Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 1. Felder

Die Maxwellgleichungen sind nicht nur die Grundlage der Elektrodynamik, sie werden auch von vielen Physikern als besonders “schön” bezeichnet. In diesem und den folgenden Texten will ich versuchen, eine Idee der Maxwellgleichungen zu vermitteln, ohne dabei viel Mathematik zu verwenden; wir brauchen nur die vier Grundrechenarten und ein bisschen Geometrie, denn eigentlich muss man nur jede Menge Pfeile zeichnen, um die Maxwellgleichungen zu verstehen.

Die Maxwellgleichungen beschreiben das elektrische und magnetische Feld – im ersten Teil geht es deshalb darum, was Felder eigentlich sind,

Das elektrische und magnetische Feld sind sogenannte Vektorfelder. Sie werden in den Maxwellgleichungen miteinander verknüpft. Um das zu verstehen, müssen wir schauen, was ein Vektorfeld ist und was man damit anstellen kann. Ich bitte um ein bisschen Geduld, aber keine Sorge, wir sind schneller bei den Maxwellgleichungen, als man denkt (die ersten beiden kommen nämlich in Teil 2).

Bevor wir Vektoren zu Feldern zusammenbauen, schauen wir uns erstmal einen einzelnen Vektor an:

i-e74e5f81c627143e5648ad9d141113c3-vektorDef1-thumb-300x253.jpg

Vektoren haben einen Zahlenwert und eine Richtung. Die Richtung kennzeichnen wir durch einen Pfeil, den Zahlenwert kann man entweder an den Pfeil ranschreiben (so macht es die Wettervorhersage in der Tagesschau für die Windstärken), oder man kann die Länge des Pfeils so wählen, dass sie der Zahl entspricht. Diese zweite Art hat den Vorteil, dass man die meisten Rechnungen direkt durch Zeichnen erledigen kann. Sie hat allerdings auch einen Nachteil: Es sieht so aus, als würde sich der Vektor von einem Punkt im Raum bis hin zu einem anderen erstrecken, tatsächlich gehört er aber nur zu genau einem Punkt.

Ein Beispiel wäre ein Geschwindigkeitsvektor, den ich zeichne, um die Geschwindigkeit meines Fahrrads anzugeben – der Vektor gehört zu meinen Fahrrad, auch wenn er in der Zeichnung vielleicht viel länger ist. Seine Länge hat auch nicht einen Wert in Metern, sondern in Meter pro Sekunde oder Kilometer pro Stunde, weil es ja eine Geschwindigkeit ist. Bei allem was kommt, sollte man diese kleine Falle immer im Hinterkopf behalten…

Vektoren kann man addieren – in der praktischen Darstellung mit der Länge setzt man die beiden Vektoren, die man addieren will, einfach “Kopf” an “Schwanz” hintereinander und zeichnet einen Pfeil von Anfang bis Ende:

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Man kann Vektoren auch subtrahieren. So wie 5-3 die Zahl ist, die mich von der 3 zur 5 bringt, so ist a-b der Vektor, der mich von b nach a bringt: Dafür setzt man sie entweder “Schwanz” an “Schwanz” und zeichnet einen Vektor b nach a, oder man dreht den zweiten Vektor einfach um (aus b wird -b) und addiert sie dann. In beiden Fällen kommt dasselbe heraus:

i-6e76914842516797ada4310b1f6c131e-vektorSubtraktion-thumb-540x327.jpg

Falls sich übrigens jemand über den Fettdruck für die Vektoren wundert: üblicherweise werden Vektoren in Zeichnungen mit kleinen Pfeilen versehen, aber da man die schlecht drucken oder in html anzeigen kann, nimmt man in Texten stattdessen fettgedruckte Buchstaben.

Oft interessiert man sich für den Anteil eines Vektors, der in eine Richtung zeigt. Wenn ich beispielsweise nach Nordosten fahre, dann hat meine Bewegung einen Nordanteil und einen Ostanteil. Um die Anteile zu bestimmen, zeichnet man eine senkrechte Linie auf die Richtung, in der man den Anteil wissen will, die genau an der Spitze des Vektors endet. Ein Bild erklärt das besser als 1000 Worte:

i-33e0e08e69e39c1aa44a8ce3bb58c9b4-vektorZerlegung2d-thumb-540x362.jpg

Hier bestimmen wir den Anteil vx des Vektors v in x-Richtung und seinen Anteil vy in y-Richtung. (Wem x und y als Richtungen zu unanschaulich sind, der denke sich stattdessen Nord-Süd und Ost-West, in drei Dimensionen kommt dann noch die z-Richtung dazu, die wäre dann Oben-Unten.)

