Die moderne Physik steckt voll von ziemlich seltsamen Ideen – Vakuumfluktuationen, virtuelle Teilchen, Higgsmechanismen (das berühmte “Gott-Teilchen”) und und und. Alle diese Konzepte stammen aus einer einzigen Theorie, der Quantenfeldtheorie. Und die will ich euch in der nächsten Zeit ein bisschen zu erklären versuchen. Heute gibt es erst mal einen ganz groben Überblick, bevor es dann in die Einzelheiten geht.


Die Quantenfeldtheorie (QFT) – oft spricht man auch etwas genauer von “relativistischer QFT” entstand aus dem Versuch, die Quantenmechanik und die spezielle Relativitätstheorie (SRT) miteinander in Einklang zu bringen.

Das Verhältnis zwischen Quantenmechanik und SRT ist ein bisschen seltsam: Die Quantenmechanik, die das Verhalten von Elektronen beschreibt, basiert nicht auf der SRT. Und das berühmte “Messproblem” zeigt, dass in der Quantenmechanik tatsächlich “nichtlokale” Effekte auftreten. Trotzdem verletzt sie die zentrale Forderung – dass es keine überlichtschnelle Signalübertragung geben darf – nicht; man spricht deshalb auch von der “friedlichen Koexistenz” der beiden.

Die Schrödingergleichung (also die Grundgleichung der Quantenmechanik) ist selbst allerdings auch keine relativistische Gleichung – sie behandelt Ort und Zeit in einer Weise, die nicht mit der SRT zusammenpassen, und sie verhindert nicht direkt, dass man z.B. Elektronen auf Überlichtgeschwindigkeit beschleunigen kann.

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Abschnitte wie diesen hier, die mit dem bösen Formelwarnschild gekennzeichnet sind, könnt ihr schadlos überspringen, wenn ihr keine Formeln mögt. Sucht einfach nach dem durchgestrichenen Zeichen – da geht’s dann wieder harmlos weiter.

Dass die Schrödingergleichung nicht relativistisch korrekt ist, sieht man leicht an der mathematischen Form:
(-ħ2/2m) ΔΨ(x,t) + V(x) Ψ(x,t) = i ħ dΨ(x,t)/dt
Auf der linken Seite steht eine zweite Ableitung nach dem Ort, auf der rechten eine erste Ableitung nach der Zeit. Damit Raum und Zeit sich korrekt zueinander verhalten, müssten beide dieselbe Ableitungsstufe (sagt man das so?) haben.

Man

sieht es auch daran, dass der Ort – zumindest in der üblichen Darstellung der Quantenmechanik – als Operator behandelt wird, die Zeit aber nicht.

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So, ab hier ist alles wieder harmlos…

Tatsächlich hat Schrödinger zunächst eine relativistische Gleichung für Elektronen hergeleitet, die er dann allerdings wieder verworfen hat, weil sie falsche Vorhersagen machte. Sie ist dann kurz darauf wiederentdeckt und unter dem Namen Klein-Gordon-Gleichung bekannt geworden. Die Klein-Gordon-Gleichung wird uns später übrigens auch noch begegnen.

Dass es notwendig war, Quantenmechanik und SRT in Einklang zu bringen, war allen Physikern in den zwanziger Jahren (als die Quantenmechanik entwickelt wurde) natürlich klar – Teilchen der kosmischen Strahlung beispielsweise bewegen sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit und können deshalb nicht mit der gewöhnlichen Schrödingergleichung beschrieben werden. Die Vereinigung brauchte allerdings einige Zeit und erwies sich als deutlich schwieriger als man ursprünglich annahm. Je genauer man zu rechnen versuchte, desto absurder wurden die Antworten, die man berechnete – insbesondere ergaben sehr viele Rechnungen als Ergebnis einfach unendlich, was mit dem Experiment eher nicht so gut übereinstimmte.

Es waren einige konzeptionelle Hürden zu überspringen und raffinierte Ideen zu entwickeln, bis man schließlich zum Ziel kam, und auch eine Menge ziemlich kniffliger Mathematik wurde benötigt. Unter Physik-Studis gilt die QFT entsprechend als extrem schwierig und anspruchsvoll – von meinen eigenen Vorlesungen erinnere ich nur wenig, weil die Physik hinter mathematischem Formalismus vollkommen zu verschwinden schien. Diesen Sommer (jaja, das nennt man “Urlaub”) habe ich aber ziemlich viel über QFT gelesen – vielleicht ist das, was ich jetzt anschaulich verstanden habe, ja auch für andere interessant.

