“Was ist ein Vakuum?” – “Ich hab’s im Kopf, aber ich komm nicht drauf.”

So ähnlich wie in diesem alten (zugegebenermaßen seeehr alten – aus dem Keller hört man dumpf das monotone Rattern der Bartwickelmaschine…) Scherz geht es mir im Moment. Im letzten Teil habe ich versucht, euch zu erklären, wie man sich das Vakuum vorstellen kann. Deutlich schwieriger scheint es zu sein, zu erklären, wie man sich das Vakuum nicht vorstellen kann oder sollte. Leider wimmeln Physikbücher und Internetseiten von Sätzen wie “Teilchen entstehen ständig aus dem Nichts und vergehen wieder” oder “Teilchen borgen sich Energie mit Hilfe der Unschärferelation”, die zwar nett klingen, aber leider letztlich falsch sind. Versuchen wir mal, etwas Licht ins Dunkel des Vakuums zu bringen.

Die Vakuumenergie

Nach dem, was ich letztes Mal geschrieben habe, ist das Vakuum ein Überlagerungszustand aus lauter unterschiedlichen Feldkonfigurationen. Solche mit großer Wellenlänge (wo sich das Feld nur sanft räumlich ändert) und mit kleiner Amplitude (also geringen Werten des elektrischen Feldes) sind dabei wahrscheinlicher (sie tragen stärker zum Zustand bei) als solche mit kurzer Wellenlänge oder mit großer Amplitude. Das habe ich in diesem Bildchen hier zusammengefasst:

vakuumAll2

Es ist immer etwas knifflig, sich solche Quantenfelder anschaulich vorzustellen, aber wir können es mit einer Analogie versuchen: Auch ein schwingendes Seil oder eine Saite kann unterschiedliche Wellenmuster bilden (denkt zum Beispiel an die Schwingungen einer Gitarrensaite). Wenn eine solche Gitarrensaite schwingt, dann hat sie natürlich auch eine Energie – deswegen muss man ja auch dran zupfen. Lässt man sie los, dann kommt sie irgendwann zur Ruhe. Eine quantenmechanische Gitarrensaite kommt aber nie wirklich zur Ruhe – sie ist immer in einem Zustand, in dem unterschiedliche Schwingungen überlagert sind, genau wie unser Vakuum. (In der Festkörperphysik hat man dasselbe mit den Schwingungen des Kristallgitters, den sogenannten “Phononen”.)

Und weil in Schwingungen Energie steckt, steckt auch in unserer Gitarrensaite noch Energie, selbst wenn sie scheinbar zur Ruhe gekommen ist. Diese Energie können wir nicht messen, dazu müssten wir sie der Gitarrensaite entziehen, aber das geht nicht, denn sie ist ja schon so sehr in Ruhe, wie es überhaupt nur geht.

Genau dasselbe gilt für unser Vakuum: Nach der Quantenfeldtheorie enthält das Vakuum Energie, aber diese Energie kann man – anders als in der Science fiction oder auch anderswo – dem Vakuum nicht entziehen, weil das Vakuum ja schon der Zustand mit der niedrigsten Energie ist. Man bezeichnet diese Energie deswegen naheliegenderweise als Vakuumenergie oder manchmal auch als Nullpunktsenergie – letzteres, weil sie am absoluten Nullpunkt, also wenn ihr ein System so weit abgekühlt habt, wie es nur geht, immer noch da ist.

Die Vakuumenergie ist für die QFT ein gewisses Ärgernis – in den Rechnungen spielt sie normalerweise keine Rolle, weil ja alle Prozesse sowieso im Vakuum stattfinden und man deswegen davon nichts merkt. Aber wenn man ihren Wert ausrechnet, dann kommt er in der Theorie als unendlich heraus – und selbst wenn man annimmt, dass die QFT irgendwann (auf der sogenannten Planck-Skala, also bei winzig kleinen Abständen, bei denen auch Gravitationseffekte in der QFT wichtig werden) nicht mehr gilt, ergibt sich immer noch ein riesiger Wert für diese Nullpunktsenergie.

Wie gesagt, in der QFT selbst ist dieser riesige Wert egal – wenn ich euch eine Fantastilliarde Euro aufs Konto einzahle, aber euer Konto so gebucht wird, dass ihr immer mindestens diese Fantastillioarde auf dem Konto haben müsst, dann merkt ihr davon nicht viel- wenn ihr eine Fantastilliarde plus Hundert Euro auf dem Konto habt, dann könnt ihr trotzdem nur Hundert Euro ausgeben.Ihr merkt also von dem Geld nichts. Obwohl – gibt es nicht doch einen Effekt, den wir bisher nicht berücksichtigt haben? Ihr müsstet ja – ein entsprechendes Konto vorausgesetzt – gigantisch viele Zinsen dafür bekommen.

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Kommentare (90)