In drei Dimensionen geht das auch, ist aber schwerer zu zeichnen:

i-2dd1b713b7e5fc95475451d93954635e-vektorZerlegung3d-thumb-540x427.jpg

Ich habe hier die Zeichnung so gedreht, das z nach rechts zeigt – das ist so üblich, wenn man sich mit elektromagnetischen Wellen befasst.

Die Maxwellgleichungen sagen etwas darüber, wie sich Vektoren (nämlich elektromagnetische Felder) mit der Zeit ändern. Wenn ein Vektor E jetzt einen bestimmten Wert hat und gleich einen anderen, dann ist die Änderung einfach die Differenz zwischen dem Wert “gleich” und dem Wert “jetzt”. (Strenggenommen muss man durch den Zeitabstand zwischen “gleich” und “jetzt” teilen, aber das führt dann schon zur Differentialrechnung, das sparen wir uns hier…)

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Die zeitliche Änderung eines Vektors E nennt man auch seine “Ableitung”, und schreibt sie dE/dt (eigentlich für ein Feld mit einem geschwungenen “d”, aber das habe ich hier nicht.)

Das war’s auch schon, mehr müssen wir mit unseren Vektoren gar nicht machen.

Als nächstes betrachten wir ein Vektorfeld: Dabei denken wir uns nicht bloß einen einzelnen Vektor, sondern befestigen einen Vektor an jedem Punkt des Raumes. Da wir unendlich viele Vektoren schlecht zeichnen können, zeichnen wir nur eine Auswahl von ihnen:

i-cc4159cc44f26665a3509a2122c3a20e-vektorfeld-thumb-540x585.jpg

So ein Gebilde nennen wir ein Vektorfeld. Auch hier ist die Wettervorhersage ein gutes Beispiel: Die Windgeschwindigkeiten sind ein solches Vektorfeld.

“Hallo???”, höre ich da jemanden fragen. “Geht’s hier auch mal irgendwann um Elektromagnetismus

Tut es, nämlich jetzt: Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld, das magnetische Feld auch. Wer sich ein elektromagnetisches Feld vorstellen will, der muss sich also an jedem Punkt im Raum zwei Vektoren vorstellen, einen für’s elektrische Feld, E genannt, einen für’s magnetische Feld, der B heißt. (Manche Leute schreiben auch H statt B, aber das sind die ganz bösen angewandten Physiker, die Magnetfelder in Materie angucken, sowas tun wir hier nicht…)

Wenn ich also ein elektrisches Feld habe, dann gehört zu jedem Punkt des Raumes eine Feldstärke, die angibt, wie stark das Feld ist, und eine Richtung, in die das Feld zeigt. Um das Feld zu messen, nimmt man eine kleine elektrische Ladung und hält sie in das Feld an dem Punkt, wo man den Wert des Feldes wissen will. Dann übt das Feld auf die Ladung eine Kraft F aus – die Kraft ist auch ein Vektor, denn eine Kraft hat ja auch eine Stärke und eine Richtung. Das Feld berechne ich dann indem ich die Kraft durch die Stärke der Ladung teile: E = F/q. (Iiih, eine Formel!) Auf eine doppelt so starke Ladung wirkt also eine doppelt so große Kraft.

Um das Feld zu messen, fahre ich also mit meiner kleinen Ladung q durch die Gegend, messe überall die Kraft und berechne daraus die Feldstärke und die Richtung des Feldes.

Das Magnetfeld kann man ähnlich messen – es ist etwas kniffliger, weil man die Ladung mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen muss, deshalb verschiebe ich die Details auf einen der späteren Teile.

Insgesamt muss man sich also an jedem Punkt des Raumes zwei Pfeile befestigt denken, einen für E, einen für B.

(Klingt alles ganz hoffentlich anschaulich, birgt aber auch seine Tücken – die kehren wir mal unter den Teppich, denn wir wollen ja zu den Maxwellgleichungen.)