Streng genommen ist die QFT nicht eine einzige Theorie, sondern mehr ein Rahmen, in dem man die unterschiedlichen Naturkräfte beschreiben kann, die dann so schöne Namen wie Quantenelektrodynamik oder Quantenchromodynamik (oder auch die noch nicht so richtig verstandene Quantengravitation) bekommen. Diese Theorien haben alle sehr viele gemeinsame Eigenschaften, die sich ergeben, wenn man eine Theorie haben will, die gleichzeitig Quantenphänomene und die Relativitätstheorie umfasst – wie zum Beispiel die schon erwähnten Vakuumfluktuationen.

Ich bin natürlich nicht der erste, der auf die Idee kommt, die QFT anschaulich zu erklären: Richard Feynmans Buch “QED – Strange Theory of Light and Matter” (gibt’s auch auf Deutsch) tut dies bereits auf hervorragende Weise. Das Buch hatte für mich allerdings immer einen kleinen Haken1: Die entwickelte Anschauung war ziemlich weit weg von den Formeln und Argumenten, die man in QFT-Büchern findet, und konzentrierte sich vor allem auf die berühmten Feynman-Diagramme (die ich ja auch schon mal erklärt habe).

1 Eigentlich hat es noch einen zweiten Haken: Feynman erwähnt das Problem der Messung in der Quantenmechanik mit keinem Wort und es erscheint fast so, als würde es nicht existieren.

Ich möchte versuchen, nicht nur zu erklären, wie die QFT funktioniert, sondern auch ein bisschen die Brücke zwischen Formalismus und Anschauung schlagen. Dabei soll es vor allem um ein paar ganz grundlegende Fragen gehen (bis wir soweit sind, die zu beantworten, wird es allerdings etwas dauern):

– Was sind eigentlich Vakuumfluktuationen?

– Wenn alles “Felder” sind, warum beobachten wir dann immer Teilchen – und warum gibt es dann keine halben Elektronen?

– Was sind “virtuelle” Teilchen? Gibt es die überhaupt? (Um die Antwort vorwegzunehmen: Streng genommen beobachten wir nur virtuelle Teilchen. Wie das? Stay tuned…)

– Warum stoßen sich gleichnamige elektrische Ladungen ab, aber gleiche Massen nicht?

– Was sind überhaupt “Gravitonen” – wo doch Gravitation lediglich ein anderer Ausdruck für Raumzeitkrümmung ist?

– Wie funktioniert der berühmte Higgs-Mechanismus? Wie kann ein Teilchen den anderen Teilchen “Masse verleihen”?

– Wie tief ist der Dirac-See?

Ich will aber versuchen, die Antworten auf diese Fragen zumindest ein bisschen zu entwickeln, so dass ihr (mit ein wenig Mühe, ohne die wird’s nicht gehen) verstehen könnt, wo die Antworten eigentlich herkommen. (Und natürlich auch, damit ich mich selbst in Zukunft wieder dran erinnern kann.) Aber sicherlich wird das hier keine “echte” Einführung in die QFT – ein bisschen Mathematik wird’s (verbannt in Warnabschnitte) geben, aber ansonsten halte ich mich an Feynman:

We don’t bother with rigor, because it is the facts that matter, not the proofs. Physics can go on without the proofs, but we can’t go on without the facts.
[Wir scheren uns nicht um (mathematische) Strenge, denn die Fakten sind wichtig, nicht die Beweise. Die Physik kommt ohne die Beweise aus, aber wir nicht ohne die Fakten.]

Ich weiß nicht, ob mir das so gelingt, wie ich mir das vorstelle. Deshalb meine Bitte: Wenn ihr irgendetwas unklar findet oder nicht versteht, dann schreibt es in die Kommentare und ich versuche, es klarer zu formulieren oder anders zu erklären. Vielleicht wird dann ja am Ende interaktiv eine verständliche Serie draus.

Falls ihr euch schon gefragt habt, ob ich die Lust am Bloggen verloren habe, weil es hier in letzter Zeit vergleichsweise still war – nein, habe ich nicht. Aber ich habe die ersten paar Teile dieser Serie1 vorbereitet, und das war natürlich mehr Arbeit als vermutet – wie immer.

1Die ersten paar Teile? Ja, diese Serie wird lang. Verdammt lang. Ihr glaubt vielleicht, die Serie über die Raumzeitkrümmung war lang, aber die war ein Klacks verglichen mit dieser…

Und nach dem ganzen Vorgeplänkel jetzt hinein ins Vergnügen. Da wir “relativistische Quantenfeldtheorie” betreiben wollen, werfen wir erst einen kurzen Blick auf die Relativitätstheorie, dann auf die Quantenmechanik, bevor wir alles zu einer Feldtheorie zusammenbacken.


Einen Überblick über die ganze Serie findet Ihr rechts unter “Artikelserien”.

Bücher über Quantenfeldtheorie gibt es viele. Für meinen Geschmack das absolut beste (aus dem auch sehr viele der hier vorgetragenen Ideen stammen) ist “Quantum Field Theory in a Nutshell” von A. Zee.