  1. #1 malaclypse
    13. August 2013

    Klaubers Paper zur Vakuum-Energie finde ich höflich ausgedrückt sehr fragwürdig. (Anmerkung: Komplett habe ich es zuletzt vor etwa einem Jahr gelesen (was mich dann auch davon abhielt, sein QFT-Buch zuende zu lesen), jetzt bin ich nur bis einschließlich Abschnitt 3.2 + Anhang A gekommen; es kann also sein, dass im Folgenden Ungenauigkeiten stecken).
    Seine Grundidee besteht ja daraus, zusätzliche (“supplemental”) Lösungen der Feldgleichungen einzuführen, von denen er behauptet, sie wären beim üblichen Vorgehen nicht eingeschlossen (Abschnitt 2). Meiner Meinung nach ist das aber einfach falsch: Sein e^{i \omega t + i k x} ist exakt gleich dem üblichen e^{i \omega t – i k x} mit Vorzeichenwechsel in k. Und da k einerseits keine direkt messbare Größe ist und andererseits in messbaren Größen stets über alle k summiert/integriert wird, liefert seine Supplemental Solution keine neue Information. Sie sieht nur aus wie ein weiterer Freiheitsgrad, ist es aber in Wirklichkeit nicht.
    Aber dann wird es erst richtig seltsam: Obwohl die Supplemental Solutions neue Lösungen der alten Feldgleichungen sein sollen, führt er in Abschnitt 3 für sie ein neues Feld mit neuen Termen im Lagrangian (die genauso aussehen wie die für das ursprüngliche Feld) ein. Dann definiert er die Modenentwicklung des neuen Feldes so, dass die Kommutatorrelationen der Erzeuger und Vernichter ein negatives Vorzeichen bekommen, was letztendlich zu einem anderen Vorzeichen in der Vakuum-Energie des Supplemental-Feldes (und damit zum Verschwinden der Gesamt-Vakuumenergie) zu führen scheint.
    Das Problem dabei ist aber, dass seine “Erzeugungsoperatoren” (a^\dagger, b^\dagger) eigentlich Vernichter und seine “Vernichter” (a, b) eigentlich Erzeuger sind. (Sieht man leicht, wenn man ein bisschen mit der “Algebra mit falschem Vorzeichen” rumspielt.) Deshalb ist sein a\dagger a im Hamiltonian kein Anzahloperator (er hat keinen Eigenzustand zum Eigenwert 0) und sein -1/2 ist nicht die Vakuum-Energie. Wenn man umordnet, so dass ein echter Anzahloperator da steht (nämlich in seiner Notation a a^\dagger), sieht man dass die echte Vakuum-Energie wie gewohnt +1/2 ist. Durch das neue Feld ist also nichts gewonnen.
    Sein Ansatz liefert demnach keine Lösung des Vakuum-Energie-Problems, sondern führt nur ein zusätzliches Feld ein, das sich physikalisch nicht vom bekannten Feld unterscheidet. Der einzige Unterschied ist, dass man es mit irreführenden Größen beschreibt. Das und die Tatsache, dass man ein solches Feld anscheinend noch nicht beobachtet hat (das würde ja zu einer Vergrößerung der Zahl möglicher Reaktionswege führen und hätte damit experimentell beobachtbare Konsequenzen), lässt mich schließen, dass sein Ansatz ziemlich nutzlos ist.

  2. #2 rolak
    14. August 2013

    Die nick-Recherche ist imho wg des mitgelieferten Querverweises bestenfalls einen einzigen HwDTaler wert, erinnert mich an Pfarrer. Der nick scheint übrigens ziemlich weit verbreitet zu sein – was ist denn sein mir bisher verborgener Ursprung?
    Á propos Ursprung: Der Spruch mit der Bartaufwickelmaschine – zuerst gehört habe ich ihn Anfang der 70er vom Deutschlehrer. Gibt es da evtl eine ursprüngliche Quelle?

    btt: Dieser post macht Appetit auf den zu der Nicht-Teilchengenese.

  3. #3 MartinB
    14. August 2013

    @malaclypse
    Ja, mir kommt Klaubers Lösung auch etwas dubios vor – mir scheitn es, als habe er letztlich die avancierten Lösungen von Wheeler/Feynman wiederentdeckt. Ich habe sie auch mehr erwähnt, um zu zeigen, dass es immerhin noch Leute gibt, die sich mit der Frage beschäftigen. Auf jeden Fall Danke für die detaillierte Analyse, so genau hatte ich es mir nicht angeguckt.

    @rolak
    “Der nick scheint übrigens ziemlich weit verbreitet zu sein – was ist denn sein mir bisher verborgener Ursprung?”
    Genau dafür gibt es ja die HwD-Taler zu gewinnen – nicht dafür, den Link anzuklicken und herauszufinden, wie der nick lautet…
    Wo der Spruch mit der Bartwickelmaschine herkommt, weiß ich nicht, der ist so alt, da braucht man schon eine Meta-Bartwickelmaschine…

  4. #4 H.M.Voynich
    14. August 2013

    Ich machs nicht jedesmal, aber ab und zu muß ich einfach mal “Danke” sagen, Du machst das super, auch wenn ich nicht mal die Hälfte verstehe.

    Keine Ahnung, wie Du es nebenbei auch noch schaffst, bei Genderdiskussionen mit einem kurzen Kommentar viele Aspekte in ein Licht zu rücken.

    Ich bekenne mich hiermit auch als Fan (und hoffe, mit meinen gelegentlichen Fragen nicht allzu sehr zu nerven, auch wenn die von außen oft durchaus trollig aussehen können).

  5. #5 H.M.Voynich
    14. August 2013

    Was Dir als Profi sicher gar nicht in den Sinn kommt, ist für mich als Laien-Spinner die Verknüpfung des Casimir-Effekts mit der Gravitation. (Klar, paßt nicht, Gravitation ist Wurzel aus Abstand, Casimir nur die vierte Wurzel, also fast immer Null :) ).

    Es ist ja eine ganz einfache Überlegung: was, wenn die Gravitation keine anziehende Kraft ist, sondern eine abstoßende, die aus allen Richtungenen ströhmt, und von Objekten abgefangen wird, so daß Netto im Schatten zweier Objekte eine Anziehung resultiert?
    Das ist doch das das selbe Prinzip wie bei Casimir: Anziehung wegen Mangel an Abstoßung.

    Meines Wissens wurde schon vor 200 Jahren gezeigt, daß dieses Modell der abstoßenden Gravitation ein thermisches Problem hat – alles würde sich furchtbar aufheizen.
    Aber wurde das auch mit modernen Modellen schon durchgerechnet?

  6. #6 schlappohr
    14. August 2013

    Hm.. ich bin jetzt nach dem 2. Teil ein wenig verwirrt.

    (1) Die QFT sagt eine Vakuumenergie voraus, die aber viel zu groß für ein stabiles Universum ist. Da man einen Faktor angeben kann (Billionbillionbillion…) ist der wahre Wert offenbar bekannt, d.h. man kann ihn messen, oder? Wenn man die Vakuumenergie messen kann, warum kann man sie dann nicht auch nutzen? (Nein, ich bin kein Eso, aber diese Frage drängt sich mir auf an dieser Stelle).

    (2) Von Jaffes Arbeiten einmal abgesehen: Wenn dem Vakuum zwischen den Casimir-Platten Energie entzogen wird, dann kann die Vakuumenergie nicht minimal sein. Ist die Definition, dass im Vakuum die Überlagerung aller Felder Null ergibt (sodass nur die Nullpunktenergie übrig bleibt) nicht unzureichend, wenn auch die Nullpunktenergie kann noch reduziert werden kann?