So, das war das Vorgeplänkel. Im zweiten Teil müssen wir noch ein klein wenig über Vektorfelder nachdenken, aber dann können wir die Maxwellgleichungen (im Vakuum) hinschreiben und (hoffentlich) verstehen.


Hier ein Überblick über die ganze Serie:

Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 1. Felder
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 2. Im Vakuum
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 3. Wir bauen eine Welle
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 4. Voll geladen
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 5. Unter Strom
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 6. Spieglein, Spieglein

Kommentare

  1. #1 Johannes
    24. August 2010

    “..(Strenggenommen muss man durch den Zeitabstand zwischen “gleich” und “jetzt” teilen, aber das führt dann schon zur Differentialrechnung, das sparen wir uns hier…)
    Die zeitliche Änderung eines Vektors E nennt man auch seine “Ableitung…”

    Hier sträubt sich bei mir mein Mathematikerhirn. Keine Ableitung ohne Differenzenquotient. Genaugenommen beschreibt die Ableitung doch die Änderung zu einem konkretem Zeitpunkt (in dem wir die Zeitdifferenz gegen Null gehen lassen). Also beschreibt E_gleich – E_jetzt nicht die Änderung zu einem Zeitpunkt sondern die Änderung während einer Zeiteinheit (wir teilen einfach durch 1)
    Da noch keine Angabem gemacht worden sind, über welchen Zeitraum uns die Änderngen interessieren (Zeitspanne oder zu einem Zeitpunkt) ist dies hier nicht so schlimm, aber der Begriff Ableitung wird hier doch recht locker verwendet, weil insbesondere die Anschauung als Tangente verloren geht.

    genug gemeckert. an sich ein schöner und gut verständlicher Artikel, bin schon auf den zweiten Teil gespannt.

    lg Johannes

  2. #2 rolak
    24. August 2010

    Schon länger erwartet, diese Serie – zugegebenermaßen auch, weil ich hoffe, einige gute Tips fürs Erklären in Richtung Nichtphysiker bis Kinder abzustauben ;-)

  3. #3 cimddwc
    24. August 2010

    Schöne Einführung, bin mal gespannt auf die weiteren Teile. :)

    Das geschwungene ∂ gibt’s in HTML übrigens mit “∂”

  4. #4 MartinB
    24. August 2010

    @Johannes
    Ja, stimmt schon. Ich wollte es so einfach wie möglich halten (das bleibt auch im zweiten teil so). Ich hatte gehofft, mit der Anmerkung in Klammern die Mathematiker etwas zu besänftigen…
    Die Anschauung mit der Tangente sehe ich bei der Zeitableitung von Vektoren nicht – woran lege ich denn da eine Tangente an?

    @cimddwc
    Danke für den Tipp – mal sehen ob ich auf das ∂ umsteige.
    Generell sind Formeln in html kein Spaß.

  5. #5 Redfox
    24. August 2010

    @MartinB:

    Generell sind Formeln in html kein Spaß.

    http://plugins.movabletype.org/latex/

  6. #6 Christian
    24. August 2010

    Kleiner Schreibfehler: “_Wen_ ich also ein elektrisches Feld habe [...]“

  7. #7 MartinB
    24. August 2010

    @Redfox
    Danke für den Tipp.
    Wenn ich die anderen Blogger richtig verstanden habe, dann geht das hier nicht ganz so einfach – ist aber vielleicht auch gut, so vermeide ich Formeln, das ist ja irgendwo das Ziel des Ganzen ;-)
    Bei Gelegenheit probier ich’s mal, vielleicht geht’s ja doch.

    @Christian
    Danke, sollte jetzt stimmen.

  8. #8 kommentarabo
    24. August 2010

  9. #9 MartinB
    25. August 2010

    @Johannes
    Nach nochmaligem Nachdenken ist das mit der Tangente doch ziemlich einfach: Man müsste die Bahnkurve der Spitze des Vektors zeichnen und an die die Tangente anlegen.
    Wenn ich im 2. teil (kommt vermutlich heute abend) die Rotation erklären, bin ich übrigens genauso schlampig…

  10. #10 Joe Dramiga
    25. August 2010

    Danke für den guten verständlichen Artikel. Ich weiß Du wirst das ganze ohne Formeln über die Bühne bringen…ich hoffe aber Du gehst, wenn es möglich ist; im Laufe dieser Artikelserie noch auf folgenden Aspekt ein:

    Lange galten Magnetismus und Elektrizität als zwei scharf getrennte Erscheinungen, bis Christian Oersted 1820 entdeckte, dass beide eng zusammenhängen. 50 Jahre später fasst Maxwell diese Erkenntnisse dann abstrakt formal in vier Gleichungen zusammen. Für einen Laien, wie mich, liegt es erst mal nicht so klar auf der Hand, dass Magnetismus keine eigenständige „Kraft“ ist (Darf ich das physikalisch so nennen?), sondern mit dem Fließen eines elektrischen Stroms verbunden ist: Eine ruhende elektrische Ladung ist stets von einem elektrischen Feld umgeben. Bewegt sich die Ladung , bildet sich ein Magnetfeld. Dabei ist es egal, ob die Elektronen von außen durch eine elektrische Spannung angetrieben werden, oder ob sie wie bei einem Dauermagneten im Innern eines Atoms um sich selbst und um den Atomkern kreisen.

    Das heißt, wenn ich Eisen magnetisiere seine Elektronen gerichtet (deshalb vermute ich die Vektoren) beschleunigen muss (was ohne Strom einige Zeit dauert). Beschleunigung setzt eine Kraft voraus.

    Muss diese Kraft nicht eine Trägheit überwinden?

    Gibt es wie in der Mechanik einen „Trägheitsmoment der Elektronen“? Kommt dieser in den Maxwell-Gleichungen vor?

  11. #11 MartinB
    25. August 2010

    @Joe Dramiga
    Bin nicht sicher, ob ich die Frage ganz richtig verstehe: Es gibt zunächst keine Trägheit innerhalb der Elektrdynamik selbst, aber wenn ein Elektron beschleunigt wird, dann hat es natürlcih eine masse und es gilt F=m*a, wie in der Mechanik üblich. Ein Elektron in einem E-Feld erfährt also eine Kraft F=-e*E, also ist a=-e*E/m.
    Im Magnetfeld wirkt noch die Lorentzkraft, aber auch da folgt dann die beschleunigung aus F=m*a.

    Diese Kräfte kommen auch irgendwann dran, aber nach meiner momentanen Planung erst in Teil 5 oder 6 (erstmal kommen die ersten beiden Maxwellgleichungen im Vakuum und dann basteln wir eine em-Welle…). Diese Kraftgleichungen zählt man nicht zu den Maxwellgleichungen, weil die nichts darüber sagen, was das feld tut, sondern was ladungen in einem Feld tun.

    Beim Magnetisieren von Eisen ist die Sache etwas komplizierter, weil da die “Eigendrehung” (Spin) der Elektronen eine wichtige Rolle spielt, das lässt sich letztlich nur im Rahmen der Quantenmechanik halbwegs plausibel erklären, das habe ich im Moment nicht geplant.

  12. #12 Frank Quednau
    25. August 2010

    Schöne Reihe, bin gespannt, was da noch kommt.

  13. #13 SingSing
    25. August 2010

    Guter Artikel, weitermachen!

    P.S.: Math ML kann helfen, aber die Ergebnisse sind nicht auf allen Browsern immer gleich.

    P.P.S.: Die kostenlosen, Unicode-normierten STIX Fonts, die jedes, aber auch jedes technisch-wissenschaftlich-mathematische Zeichen enthalten, sind jetzt freigegeben. Vorteil: kein Plug-In erforderlich, garantiert in jedem Browser anzeigbar (das Format ist OpenType), funktioniert auf allen gängigen Betriebssystemen. Nachteil: die Nutzer müssen das Schriftartenpaket selbständig downloaden und installieren.