Gut ist auch “The Physics of Quantum Fields” von Michael Stone.

Viele Ideen habe ich auch aus dem Buch “The Feynman Lectures on Gravitation” gewonnen – darin behandelt Feynman die Relativitätstheorie aus der Sicht des Quantenphysikers. Tatsächlich hat dieses Buch mich überhaupt wieder motiviert, mich noch ein bisschen mit QFT zu beschäftigen – dass ich im Beruf damit zu tun hatte, ist inzwischen immerhin schon 15 Jahre her.

Kommentare (35)

  1. #1 Niels
    9. Oktober 2011

    Auf der linken Seite steht eine zweite Ableitung nach dem Ort, auf der rechten eine erste Ableitung nach der Zeit.

    Damit das auch Laien sehen, wäre es vielleicht nicht schlecht, wenn du in der Formel den Laplace-Operator ausschreibst.
    Der ist nämlich kein Schulstoff, oder?

    (Um die Antwort vorwegzunehmen: Streng genommen beobachten wir nur virtuelle Teilchen. Wie das? Stay tuned…)

    Hast du das zufällig von Feynman?
    Der hat irgendwo (vergessen wo) etwas in der Art geschrieben, dass durch die Messung jedes beobachtete Teilchen durch eine innere Feynman-Diagramm-Linie beschrieben wird.
    Allerdings haben wir während des Studiums in der QFT-Vorlesung mal den Professor danach gefragt und dieser war ganz entschieden anderer Meinung.
    Verstanden haben wir das aber nicht, da dieser Mensch leider ein “Formel-im-Akkord-Anschreiber-aber-nix-verständlich-erklären-können”-Typ war. (In der erste Woche über 90 Hörer, in der siebten Woche 11, QFT2 vom selben Professor viel wegen fehlender Nachfrage aus)

    Das alle beobachteten Teilchen virtuelle Teilchen sind, hab ich eigentlich auch noch nirgends sonst gelesen. (Bin aber bestimmt kein Experte.)
    In der wiki steht allerdings zum Beispiel auch:
    In the quantum field theory view, “real particles” are viewed as being detectable excitations of underlying quantum fields. As such, virtual particles are also excitations of the underlying fields, but are detectable only as forces but not particles. They are “temporary” in the sense that they appear in calculations, but are not detected as single particles. Thus, in mathematical terms, they never appear as indices to the scattering matrix, which is to say, they never appear as the observable inputs and outputs of the physical process being modelled.

  2. #2 Odysseus
    9. Oktober 2011

    Prima, ich freue mich auf die Serie!

  3. #3 Johannes K.
    9. Oktober 2011

    Juhu! Ich freu mich schon darauf die ganze Serie aufmerksam zu verfolgen und bedanke mich hier schonmal für die Literaturhinweise 😉 .

  4. #4 Jürgen Schönstein
    10. Oktober 2011

    @MartinB
    Ich hätt’, als Laie, schon gerne mal gewusst, womit sich die Quantenfeldtheorie überhaupt befasst.

    Je genauer man zu rechnen versuchte, desto absurder wurden die Antworten, die man berechnete – insbesondere ergaben sehr viele Rechnungen als Ergebnis einfach unendlich, was mit dem Experiment eher nicht so gut übereinstimmte.

    Aus Wikipedia – sorry, aber das musste ich konsultieren, um hier mitkommen zu können – konnte ich entnehmen, dass das Problem der Quantenmechanik ist, dass sie eigentlich nur für einzelne Teilchen beziehungsweise für eine geringe Anzahl von Teilchen zu bewältigen ist. Wenn es jedoch um die enormen Mengen an Teilchen geht, die in realen Objekten vorkommen, dann lässt sich dies mit der Quantenmechanik nicht mehr bewältigen – hier kommt dann die Quantenfeldtheorie ins Spiel. Habe ich das richtig verstanden? Jetzt bin ich natürlich gespannt, wie sie das schaffen kann …

  5. #5 Jürgen Schönstein
    10. Oktober 2011

    @MartinB
    Ich hätt’, als Laie, schon gerne mal gewusst, womit sich die Quantenfeldtheorie überhaupt befasst.

    Je genauer man zu rechnen versuchte, desto absurder wurden die Antworten, die man berechnete – insbesondere ergaben sehr viele Rechnungen als Ergebnis einfach unendlich, was mit dem Experiment eher nicht so gut übereinstimmte.