    (3) Ich verstehe nicht, warum die oft beschriebene Quantenfluktuation aufgrund der Unbestimmtheit *nicht* stattfinden sollte, wie Du im ersten Abschnitt schreibst.

    Sorry, ich hab mittendrin irgendwie den Faden verloren. Ich versuchs jetzt mal mit einem Kaffee :-(

  7. #7 MartinB
    14. August 2013

    @HMVoynich
    Ja, das mit der Gravitation ist eine sehr alte Idee, die aber nicht funktioniert, meines Wissens gibt es auch keinen weg, das mit der modernen QFT oder sonstwie zu retten (zumal wir Gravitation ja inzwischen als Raumzeitkrümmung verstehen…)

    Ansonsten, nein, Deine Fragen nerven überhaupt nicht und es ist immer gut zu sehen, woran “Laien” so hängen bleiben, manchmal ist es ja gar nicht leicht, sich da wieder reinzuversetzen.

    @Schlappohr
    Zu (1) Nein man kann die Vakuumenergie nicht direktt messen. Man kann sie berechnen und wenn man den berechneten Wert dann in die Gleichungen der Relativitätstheorie einsetzt, dann sieht man, dass das Universum im Nullkommanix kollabieren würde.

    (2) Minimal ist ja immer eine Frage der Randbedingungen. Du kannst es auch anders sagen: Wenn ich Platten hinzufüge, ist es eben kein Vakuum mehr…

    (3) Das habe ich ja auch nicht erklärt, das kommt noch demnächst. Kurz gesagt: Der vakuumzustand ist ein Energieeigenzustand, er hat eine scharfe Energie und da gibt es keine Unschärfe – und die Unschärferelation zwischen Energie und Zeit ist eh ein ganz anderes Ding als die zwischen z.B. Ort und Impuls. Und wenn man in Feynman-Graphen denkt (was aber oft irreführend ist), dann sieht man auch, dass an jedem Knoten im Diagramm Energie und Impuls erhalten sind. Was virtuelle Teilchen verletzen ist nicht die Energieerhaltung, sondern die Energie-Impuls-Bedingung. Aber wie gesagt, das werde ich hoffentlich demnächst alles nochmal ausführlich aufdröseln.

  8. #8 wrdlbrmpft
    14. August 2013

    Vielen Dank für diese Serie! Auch wenn sie wieder einmal zur Verunsicherung einer armen kleinen Lehrerin dient, die ihren Oberstufenschülern offensichtlich auch immer wieder die falsche Erklärung mit auf den Weg gegeben hat. (Das steht zwar nicht direkt im Lehrplan, aber die Fragen tauchen ja einfach auf, und dann muss auch eine Antwort her. Da ist die Erklärung mit der Unschärferelation eben wirklich schön einleuchtend. Ich bin gespannt, ob für die Zukunft eine andere Erklärung aus deiner Serie rausspringt, oder ob es dann leider auch wieder ein Thema wird, bei dem ich “das führt zu weit” antworten muss.)

    Ich habe auch noch zwei Fragen zur Klarstellung:

    1a) Entspricht die Minimalenergie genau der quantenmechanischen Nullpunktsenergie, oder ist das nur ein Vergleich?

    1b) Könnte man die Minimalenergie mit dem Nullniveau der Lageenergie vergleichen? Das kann ich ja letztlich definieren, wie ich will. Und wenn ich die Energie im Vakuum nun “gleich null setzen” würde, wäre sie tatsächlich minimal?

    1c) Beim Schreiben von 1b fällt mir auf, dass ich die Minimalenergie anscheinend noch gar nicht kapiert habe. Denn wenn die Energie im Vakuum tatsächlich minimal wäre, dann wäre sie ja nirgendwo sonst kleiner. Offensichtlich kann ich sie ja aber verkleinern, wie du ja auch in deiner Antwort an Schlappohr schreibst. Die Verwirrung nimmt zu…

    2) In der Schule gibt’s ja gerne so Aufgaben wie “ein Elektron wird im Vakuum beschleunigt”. Da hab ich immer schon gedacht: Sobald das Elektron da reingeschossen wird, ist es doch kein Vakuum mehr… Wie stehst du zu diesen Formulierungen? Ich vermute, dass es rechnerisch kaum einen Unterschied macht, ob dieses Elektron da jetzt drin ist oder nicht – für die Berechnungen, die man in der Schule durchführt (z.B. Ablenkung auf dem Schirm einer Braunschen Röhre), spielt diese Feinheit sicher keine Rolle.

    Wieder mal fällt es mir schwer, meine Verwirrung in verständliche Fragen zu gießen… Ich hoffe, du kannst erahnen, wo meine Schwierigkeiten liegen und mir vielleicht ein bisschen weiterhelfen.

    Ich freue mich auf den nächsten Teil der Serie! :-)

  9. #9 schlappohr
    14. August 2013

    @MartinB

    zu (1): D.h. man kennt den tatsächlichen Wert der Vakuumenergie nicht oder nicht genau? Weil Du oben von einer gigantischen Abweichung zwischen Theorie und Experiment gesprochen hast. Daher dachte ich, man kennt den _richtigen_ Wert der VE aus einer Messung, aber die QFT liefert einen viel zu großen Wert.