  14. #14 MartinB
    25. August 2010

    @SingSing
    Danke für die Tipps, ich leite das bei gelegenheit an die technikabteilung der scienceblogs weiter…

  15. #15 perk
    25. August 2010

    @ joe dramiga
    , wie martinb schon meinte ist das ne frage der quantenmechanik, die elektronen kreisen nicht um den kern und sie drehen sich nicht um sich selbst
    elektronen haben eine aufenthaltswahrscheinlichkeit nahe des atomkerns die charakteristisch für ein system mit drehmoment ist (kann auch 0 sein für die s schalen)

    der spin ist noch weniger anschaulich da das system was hier betrachtet wird keine relevante ausdehnung hat.. er ist einfach eine inherente eigenschaft des elektrons die sich makroskopisch wie ein drehimpuls verhält aber keiner ist ;)

    dass über spins tatsächlich kräfte bewirkt werden können wird hier schön deutlich: http://de.wikipedia.org/wiki/Einstein-de-Haas-Effekt

    allerdings wird die kraftbeschreibung in der quantenmechanik so gut wie nie verwendet da man keine kontinuierlichen zustandsraum hat worin kraft und beschleunigung einen sinn hätten, spin und quantenmechanischer drehimpuls sind systeme mit diskreten zuständen, weshalb die betrachtung in übergangswahrscheinlichkeiten, energiedifferenzen usw erfolgt

    @ martinb

    Nach nochmaligem Nachdenken ist das mit der Tangente doch ziemlich einfach: Man müsste die Bahnkurve der Spitze des Vektors zeichnen und an die die Tangente anlegen.

    gerade diese art und weise finde ich eher nachteilig.. man ist es ja gewöhnt die integralkurven von vektorfeldern zu betrachen, so dass die tangeten ersteinmal wieder die vektoren des vektorfelds sind (ableitungen der kurve) und die ableitungen des vektorfelds ganz grob gesagt dann die zweiten ableitungen der kurven und die sind nicht tangential sondern normal zur kurve …

  16. #16 MartinB
    25. August 2010

    @perk
    “Die elektronen kreisen nicht um den kern”
    Wenn ich mich richtig an den Morrison Band 2 erinnere, dann ist aber der Impulserwartungswert auf einer Kreisbahn um den Kern für Zustände mit m ungleich Null nicht Null, insofern kreisen sie doch! (Aber nicht auf kleinen Planetenbahnen, ist schon klar…)

    Was die Ableitungen von Vektoren angeht – die leben ja eh in nem anderen Raum, oder (haben ja auch physikalisch ne andere Einheit), da muss man doch sicher nen Tangentialraum an jeden Punkt anlegen oder gleich mit Differentialformen hantieren, wenn man das mathematisch porentief rein machen will, oder? Das wäre dann für “ohne Formeln” nicht mehr ganz passend…

  17. #17 perk
    25. August 2010

    Wenn ich mich richtig an den Morrison Band 2 erinnere, dann ist aber der Impulserwartungswert auf einer Kreisbahn um den Kern für Zustände mit m ungleich Null nicht Null, insofern kreisen sie doch! (Aber nicht auf kleinen Planetenbahnen, ist schon klar…)

    ich finde den begriff “kreisen” sollten wir für orbits reservieren.. was die aufenthaltswahrscheinlichkeit des elektrons angeht ist keinerlei kreisbewegung erkennbar, denn die wäre deterministisch jetzt ist es bei 0° und ne halbe umlaufperiode später bei 180° , quantenmechanisch ist aber jetzt und in 1-2 ns die aufenthaltswahrscheinlichkeit eines nicht interagierenden systems die gleiche, es gibt keine “bewegung” im klassischen sinne

    Was die Ableitungen von Vektoren angeht – die leben ja eh in nem anderen Raum, oder (haben ja auch physikalisch ne andere Einheit),

    naja wir mathematischen physiker wählen schon gern koordinaten mit entsprechenden koeffizienten dass die vektoren möglichst einheitenlos sind

    der tangentialraum ist lokal isomorph zu seiner mannigfaltigkeit weswegen man ihn ja auch als lineare approximation der mannigfaltigkeit benutzt

    da muss man doch sicher nen Tangentialraum an jeden Punkt anlegen oder gleich mit Differentialformen hantieren, wenn man das mathematisch porentief rein machen will, oder? Das wäre dann für “ohne Formeln” nicht mehr ganz passend…

    naja den tangentialraum an jeden punkt der mannigfaltigkeit anlegen ist hier auf jeden fall das mittel der wahl, aber genau darum ging es ja:

    Da noch keine Angabem gemacht worden sind, über welchen Zeitraum uns die Änderngen interessieren (Zeitspanne oder zu einem Zeitpunkt) ist dies hier nicht so schlimm, aber der Begriff Ableitung wird hier doch recht locker verwendet, weil insbesondere die Anschauung als Tangente verloren geht.