    Aus Wikipedia – sorry, aber das musste ich konsultieren, um hier mitkommen zu können – konnte ich entnehmen, dass das Problem der Quantenmechanik ist, dass sie eigentlich nur für einzelne Teilchen beziehungsweise für eine geringe Anzahl von Teilchen zu bewältigen ist. Wenn es jedoch um die enormen Mengen an Teilchen geht, die in realen Objekten vorkommen, dann lässt sich dies mit der Quantenmechanik nicht mehr bewältigen – hier kommt dann die Quantenfeldtheorie ins Spiel. Habe ich das richtig verstanden? Jetzt bin ich natürlich gespannt, wie sie das schaffen kann …

  6. #6 Sascha Vongehr
    10. Oktober 2011

    “Die Schrödingergleichung (also die Grundgleichung der Quantenmechanik) ist selbst allerdings auch keine relativistische Gleichung”

    Ein guter Grund die SE nicht als “Grundgleichung” zu bezeichnen. Ich wuerde lieber [q,p]=-i als solche bezeichnet sehen.

  7. #7 Jürgen Schönstein
    10. Oktober 2011

    @MartinB
    Ich hätt’, als Laie, schon gerne mal gewusst, womit sich die Quantenfeldtheorie überhaupt befasst.

    Je genauer man zu rechnen versuchte, desto absurder wurden die Antworten, die man berechnete – insbesondere ergaben sehr viele Rechnungen als Ergebnis einfach unendlich, was mit dem Experiment eher nicht so gut übereinstimmte.

    Aus Wikipedia – sorry, aber das musste ich konsultieren, um hier mitkommen zu können – konnte ich entnehmen, dass das Problem der Quantenmechanik ist, dass sie eigentlich nur für einzelne Teilchen beziehungsweise für eine geringe Anzahl von Teilchen zu bewältigen ist. Wenn es jedoch um die enormen Mengen an Teilchen geht, die in realen Objekten vorkommen, dann lässt sich dies mit der Quantenmechanik nicht mehr bewältigen – hier kommt dann die Quantenfeldtheorie ins Spiel. Habe ich das richtig verstanden? Jetzt bin ich natürlich gespannt, wie sie das schaffen kann …

  8. #8 rolak
    10. Oktober 2011

    Aah, die lange und lang angekündigte Serie startet…

    moin Niels, das mit der Schrödingergleichung (d²x|dt) wurde doch schon in der verlinkten Serie dieses blogs dargestellt. Und da es in einem als holprige Strecke gekennzeichneten Formelabschnitt steht, ist imho selbstständiges Nachschlagen durchaus voraussetzbar 😉

  9. #9 MartinB
    10. Oktober 2011

    @Niels
    “Damit das auch Laien sehen, wäre es vielleicht nicht schlecht, wenn du in der Formel den Laplace-Operator ausschreibst. Der ist nämlich kein Schulstoff, oder? ”
    Nee, aber den lernt man in meiner ruhmreichen Schrödinger-Serie…

    Ich glaube auch nicht, dass ich hinter den Warnschildern mit Schulstoff auskomme…

    “Hast du das zufällig von Feynman? ”
    Jupp, das steht in den “Feynman Lectures on Gravitation” – und ich sehe keinen Grund, warum das falsch sein sollte (obwohl er selbst sagt, dass man natürlich für alle praktischen Zwecke Teilchen, die ein endliches Stück geflogen sind, als on-shell betrachten kann.)

    @Sascha
    “Ich wuerde lieber [q,p]=-i als solche bezeichnet sehen.”
    Ah, nee, das mag ich gar nicht. Du weißt doch: “Physics is about solving PDEs” (war das Sommerfeld, der das gesagt hat?) :-)
    Kommutatoren sind mir zu unanschaulich.

    @Jürgen
    Ja, das hast du richtig verstanden. Wie das geht, erfährst du dann so in Teil 5 oder 6 – wie gesagt, die Serie wird etwas länger…

    Eigentlich gab es hier ja noch nicht viel zum “Mitkommen” – es ist ja mehr ein Vorwort als ein erklärender Text.

  10. #10 Bjoern
    10. Oktober 2011

    @MartinB: Danke für die Serie – aber ich hab’ mal wieder ein paar nitpicks… 😉 (und Anmerkungen)

    Die Quantenfeldtheorie (QFT) – oft spricht man auch etwas genauer von “relativistischer QFT” entstand aus dem Versuch, die Quantenmechanik und die spezielle Relativitätstheorie (SRT) miteinander in Einklang zu bringen.

    Hm, das mag historisch so gewesen sein – aber natürlich kann man prinzipiell auch nicht-relativistische Feldtheorien quantisieren, wenn ich mich nicht irre (z. B. in der theoretischen Festkörperphysik, um auf die Phononen zu kommen). Letztlich ist QFT nichts anderes als Anwendung der grundlegenden Postulate der Quantentheorie auf Feldtheorien.