  10. #10 volker
    Waakirchen
    14. August 2013

    @ martin & al

    Anfangs muss ich wie immer meinen Spruch aufsagen:
    Ich bin kein professioneller Physiker, sondern nur engagierter Amateur.
    Aber bedenkt: Die Arche ist von einem Amateur erbaut worden, die Titanic aber von vielen Profis! (Gibt’s dafür auch eine Bartwickelmaschine?)
    Zur Sache: Die alte Idee mit der positiven Gravitation, die nur zwischen Massen wegen „Abschattung“ ein Defizit hat, und deshalb anziehend wirkt, ähnlich wie beim Casimir-Effekt, gefällt mir irgendwie verdammt gut. Haben nicht Gravitonen genau solch überlagerten QFs wie alle anderen Quantenobjekte? Kann mir das einer verständlich widerlegen?
    Die Einsteinsche Raumkrümmung hat sich ja wohl unter allen Profis als ewig richtig durchgesetzt. Die grafischen, zweidimensionalen Analogien mit der Kugelmasse auf dem Trambolin, haben mich allerdings noch nie so recht überzeugt. Ich weis, Analogien hinken immer.
    Wäre es nicht denkbar, bei sehr intensivem Nachdenken und –rechnen, dass beide Ansätze zum gleichen beobachtbaren Ergebnis führen? Und dass man damit sogar der Annäherung von SRT und QFT einen Schritt näher kommen könnte?
    Jetzt dürft ihr Physikerinnen wieder alle über mich herfallen.

  11. #11 H.M.Voynich
    14. August 2013

    @MartinB:
    Für uns Laien ist es nichtmal leicht, sich in seine eigenen Gedanken hineinzuversetzen (geht Dir offenbar auch als Profi manchmal genauso).
    Danke, daß Du es versuchst.

  12. #12 roel
    *****
    14. August 2013

    @MartinB Ich bin zwar wieder dabei alte Beiträge von Dir durch zu ackern, aber habe mir diesen jetzt auch schon mal durchgeschaut.

    Zu dem Casimir-Effekt habe ich eine Frage. Wurde das Experiment im Vakuum und im Nicht-Vakuum durchgeführt? Muss ja, um das vergleichen zu können, aber irgendwie habe ich das nicht gefunden oder überlesen.

    Ansonsten tippe ich sehr stark auf David Zindell.

  13. #13 H.M.Voynich
    14. August 2013

    @roel:
    nach meinem Verständnis dürfte es keinen großen Unterschied machen, ob man das im absoluten oder nur in einem “schwachen” Vakuum ausprobiert, da die “Druckverhältnisse” zwischen außen und innen aufs selbe rauskommen.
    Aber auf D.Z. tippe ich mal mit, kann nicht schaden. 😉

  14. #14 MartinB
    14. August 2013

    @wrdlbrmpft
    Ich denke, gerade bei Erklärungen für Schüler muss man immer überlegen (ähnlich wie auch hier im Blog) auf welchem Niveau man operieren will. Als Modellvorstellung ist das mit den virtuellen Teilchen- Antiteilchenpaaren nicht soo schlecht, auch wenn es letztlich falsch ist. Ich denke, wenn man einfach dazusagt “Man kann sich das in etwa so vorstellen..” dann ist das schon o.k.

    Was die Minimalenergie angeht: Nimm als Beispiel den harmonischen Oszillator. Der hat ja ein Minmum der Energie, legen wir den als E=0 fest. Dann hat ein Elektron im harmonischen Oszillator-Potential einen Zustand niedrigster Energie, der liegt aber höher (bei 0,5 h-quer omega). Genauso ist es beim Vakuum auch, da hast du so einen Beitrag für jede mögliche Frequenz im feld.

    Man kann die Energie im Vakuum verkleinern, indem man Platten dazutut – aber dann ist es ja auch kein vakuum mehr… Alternativ könnte man auch sagen: Die Vakuumenergie hängt von der Größe des verfügbaren Univesums ab, und die wird durch die Platten kleiner.

    “Wie stehst du zu diesen Formulierungen?”
    Finde ich völlig o.k. – ich sage ja auch: Ich gehe in einen leeren Raum – klar ist der dann hinterher nicht mehr ganz leer, aber es soll eben klar machen, dass da sonst nichts drin ist. Wenn man daran herumnörgeln wollte, dann könnteman auch gleich sagen “Aber es gibt ja eigentlich keine einzelnen Elektronen, sondern nur ein Elektronfeld” und dann müsstest du sagen “Eine lokalisierte Anregung des Elektronfeldes bewegt sich in einen Raum im Vakuumzustand…” und dann versteht man gar nix mehr. Ich denke, das ist wieder mal die Frage des Denkens in Modellen – man nimmt immer das einfachste, das noch ausreicht, um die betrachteten Phänomene zu erklären.

    Selbst Feynman hat in seinem QED-Buch alles mit Feynmandiagrammen erklärt, obwohl die nur eine störungstheoretische Näherung sind und es Effekte gibt, die man mit denen gar nicht beschreiben kann. Modelle tragen immer nur ein Stück weit, dann braucht man bessere, aber trotzdem sind sie nützlich.

    Lass dich von meinem Blog also nicht verunsichern.

    @schlappohr
    Man kann den Wert aus der QFT beerchnen und aus der Tatsache, dass es ein Universum gibt, das nicht blitzartig kollabiert, kann man – mit der ART – eine Obergrenze für die vakuumenergie bestimmen. Man kann die Vakuumenergie also in diesem Sinne “messen” (genauer gesagt, die Abwesenheit eines Einflusses der Vakuumenergie.)

    @volker
    “Kann mir das einer verständlich widerlegen?”
    Weiß ich nicht, aber allein die Entfernungsabhängigkeit kommt bei so einem Casimir-artigen Modell falsch heraus. Es gibt da aber sehr abgefahrene Modelle:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Entropic_gravity

    Was die Raumzeitkrümmung angeht: Man muss die ART nicht so formulieren, Weinberg formuliert sie in mathematisch äquivalenter Weise über ein Feld, Feynman auch, Das ist aber auch wieder eine sehr lange und komplizierte Geschichte, die erzähle ich mal irgendwann.

    Insofern gibt es keinen Grund, über deine Ideen herzufallen – die sind nicht sooo abwegig (auch wenn das mit der direkten Casimirkraft nicht geht.)

  15. #15 MartinB
    14. August 2013

    @roel
    Das wurde sicherlich im Vakuum durchgeführt – die Kräfte sind so winzig, dass sonst der Gasdruck da garantiert Ärger gemacht hätte.
    Und 10 HwD-Taler für Zindell.

  16. #16 volker
    Waakirchen
    14. August 2013

    @martin
    Danke für den link auf entropic gravity. Das muss ich mir in aller Ruhe zu Gemüte führen. Das ist doch mal ein neuer Denkansatz.

