann ist ein Haufen kein Haufen mehr? Ich würde sagen, sobald er gezählt wurde.

  51. #51 AleXXblume
    8. April 2015

    “Wann ist ein Haufen kein Haufen mehr? Ich würde sagen, sobald er gezählt wurde.”

    So einfach ist es mM nach nicht, und das liegt daran, dass es verschiedene Bedeutungen des Wortes “Haufen” gibt. Was du meinst, maskoolin, ist die Bedeutung “undefinierte Menge”, wie z.B in “ein Haufen Arbeit”. Es gibt da aber noch die räumliche Variante, die sich zusätzlich auf die räumliche Anordnung der Gegenstände bezieht. Siehe “ein Haufen Äpfel” –> 1. aufgehäufte Äpfel / 2. eine Menge Äpfel. Auch 100 aufgehäufte Äpfel sind räumlich gesehen ein Haufen.

  52. #52 Philosoph
    19. Dezember 2016

    André hat das Problem meines Erachtens genau richtig benannt: Es handelt sich hier in Wirklichkeit gar nicht um eine Paradoxie, sondern um eine Ungenauigkeit der Sprache – sonst nichts.

    Wer Begriffe als sprachliche Mittel verwendet – und genau das sind nun einmal Begriffe – sollte diese auch exakt bestimmen. Dies ist ja bei absoluten Bestimmungen auch problemlos möglich, nicht aber bei solchen, die durch die Relativität zum betrachtenden Subjekt nicht eindeutig und vor allem auch allgemeingültig definiert werden können.

    Somit geht ein Ansatz auch völlig an dem Problem vorbei, wenn mithilfe mathematischer Methoden ein zuvor uneindeutig bestimmter Begriff definiert werden soll. Im allgemeinen Sprachgebrauch nennt man das auch ‘ein Pferd von hinten aufzuzäumen’ 😉

    Dennoch kann meines Erachtens dieses Pseudo-Problem einen wichtigen Denkhinweis liefern: Und zwar die Erkenntnis, dass es völlig unmöglich ist, von einer rein qualitativ (oder auch normativen) Ebene auf eine quantitativ-faktische Ebene zu schließen ohne dabei dem Münchhausen-Trilemma anheim zu fallen

    Wer das nicht glaubt, der kann ja gerne einmal die Frage beantworten, wie viel Monats-einkommen als “genug” zu bezeichnen wäre. Dies aber bitte ohne auf persönliche Präferenzen zu rekurrieren. – Viel Erfolg!