    Die Schrödingergleichung (also die Grundgleichung der Quantenmechanik) ist selbst allerdings auch keine relativistische Gleichung …

    Das kommt ganz drauf an, was man darunter versteht… wenn man unter “Schrödingergleichung” die Gleichung i hquer del_t Ψ = H Ψ versteht (wie übrigens auch Wikipedia), dann kann die Gleichung bei geeignet gewähltem Hamiltonoperator durchaus relativistisch sein… 😉

    Tatsächlich hat Schrödinger zunächst eine relativistische Gleichung füt Elektronen hergeleitet, die er dann allerdings wieder verworfen hat, weil sie falsche Vorhersagen machte. Sie ist dann kurz darauf wiederentdeckt und unter dem Namen Klein-Gordon-Gleichung bekannt geworden.

    Danke! War mir nicht bekannt, dass Schrödinger die auch schon gefunden hatte…

    Zu deinem Feynman-Zitat am Schluss (“We don’t bother with rigor,…”) fällt mir wieder eines meiner Lieblings-Zitate aus dem zweiten Band des Bronstein ein (aus dem Gedächtnis zitiert):

    Bis heute existiert keine mathematisch zufriedenstellende Formulierung der Quantenfeldtheorie für realistische Situationen. Dennoch berechnen die Physiker mit ihren vom mathematischen Standpunkt aus höchst fragwürdigen Methoden physikalische Ergebnisse mit größter Präzision. Es bleibt die Aufgabe der Mathematiker, diese erstaunliche Tatsache zu begründen.

  11. #11 Bjoern
    10. Oktober 2011

    @MartinB: Nochmal zu diesem Zitat:

    Die Quantenfeldtheorie (QFT) – oft spricht man auch etwas genauer von “relativistischer QFT” entstand aus dem Versuch, die Quantenmechanik und die spezielle Relativitätstheorie (SRT) miteinander in Einklang zu bringen.

    Wenn man QM und SRT miteinander in Einklang zu bringen versucht, erhält man natürlich nicht sofort eine QFT – sondern erst mal relativistische Quantenmechanik (Klein-Gordon- und/oder Dirac-Gleichung). Erst die zweite Quantisierung, die ein eigener Schritt ist und nicht viel mit “QM und SRT miteinander in Einklang bringen” zu tun hat, führt dann auf eine QFT.

    So, jetzt aber wirklich genug mit den nitpicks… 😉 Ich nehme sowieso an, dass du das in den nächsten Teilen noch genauer erläutern wirst…

  12. #12 MartinB
    10. Oktober 2011

    @Bjoern
    Na, heute den Rotstift gespitzt? Wohl gerade Klassenarbeiten korrigiert? :-)

    “Hm, das mag historisch so gewesen sein”
    Deswegen steht da ja auch “entstand aus” (ätsch – ich kann auch nitpicken).

    “dann kann die Gleichung bei geeignet gewähltem Hamiltonoperator durchaus relativistisch sein… 😉 ”
    Stimmt, ne relativistische SGl gab’s auch , die hatte ich verdrängt. Aber zum Glück kann ich mich rausreden, dass ich die gemeinte Form der SGL ja hingeschrieben habe.

    Zu deinem Bronnstein-Zitat: Ist vermutlich etwas älter, oder? Wie ich bei Zee (und ich glaube auch bei Weinberg) gelesen habe. sieht man das Renormierungsproblem heute anders und geht davon aus, dass man es ja eh mit einer effektiven Theorie mit endlichem cutoff zu tun hat. Finde ich auch irgendwie logisch – wenn ein virtuelles Teilchen die Masse des gesamten Universums hat, wird schon irgendwas seltsames passieren…

    “sondern erst mal relativistische Quantenmechanik (Klein-Gordon- und/oder Dirac-Gleichung)”
    Ja, aber die waren letztlich doch Irrwege, die man mit Mitteln wie dem “Dirac-See” zu kitten versuchte (und spätestens wenn man versuchen würde Pionen mit der KG-Gleichung zu beschreiben, sollte das Ganze zusammenbrechen, weil’s da keine Dirac-See geben kann.) Zähle ich zu den konzeptionellen Hürden. Ich hatte im Studium immer arge Probleme damit, die Zusammenhänge sauber auseinanderzuhalten und zu verstehen, dass man erst ne KG-Gleichung mit ner “Wellenfunktion” hat und die dann plötrzlich nen Feld wird, das man dann nochmal quantisieren muss.

    Aber da werde ich bei Gelegenheit ein bisschen drauf eingehen (allerdings “hintenrum”) – an dem Teil schreibe ich gerade.

  13. #13 Bjoern
    10. Oktober 2011

    @MartinB:

    Na, heute den Rotstift gespitzt? Wohl gerade Klassenarbeiten korrigiert?

    Nee, das fängt erst morgen an – bzw. unangesagte Kurzarbeiten, also sag’s meinen Schülern bitte nicht weiter! 😉

    Zu deinem Bronnstein-Zitat: Ist vermutlich etwas älter, oder?