  17. #17 Chemiker
    14. August 2013

    @ MartinB

    die Unschärferelation zwischen Energie und Zeit ist eh ein ganz anderes Ding als die zwischen z.B. Ort und Impuls

    Ich kann nur simple nichtrelativistische QM. Dort habe ich das so verstanden:

    Unschärfe folgt aus nicht­kommutie­renden Opera­toren, mit ent­sprechend unter­schied­lichem Satz an Eigen­zuständen. Für die Energie-Zeit-Unschärfe funktioniert das nicht, weil die Zeit kein Operator (sondern nur ein Ent­wicklungs­parameter) ist. Für ein Wellen­paket kann man aber mit ein paar schnell hingeschriebenen Tricks (Gauß­form, Fourier­transfor­mation) die übliche Form der E-t-Unschärfe bekommen.

    Ich hatte eigentlich angenommen, daß in der rela­tivisti­schen QFT diese häß­liche Unter­scheidung irgend­wie weg­fällt. Immer­hin sind dort Ort und Zeit gleich­berechtigt, also muß es wohl (wenn es einen Orts­operator gibt) auch einen Zeit­operator geben, wahr­schein­lich in irgend­einer 4-Form, die ich nicht verstehe.

    Oder habe ich mir das zu einfach vorgestellt?

  18. #18 MartinB
    14. August 2013

    @Chemiker
    Deine QM-Vorstellung ist meiner Ansicht nach genau richtig.
    Typischerweise ist in der QFT weder Ort noch Zeit ein Operator – beide sind Parameter, weil du ja ein Feld an jedem Raumzeitpunkt hast. Insofern gibt es da auch so ohne weiteres keine Unschärfe.
    Aber selbst wenn: Auch in der normalen QM hat z.B. ein H-Atom im Grundzustand keine Energieunschärfe, egal ob ich es für ne Sekunde oder nen Jahr betrachte – der Zustand ist ein Eigenzustand der Energie, und das ist er zu jedem zeitpunkt.

  19. #19 Chemiker
    14. August 2013

    @ MartinB

    Wie sieht dann in der QFT die Ort-Impuls-Unschärfe aus, wenn es keinen Ortsoperator gibt? Oder braucht das eine Serie zur Antwort?

  20. #20 MartinB
    14. August 2013

    @Chemiker
    Kann ich aus dem Hut nicht sagen – man kann natürlich einen Impulsoperator definieren, aber nen Ortsoperator ist knifflig, da wir ja auch unterschiedliche Teilchenzahlen haben können – wo befindet sich ein feld aus 13 Elektronen?
    Wenn ich mal Zeit habe, gucke ich, ob das irgendwo steht…

  21. #21 Chemiker
    14. August 2013

    Besten Dank für die Antwort. QFT ist offenbar noch schlimmer, als ich mir das vorgestellt habe.

    Noch eine Frage. Du schreibst:In der Supersymmetrie gibt es jetzt für jede Bosonenart auch ein zugehöriges Fermion – dann heben sich all die vielen riesigen Energieterme alle sauber weg und nichts bleibt übrig. Hängt das denn nicht auch von den Teilchendichten ab?

    Die Supersymmetrie postuliert zu jedem Teilchen einen Superpartner (Photino, Selektron etc.). Aber sagt sie auch, daß es gleichviele Downs und Sdowns (oder wie auch immer die heißen) gibt? Immerhin ist die Symmetrie ja gebrochen, und das nicht zu knapp.

    Die Superpartner haben alle hohe Massen (sonst hätte man sie schon gefunden, nehme ich an), und nun verstehe ich nicht, wie sie sich da noch exakt wegheben können.

  22. #22 MartinB
    14. August 2013

    @Chemiker
    Die zahl der existierenden teilchen spielt keine Rolle – es ist ein Quantenfeld, das hat immer eine bestimtmte Vakuumenergie, egal ob es so angeregt ist, das gerade 2 oder 2000 Teilchen existieren.
    Wegheben tut sich nur die Vakuumenergie, in die geht die Masse nicht ein, soweit ich sehe.

  23. #23 Alderamin
    14. August 2013

    @MartinB

    Dazu müssen die Platten irgendwelche elektrischen Ladungen enthalten (die sich natürlich insgesamt ausbalancieren, weil die Platten elektrisch neutral sind.) Und das bedeutet, dass sich die Ladungen der beiden Platten gegenseitig beeinflussen können, indem sie über das Quantenfeld (wenn ihr wollt, könnt ihr von “virtuellen Photonen” sprechen) miteinander wechselwirken.

    Könntest Du diesen Punkt bitte noch etwas vertiefen? Wenn beide Platten neutral sind, inwiefern sollten sie sich dann beeinflussen, so dass es zu einer Anziehung kommt?

  24. #24 MartinB
    14. August 2013

    @Alderamin
    Sie müssen ja bewegliche Ladungsträger haben – sonst könnten sie das elektrische Feld nicht beeinflussen. Metall ehaben ja frei bewegliche Elektronen, die sich verschieben, bis die Feldlinien des E-Feldes senkrecht stehen. Eine Platte aus einem Isolator würde das E-Feld nicht beeinflussen (im Idealfall ohne dielektrische Effekte, denn die gibt’s auch wieder nur mit ladungen).

  25. #25 Chemiker
    14. August 2013

    Danke. Da hatte ich wohl ein geistiges Kuddelmuddel zwischen Ruhemasse und Nullpunktsenergie.

  26. #26 mar o
    14. August 2013

    Zum Thema Ortsoperator und QFT:
    David Tong konstruiert einen Ortsoperator für ein *nicht-relativistisches* Teilchen in seinen lecture notes zur QFT (Abschnitt 2.8.1). Das ist wieder so eine Sache, wo ich mich frage, warum das nicht überall steht. Das ist für den QFT-Neuling doch essentiell um die Verbindung mit der normalen QM zu ziehen.

    Und wenn man den Ein-Teilchen-Ortsoperator hat, müsste man doch über das Tensorprudkt auch Mehr-Teilchen-Ortsoperatoren kriegen. Für ein System aus 13 Teilchen kann ich ja auch einen Ortsoperator angeben.