    die anschauung von tangenten funktioniert, weil dort die tangente an eine kurve (die bequemer weise als explizite funktion darstellbar ist die die beiden koordinaten verknüpft) hier sprechen wir aber von vektorfeldern und die sind ja schon die tangentialvektoren an die integralkurven des feldes.. du beschreibst richtiger weise die ableitungen des vektorfeldes und die leben größtenteils im normalraum an die kurven

    ich wollte also nicht ausdrücken dass dein artikel nicht tiefgreifend genug in die mathematik einsteigt sondern dass die von johannes vorgeschlagene tangentenanschaulichkeit für diesen fall totaler käse ist

  18. #18 MartinB
    25. August 2010

    “es gibt keine “bewegung” im klassischen sinne ”
    Stimmt. Ich find’s trotzdem cool, dass sie die ganze Zeit nen Impuls um den Kern rum haben, ohne zu kreisen. Und das ist ja eigentlich bei ner ebenen Welle ähnlich, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist überall konstant, trotzdem hat sie nen Impuls. Würdest du da auch nicht von Bewegung sprechen?

    In Sachen Tangentiairaum stimme ich, soweit ich alles verstehe (;-) ) zu.
    Mit Differentialformen lässt sich das ja auch alles erschlagen, habe ich vor unendlich langer Zeit auch mal ganz anschaulich aufgemalt (Idee aus MisnerThorneWheeler) – sollte ich den Zettel irgendwann mal wiederfinden, dann poste ich das mal…

    Was treibst Du eigentlich als mathematischer Physiker so? Bist du etwa ein bööööööser Stringtheoretiker?

  19. #19 perk
    25. August 2010

    Und das ist ja eigentlich bei ner ebenen Welle ähnlich, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist überall konstant

    hmm doch diese ebene welle gibt es nicht.. irgendwann ist die quelle entstanden und seitdem läuft die wellenfront davon weg, es gibt also die bewegung der front die welle von leerem raum trennt

    und noch ein randaspekt: für das ruhesystem der em-welle vergeht gar keine eigenzeit sie ist also in ihrem gesammten ausdehnungsbereich “gleichzeitig”, vllt ein anschaulicher ansatz warum es keine “bewegung” gibt ;)

    Mit Differentialformen lässt sich das ja auch alles erschlagen

    naja in dem gebiet hat man mit den tensorfeldern ja automatisch immer die optimale mischform, ob nun als 1,0 tensorfeld (vektorfelder) oder 0,1 tensorfelder (differential-1-formen) ist ja immer durch eine dualität verknüpft

    ach zzt mach ich gar nix außer mich vor meiner masterarbeit zu drücken.. mich interessiert die lorentzgeometrie mit ihrer kausalstruktur.. da gibts überraschende ergebnisse, dass grenzen von kausalitätsverletzenden und erhaltenden bereichen die ursache von singularitäten sind.. was interessante erweiterungen der hawking-penrose singularitätentheoreme ermöglicht.. wenn man nur aus topologischen eigenschaften der gefangenen fläche die topologie von gewissen für die kausalität entscheidenen untermannigfaltigkeiten bestimmen könnte wäre das n großer durchbruch.. mal schauen wann ich mich wieder unter kontrolle bekomme und damit anfange

  20. #20 MartinB
    26. August 2010

    @perk
    Klingt …. kompliziert?
    Wenn du das für Normalsterbliche erklären kannst, dann darfst du das gern hier als Gastbeitrag einstellen…

  21. #21 perk
    27. August 2010

    wieviel formeln dürfens sein?

  22. #22 MartinB
    27. August 2010

    @perk
    Naja, schätz’ die Leser hier selbst ein, ich würd’s nicht zu toll treiben, obwohl der Florian auch schon mal ganz schön abgefahrenes zeugs gepostet hat…
    Wenn du echtes Interesse hast, können wir das vielleicht besser per mail besprechen.

  23. #23 james
    19. September 2011

    das geschwungene d steht meines Wissens nach für die partielle Ableitung. Die partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Dimensionen x,y, und z nach nur einer dieser Dimensionen.

  24. #24 MartinB
    21. September 2011

    @james
    Stimmt schon, da ja das E in der MGl von x und t abhängt, wollte ich es eigentlich immer einheitlich machen, um niemanden zu verwirren (ist ja hier kein Mathekurs).