    Öh, glaube schon – gelesen hab’ ich’s wohl das erste Mal vor über 10 Jahren, und da war der Bronstein schon ziemlich veraltet.

    Wie ich bei Zee (und ich glaube auch bei Weinberg) gelesen habe. sieht man das Renormierungsproblem heute anders…

    Ich weiss nicht, ob sich das Zitat unbedingt auf die Renormierung bezieht – es könnte z. B. auch der Pfadintegral-Formalismus gemeint sein. (habe schonmal woanders gelesen, dass das Integralmaß da wohl nicht mathematisch sauber definiert ist)

  14. #14 MartinB
    10. Oktober 2011

    “habe schonmal woanders gelesen, dass das Integralmaß da wohl nicht mathematisch sauber definiert ist”
    Ja, das mag sein – aber auch da kann man sich immer auf “unterhalb der Planckskala gelten eh andere Regeln” zurückziehen…

    Ansonsten:

    HEY,BJOERNSCHUELER, ICH WEIẞ WAS!!!!!

  15. #15 mar o
    11. Oktober 2011

    Ich finde an der QFT als Einsteiger am verwirrendsten, dass die meisten Autoren und Dozenten kaum Verbindungen zur nicht-relativistischen QM ziehen. Hamiltonoperatoren, der Ortsoperator, Wellenpakete, gebundene Zustände, Messungen, und vieles mehr, werden oft mit keinem Wort erwähnt.

    Der Ansatz, mal eben alle einfachen kovarianten klassischen Feldgleichungen / Lagrangedichten zu konstriuieren, zu quantisieren, und dann Feynmandiagramme auszurechnen, ist wohl einfach zu verlockend.

    Das hat jetzt mit deiner Serie nicht so viel zu tun. Wahrscheinlich hast du wegen deinem Laienpublikum sowieso schon vor, mehr auf Bekanntes aufzubauen als Feldtheorie vom Himmel fallen zu lassen. Bin gespannt 😉

  16. #16 MartinB
    11. Oktober 2011

    @mar o
    Nein, ich habe vor, die QFT aus der klassischen Feldtheorie abzuleiten – nachdem wir quantenmechanische Pfadintegrale abgehandelt haben.

    Die Verbindung zur gewöhnlichen QM kann man am Ende relativ leicht ziehen (ich habe aber Zweifel, dass ich jemals so weit komme) – man kann die SGL als Grenzfall aus der QFT bekommen (die Herleitung steht auch irgendwo bei Zee, glaube ich).

  17. #17 Bjoern
    11. Oktober 2011

    @mar o:

    Ich finde an der QFT als Einsteiger am verwirrendsten, dass die meisten Autoren und Dozenten kaum Verbindungen zur nicht-relativistischen QM ziehen. Hamiltonoperatoren, der Ortsoperator, Wellenpakete, gebundene Zustände, Messungen, und vieles mehr, werden oft mit keinem Wort erwähnt.

    Da in der QFT das grundlegende Objekt ein Feld ist, nicht die Position eines Teilchens, sehe ich nicht, wie es in der QFT einen Ortsoperator geben sollte… Was sollten denn die Eigenwerte dieses Operators sein? Ein Feld hat doch keinen Ort!

    Eine Hamiltonoperator und so etwas ähnliches wie eine Wellenfunktion (eigentlich ein Wellenfunktional) gibt’s da natürlich auch, aber das wird tatsächlich in kaum einem Buch erwähnt.

  18. #18 mar o
    11. Oktober 2011

    @Bjoern:

    Ja, die fundamentalen Objekte sind Felder. Trotzdemgeht es fast immer um Teilchen, die miteinander wechselwirken (Feynman-Diagramme) und im Experiment lokal (in einem Detektor mit Ortsauflösung) nachgewiesen werden. Da liegt es als Einsteiger doch nahe sich zu fragen, wie die Beschreibung von Teilchen in der QFT mit der bekannten quantenmechanischen Beschreibung zusammenhängt.

    Oder allgemeiner: da die QFT als grundlegendere Theorie die gewöhnliche QM enthält, kann sie auch Zustände mit einer festen Zahl lokalisierter Teilchen beschreiben. Das passiert natürlich nicht über einen Ortsoperator für Felder, aber zumindest muss für gewöhnlich quantenmechanisch beschreibbare Systeme der Zusammenhang mit dem Ortsoperator der Teilchen ableitbar sein.

    Außerdem startet man in der kanonischen Quantisierung mit “klassischen” Feldern und lässt dann meist die Fockzustände der zweiten Quantisierung vom Himmel fallen. Die zweite Quantisierung basiert aber auf Vielteilchen-Zuständen lokalisierbarer Teilchen (zumindest für massive Teilchen). Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Formalismen wird in keinem Buch das ich kenne beleuchtet. Weinberg (und auch Zee) kenne ich allerdings nicht.