    Zum Ortsoperator von *relativistischen* Teilchen gibt es ein berühmtes Paper von Newton (natürlich nicht *der* Newton) und Wigner (wahrscheinlich schon *der* Wigner). Die bottom line ist, dass man für massive Teilchen schon einen Ortsoperator definieren kann, für masselose allerdings nicht (Photonen!). Das ist auch so ein notirisch unanschauliches Thema.

  27. #27 Alderamin
    14. August 2013

    @MartinB

    Metall ehaben ja frei bewegliche Elektronen, die sich verschieben, bis die Feldlinien des E-Feldes senkrecht stehen.

    Das ist mir schon klar, sonst würde Metall ja keine E-Felder abschirmen, aber wie man kommt von da auf die Anziehung, bzw. wo ist der Unterschied zu Deiner eingangs genannten Erläuterung, dass niedrige Frequenzen des Quantenfelds ausgefiltert werden? Oder war das nicht der Punkt von Jaffe?

  28. #28 Alderamin
    14. August 2013

    replace_string (“man kommt” , “kommt man”);

  29. #29 rolak
    14. August 2013

    Mist, Neverness habe ich gelesen…

  30. #30 Niels
    14. August 2013

    @mar o
    Danke für den Hinweis auf Tong.

    Und wenn man den Ein-Teilchen-Ortsoperator hat, müsste man doch über das Tensorprudkt auch Mehr-Teilchen-Ortsoperatoren kriegen

    Sicher? Ich dachte, genau das funktioniert nur in der normalen QM und in der QFT eben genau nicht mehr?

    Die bottom line ist, dass man für massive Teilchen schon einen Ortsoperator definieren kann

    Wenn ich mich richtig erinnere, ist das Ganze ziemlich umstritten. Das ist aber nur Hörensagen.
    Ich hab mal kurz in die Wiki geschaut:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%E2%80%93Wigner_localization
    It is known to largely conflict with the Reeh-Schlieder theorem outside of a very limited scope.

    @Alderamin
    Na ja, üblicherweise kommt man auf die Anziehung, in dem man sagt, dass von außen mehr virtuelle Teilchen gegen die Platten stoßen als von innen, weil außen die Nullpunktsenergie größer ist und daher mehr Teilchen “aus dem Nichts entstehen” können.

    Martin schreibt:
    Man gewinnt also Energie, wenn die Platten sich annähern, und das bedeutet, dass sie sich anziehen
    Da vermisse ich aber ebenfalls eine genauere Ausführung.

    Jaffe kommt völlig ohne Vakuum aus.
    Aus dem Paper:
    When the plates were idealized as perfect conductors, assumptions were made about the properties of the materials and the strength of the QED coupling α, that obscure the fact that the Casimir force originates in the forces between charged particles in the metal plates. More specifically, the Casimir effect is a function of the fine structure constant and vanishes as α → 0.
    Explicit dependence on α is absent from eq. (3) because it is an asymptotic form, exact in the α → ∞ limit.

    The Casimir force is simply the (relativistic, retarded) van der Waals force between the metal plates.

  31. #31 Alderamin
    14. August 2013

    @Niels

    Vielen Dank, ein Licht am Ende des Tunnels zum Verständnis tut sich auf 😉

    The Casimir force is simply the (relativistic, retarded) van der Waals force between the metal plates.

    Also in etwa so: die beweglichen Elektronen in den sich gegenüber stehenden Platten stoßen sich ab, so dass ein schwacher Dipol entsteht, der zu einer Anziehungskraft führt -> van der Waals.

    Aber was meint er mit “relativistically, retarded”? Ich weiß, dass man das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters auf die Lorentz-Verkürzung der fließenden Elektronen zurückführen kann, aber was fließt hier? Die Elektronen, die den langwelligen Quantenfeld-Wellen folgen? Und dann?

  32. #32 MartinB
    14. August 2013

    @Niels
    Was fehlt denn da noch an der Ausführung – jedenfalls auf dem Niveau hier? Innen sind weniger Vakuumfluktuationen, also weniger Nullpunktsenergie – oder willst du den Effekt gegenrechnen, dass ja auch das Volumen entsprechend kleiner wird? Quantitativ wie gesagt elegant bei zee gelöst (wenn auch mathematisch wohl nicht super-präzise).

    @Alderamin
    Ich glaube, relativistically retarded heißt hier vor allem, dass man bei der Berechnung der Wechselwirkung eben die Retardierung berücksichtigen muss.
    Ansosnten habe ich das in dem Artikel vor allem deswegen schwamig gelassen, weil es mir auf die Details nicht so ankommt – es geht mir nur darum zu zeigen dass ein häufig als “Nachweis” der Vakuumfluktuationen/virtuellen Teilchen etc. angeführtes Experiment auch anders interpretiert werden kann. Irgendwer sollte das mal bei Wikipedia korrigieren.

    Ehrlich gesagt ist mir das bit dem Newton-Wigner-Krams auch völlig neu. Wieso schreibe ich eigentlich diesen Blog und nicht Ihr???

    @rolak
    Aber Sonderval ist da ja nur ein Neben-Nebencharacter, ich mochte nur den Klang des Namens sehr, als ich vor unendlich langer zeit ein Pseudonym für das Deep-Space-Nine-Discussion board brauchte (lang lang ist’s her…)

  33. #33 Alderamin
    15. August 2013

    @MartinB

    Wieso schreibe ich eigentlich diesen Blog und nicht Ihr???

    Weil Du die Ahnung hast und wir nicht? 😉
    Ich versuche ja nur, Deinen Absatz über den Herrn Jaffe zu verstehen…

  34. #34 MartinB
    15. August 2013

    @Alderamin
    Klar, deswegen komme ja auch ich mit so abgefahrenem Zeig wie nem newton-Wigner-Operator an…?