  19. #19 MartinB
    11. Oktober 2011

    @mar o
    Ob ich auf dem Level, das dich interessiert, was erhellendes zu sagen haben werde, weiß ich nicht.
    Wie die Teilchen und Feynman-Diagramme aus den Feldern rauskommen, werde ich hoffentlich halbwegs sinnvoll erklären können. (Allerdings nicht mit kanonischer Quantisierung, sondern übers Pfadintegral – bei der kanonischen Quantisierung fehlt mir immer die Anschauung, wie ich aus der Zeitordnung über die Fourier-Trafo der Heaviside-Funktion plötzlich schwupps den Propagator rausbekomme. Falls da einer von euch ne Idee hat, wie man sich diese Rechnung anschaulich machen kann…)

    Wie gesagt, beim Zee steht drin, wie man die SGL wieder “zurückgewinnen” kann, das ist doch schon mal was. Aber x als Ortsoperator funktioniert in der QFT nicht so einfach – dann müsste man auch die Zeit zum Operator machen, sonst ist es nicht relativistisch sauber.

  20. #20 mar o
    11. Oktober 2011

    @MartinB:

    Ich glaube schon. Über Quantisierung mit Pfadintegralen weiß ich zum Beispiel noch gar nichts. 😉

  21. #21 mar o
    11. Oktober 2011

    Und noch kurz zum Ortsoperator:

    Ich meinte da eher den nicht-relativistischen Grenzfall, denn eine komplette relativistische, gewöhnliche QM ohne Felder existiert ja nicht.

    Ein relativistischer Ortsoperator kann aber prinzipiell konstruiert werden (“Newton-Wigner-Operator”).

  22. #22 Bjoern
    11. Oktober 2011

    @mar_o:

    da die QFT als grundlegendere Theorie die gewöhnliche QM enthält, kann sie auch Zustände mit einer festen Zahl lokalisierter Teilchen beschreiben.

    Ja, das kann sie natürlich prinzipiell.

    Das passiert natürlich nicht über einen Ortsoperator für Felder, aber zumindest muss für gewöhnlich quantenmechanisch beschreibbare Systeme der Zusammenhang mit dem Ortsoperator der Teilchen ableitbar sein.

    Hm, da bin ich überfragt – wüsste nicht, wie das gehen sollte.

    Außerdem startet man in der kanonischen Quantisierung mit “klassischen” Feldern und lässt dann meist die Fockzustände der zweiten Quantisierung vom Himmel fallen.

    Wieso vom Himmel fallen? Die folgen doch schlicht aus den im Prinzip üblichen Quantisierungsregeln?

    Ich meinte da eher den nicht-relativistischen Grenzfall, denn eine komplette relativistische, gewöhnliche QM ohne Felder existiert ja nicht.

    Meinst du das so, dass die Dirac- bzw. Klein-Gordon-Gleichung keine in sich konsistenten Beschreibungen von Ein-Teilchen-Systemn liefern?

  23. #23 Bjoern
    11. Oktober 2011

    @mar o: Ach ja, betreffend “gebundene Zustände”: zu denen gibt’s in der QFT verschiedene Zugänge. Im Weinberg steht, soweit ich mich erinnere, irgendwo drin, wie man QFT-Korrekturen zu QM-gebundenen Zuständen berechnen kann. Außerdem gibt es den sogenannten Wilson-Loop, der vor allem in der QCD für Mesonen verwendet wird. Und soweit ich mich erinnere, gab’s dann z. B. auch noch die sogenannte “Bethe-Salpeter-Gleichung” – mit der habe ich mich aber nie näher beschäftigt.

  24. #24 MartinB
    11. Oktober 2011

    Und zu den gebundenen Zuständen:
    man kann immerhin ziemlich leicht zeigen, dass z.B. zwei klassische Ströme, die ein bosonisches Teilchen austauschen, sich anziehen. Eigemtlich habe ich vor, das auch irgendwann zu erklären (Urgs, worauf habe ich mich da eigentlich eingelassen???).

  25. #25 XL
    14. Oktober 2011

    @MartinB:

    > Damit Raum und Zeit sich korrekt zueinander verhalten, müssten beide dieselbe
    > Ableitungsstufe (sagt man das so?) haben.

    Das sagt man in der Tat nicht so. Bei Ableitungen (und noch mehr Differentialgleichungen) spricht man von Ordnungen. Dgl 1. Ordnung, 2. Ordnung etc.

    Ich bin auch nicht so ganz sicher, ob die Aussage an sich: “zeitliche und räumliche Ableitungen müssen die gleiche Ordnung haben, damit die DGL ein korrektes Raum/Zeit-Verhalten beschreibt” so überhaupt stimmt.

    Aber ich bin ja auch bloß Mathematiker, kein Physiker 😛

  26. #26 MartinB
    14. Oktober 2011

    @XL
    Sagt man das echt auch für Ableitungen? Wusste ich nicht. Wider was gelernt.

    Die Aussage, dass die Ordnung für eine relativistisch invariante Formulierung dieselbe sein muss, stimmt aber auf jeden Fall.

  27. #27 perk
    14. Oktober 2011

    man nennt das ding grad der ableitung, soweit ich weiß^^

  28. #28 MartinB
    14. Oktober 2011

    @perk
    So heißt es zumindest auch bei Wiki unter
    http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung
    Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, nennt man die Ordnung.

    So, da Wiki ja bekanntlich das letzte Wort der Wahrheit hat, ist’s damit geklärt 😉

  29. #29 Frank Wappler
    14. Oktober 2011

    mar o schrieb (11.10.11 · 17:52 Uhr):
    > Ein relativistischer Ortsoperator kann aber prinzipiell konstruiert werden (“Newton-Wigner-Operator”).

    Diese Bemerkung erscheint mir in mehrfacher Hinsicht fragwürdig:
    (1) Inwiefern wäre (ausgerechnet) der “Newton-Wigner-Operator” relativistisch?
    R. Haag, “Local Quantum Physics”, z.B., der zwar nicht “Newton-Wigner-Operatoren” an sich diskutiert, aber immerhin “Newton-Wigner wave functions”, unterscheidet diese ausdrücklich von “covariant wave functions”.

    (2) Sofern “Ortsoperatoren” einer Konstruktion bedürften, woher kämen die “Bauelemente”, mit denen diese Konstruktion ausgeführt würde? Müssten diese vermeintlichen “Bauelemente” nicht eher selbst konstruiert als eingesetzt werden?

    (3) Inwiefern wäre der Begriff “Ort” (und ein entsprechender Operator) für Beschreibung und Diskussion von experimentellen (oder gedanken-experimentellen) Versuchsanordnungen und Ergebnissen überhaupt erforderlich?
    Es werden dabei doch, gerade im Zusammenhang mit der RT, stattdessen einfach die unterscheidbaren Beteiligten benannt; z.B. “A”, “B”, “M”, “M'”, “Gleisschwelle”, “Zugabteiltür”, “CNGS target”, “OPERA detector” usw.

  30. #30 MartinB
    14. Oktober 2011

    @FW
    ROTFL.

  31. #31 John Ullmann
    23. November 2011

    Hallo Herr Bäcker,
    ich glaube, dass ich die richtige Formulierung der allgemeinen Quantenfeldtheorie gefunden habe. Es ist der antisymmetrische Tensor dritter Stufe ((Aikl)), den man auf Grund seiner Antisymmetrie durch Quantenzahlen darstellen kann. Ich würde Ihnen gerne den ausfürlichen Beweis (mit physikalischer Begründung) gerne zuschicken, da er doch etwas umfangreich ist. Es würde mich sehr freuen, wenn Sie mior antworten.
    Gruß John Ullmann

  32. #32 MartinB
    23. November 2011

    @J. Ullmann
    Dafür bin ich dann doch nicht kompetent genug – wenn Sie den Beweis ausgearbeitet haben, laden Sie ihn bei arXiV hoch oder schicken Sie ihn an eine Fachzeitschrift…

  33. #33 John Ullmann
    27. November 2011

    Hallo Herr Bäcker,
    schön dass Sie geantwortet haben. Leider ist es so, dass die Fachzeitschriften meine Manuskripte gleich unbesehen zurückschicken, da ich für sie ein Nobody bin. Die Quantenfeldtheorien leiden hauptsächlich an ihren inneren Widersprüchen, die ich, wie ich glaube, durch meine Theorie Schritt für Schritt beseitigt habe. Dazu musste ich die Prinzipe der Quantentheorie und Relativitätstheorie von Grund auf neu aufrollen. Das Ganze ist also sehr einfach und verständlich geschrieben. Ich suche deshalb einen Diskussionspartner, dem ich meine Theorie schicken kann. Ich würde sie Ihnen gerne per Email (meine ist: johnullmann@gmx.de) oder auch per Post zuschicken.
    Mit freundlichem Gruß John Ullmann

  34. #34 MartinB
    27. November 2011

    @J. Ullmann
    Wie gesagt, kein Interesse, tut mir leid.

  35. #35 Axel
    Kölle
    19. Juli 2015

    @Bjoern, @MartinB: Ok. ich versuch eurer Diskussion jetzt mit Hilfe von Wikipedia und Rotwein zu folgen. Ich denke der Rotwein hilft mehr…. 😉