  35. #35 omnibus56
    15. August 2013

    @Volker: Die Arche ist ein Phantasieprodukt von Geologie- und Biologie-wissenschaftlichen Laien (Kreationisten), die Titanic aber ein sehr reales Produkt (von technischen Profis auf der Höhe ihrer Zeit). Dass das Phantasieprodukt funktioniert hat, ist nicht erstaunlich. In der Phantasie kann ich sogar eine Hagebaumarkt(?)-Selbstbau-Welt sich von der Erde abheben lassen (s. Werbung). :-)

  36. #36 Alderamin
    15. August 2013

    @MartinB
    Das war ich ja gar nicht… Hatte ich im übrigen auch nicht verstanden. Vielleicht ist das Zeug von Jaffe ja auch zu abgehoben für Leute, die nur ein Grundstudium in Physik hatten.

  37. #37 mar o
    15. August 2013

    @Niels:

    Sicher? Ich dachte, genau das funktioniert nur in der normalen QM und in der QFT eben genau nicht mehr?

    Ne, nicht sicher, deswegen “müsste”. 😉 Ich glaube für die nicht-relativistische QFT ist die Frage äquivalent zur Frage ob man für ununterscheidbare Teilchen einen Ortsoperator angeben kann. Und das müsste über eine entsprechende (Anti-)Symmetrisierung des Produktoperators ja gehen.

    Zum Newton-Wigner-Operator hast du natürlich Recht, der ist nicht so unproblematisch wie das in meinem Post klingt. Ich kenne mich da auch nicht im Detail aus.

  38. #38 mar o
    15. August 2013

    @Martin:

    Ehrlich gesagt ist mir das bit dem Newton-Wigner-Krams auch völlig neu. Wieso schreibe ich eigentlich diesen Blog und nicht Ihr???

    Ich finds gut, dass du den Blog schreibst. 😉 Ich hab hier schon viele interessante Dinge gelernt oder Denkanregungen bekommen. Außerdem ist das doch gerade das Schöne an Blogs, dass in den Kommentaren auch Dinge zur Sprache kommen können, an die der Autor nicht gedacht hat oder die er nicht kennt.

  39. #39 Chemiker
    15. August 2013

    Der Aussage Ich finds gut, dass du den Blog schreibst. kann ich mich nur anschließen. <ZAUNPFAHL>Das heißt natürlich keinesfalls, daß ich etwas dagegen hätte, wenn Niels oder mar o auch einen anfangen würde. </ZAUNPFAHL>

  40. #40 roel
    *****
    15. August 2013

    @MartinB Hm wird das jetzt eine Sinnfrage?

    Vor 3 Jahren und 3 Tagen schrieb ein bekannter Blogger:

    “Seit heute darf ich selbst Texte für die Scienceblogs schreiben und freue mich schon jetzt auf Eure Ideen, Kommentare und Anregungen. Da dies mein erster Blog ist, bin ich ziemlich gespannt, was mich erwartet.”

    Ich denke, darum schreibst du diesen Blog.

    HERZLICHEN GLÜCKWUNSCH NACHTRÄGLICH!!!

  41. #41 sax
    15. August 2013

    Hmm, beim lesen der Diskussion hier fiel mir ein, dass ich vor einigen Jahren mal Simulationen zur Aggregation von kolloidalen Suspensionen gemacht habe und dafür die Van der Waals Kräfte zwischen den Partikeln brauchte, was gar nicht so einfach ist (Debey-Hueckel-Abschirmung, Retartdierungseffekte etc. ) letztlich hatte ich das einfache DLVO Modell benutzt -egal zum Thema: Beim lesen der Literatur dazu wurde oft erwähnt, das man die van-der-Waals Kraft auch mit Methoden aus der QFT-beschreiben kann und sich dann herraustellt das sie eigentlich die Selbe Ursache wie der Casimir Effekt hat. Insoweit hat es mich jetzt nicht allzu sehr verwundert, das es auch umgekehrt gehen könnte – ich vermute mal, dass letztlich sind beide Bilder völlig äquivalent sind.

  42. #42 MartinB
    15. August 2013

    @mar o
    “Und das müsste über eine entsprechende (Anti-)Symmetrisierung des Produktoperators ja gehen.”
    Aber nichtrelativistisch ist die teilchenzahl von Elektronen ja auch erhalten, das macht die Sache einfacher, oder? Dann ist psi* psi eine Dichte und die kann ich entsprechend ohne Mühe interpretieren.
    Kann man so einen Operator auch für z.B. nicht-relativistische Phononen hinschreiben, deren zahl nicht erhalten ist?
    Und andere Frage, falls es jemand aus dem Hut heraus weiß (oder weiß, wo es steht): Für ein komplexes skalares feld kann man in der QFT eine Konti-Gleichung mit passendem Viererstrom hinschreiben (psi* dpsi/dt – psi dpsi*/dt)). Geht das auch für ein reelles Feld?
    @Chemiker
    Dem Zaunpfahl schließe ich mich an.

    @roel
    Stimmt, ich hatte Jubiläum, habe ich ganz vergessen!

    @sax
    So ganz klar ist mir das nicht geworden, ich habe da in unterschiedlcihen Stellen leicht unterschiedliche dinge gelesen, inwieweit das wirtklich dasselbe ist.

  43. #43 mar o
    15. August 2013

    @Martin:

    Aber nichtrelativistisch ist die teilchenzahl von Elektronen ja auch erhalten, das macht die Sache einfacher, oder?

    Ich würde sagen, der andere Fall ist nur unwesentlich komplizierter. Den Zustandsraum F für ein System mit variabler Teilchenzahl kann man ja als direkte Summe aus Räumen H_n mit fester Teilchenzahl ansehen. Der Ortsoperator auf F würde sich dann aus den (anti-)symmetrisierten Ortsoperatoren X_n auf den H_n zusammensetzen. Wenn Teilchen erzeugt oder vernichtet werden, würde das für den Endzustand halt bedeuten, dass er in einem anderen H_n mit entsprechend anderem X_n sitzt.

    Dann ist psi* psi eine Dichte und die kann ich entsprechend ohne Mühe interpretieren.
    Meinst du, dass psi im einen Fall ein Zustand und im anderen Fall ein Operator ist? Das ist nur eine Frage der Benennung. Einen Zustand kann ich ja auch für ein Quantenfeld angeben und wenn psi schon vergeben ist, dann bekommt der halt nen anderen Namen.

    Wie gesagt, das ist nur eine Vermutung. Ich sehe keinen Grund, warum man den einen Ortsoperator nicht definieren können sollte, aber ich kenne mich mit QFT auch nicht gut aus.

  44. #44 mar o
    15. August 2013

    Mist, das zweite Quote sollte nach “interpretieren” enden.

    Achso und zum Thema Zaunpfahl:
    Ich habe eher Spezialwissen als den großen Überblick und sehe mich deswegen nicht so als Erklärbär. Ich bräuchte wahrscheinlich viel mehr Zeit als ich habe um interessante Blogposts zu schreiben. 😉

  45. #45 MartinB
    16. August 2013

    @mar o
    Beim Diracfeld ist ja psi* psi auch eine dichte, für die eine Konti-Gleichung gilt, insofern hast du in dem Fall vermutlich recht und man kann einen Ortsoperator definieren, der würde dann vielleicht sowas wie den Schwerpunkt der Dchteverteilung auswerfen. Allerdings ist das insofern knifflig, weil in diese Dichte (die ja letztlich die Ladungsverteilung misst) Antiteilchen negativ eingehen.
    Und bei relativistischen Geschwindigkeiten bekommt ja auch schon bei der 1-Teilchen-Dirac-Gleichung der Spinor Anteile im Positron-Teil. Ich bin mir nicht so sicher, ob das dann ein echter Ortsoperator im physialischen Sinn wird…

    Für ein skalares reelles Feld (oder auch für’s Photonenfeld) bin ich dann, wie oben angemerkt, vollkommen ratlos – gibt es da überhaupt eine Größe, die wie eine Dichte funktioniert und eine Konti-Gleichung erfüllt?

  46. #46 mar o
    16. August 2013

    @Martin:
    Ich seh schon, wir sprechen ein bisschen eine unterschiedliche Sprache. 😉 Ich meine nicht einen Schwerpunktsoperator, sondern einen Ortsoperator zu dem Zustände mit festen Orten für eine beliebige Zahl von Teilchen gehören.

    Bei masselosen Feldern (gilt eigentlich reell masselos?) kann man ja wie gesagt scheinbar gar keinen 1-Teilchen-Ortsoperator angeben. Im Mandel/Wolf (Quantenoptik) steht glaube ich, dass für die Energiedichte eine Konti-Gleichung gilt, aber das ist wieder so gefährliches Halbwissen.

  47. #47 mar o
    16. August 2013

    Diesmal hat die Blogsoftware meinen Äquivalenzpfeil zwischen “reell” und “masselos” geschluckt”. Notitz an mich: mit spitzen Klammern aufpassen.

  48. #48 roel
    *****
    16. August 2013
  49. #49 MartinB
    16. August 2013

    @mar o
    Nein, reell ist ein Teilchen, das sein eigenes Antiteilchen ist.

    “einen Ortsoperator zu dem Zustände mit festen Orten für eine beliebige Zahl von Teilchen gehören.”
    Was ist denn dessen physikalische Bedeutung? Beim “Normalen” Ortsoperator in der QM ist ja der Erwartungswert eben so was wie der Schwerpunkt der Dichteverteilung.

  50. #50 StefanL
    16. August 2013

    @ mar o Funktioniert das wirklich? Ohne Auswahlaxiom ? Separabilität allein ist wohl nicht hinreichend. Und selbst eine explizite Angabe würde doch immer noch unbedingte Konvergenz erfordern( Verschränkung und direkte Summe – geht das so?). Zumindest, ähnlich wie bei Anwendung der Normalordnung, wären imho schon gute Argumente notwendig warum tatsächlich eine bestimmte Ordnung zwingend wäre. Mir scheint, daß sich da Reeh-Schlieder wieder einschleicht und ohne zusätzliche Annahmen/Bedingungen als Lösungen sämtliche Unterräume die die Lineare Hülle der (direkten) Summe als Unterraum enthalten in frage kämen. Schick wäre sicherlich wenn sich aus solch einem Ansatz irgendwelche Grenzwerte für “makroskopische Superpositionen” ergäben. Vielleicht tatsächlich Gravitation als emergentes Phänomen das schlicht die oder durch die Geometrie im Verband der Unterräume bestimmt wird und so (bildlich gesprochen) den “Raum” in dem Superposition stattfindet beschränkt?

    Disclaimer: jeglicher Unsinn in diesem Kommentar ist sicherlich dem laienhaften Physikkenntnissen des Verfassers geschuldet.

  51. #51 MartinB
    16. August 2013

    @mar o
    Das mit der Energiedichte würde mich interessieren, denn eigentlich ist doch der VEV von E²(x) unendlich, oder nicht? (Steht aoch auch in Dysons QFT-Lectures.)

  52. #52 mar o
    17. August 2013

    @Martin:

    Was ist denn dessen physikalische Bedeutung? Beim “Normalen” Ortsoperator in der QM ist ja der Erwartungswert eben so was wie der Schwerpunkt der Dichteverteilung.

    Die Messung, die zu so einem Operator gehören würde, wäre ein Koinzidenzmessung an verschiedenen Orten. Das gibt Ergebnisse a là “zum Zeitpunkt t gab es an Ort x1, x12 und x15 ein Teilchen.” (der Einfachheit halber Diskretheit vorrausgesetzt)

    Das mit der Energiedichte würde mich interessieren, denn eigentlich ist doch der VEV von E²(x) unendlich, oder nicht? (Steht aoch auch in Dysons QFT-Lectures.)

    Da kann ich leider nix zu sagen. Du kannst ja mal in den Mandel/Wolf schauen, wenns dich interessiert.

  53. #53 mar o
    17. August 2013

    @StefanL:
    Ich verstehe dich leider nicht. 😉 Kannst du das ein bisschen runterbrechen?

  54. #54 StefanL
    17. August 2013

    @mar o
    Selbst wenn ich der Idee “Orte” mit Unterräumen irgendwie identifizieren zu können einiges abgewinnen kann, ist

    Den Zustandsraum F für ein System mit variabler Teilchenzahl kann man ja als direkte Summe aus Räumen H_n mit fester Teilchenzahl ansehen.

    imho etwas gewagt. Wie begründest Du das?

  55. #55 MartinB
    17. August 2013

    @mar o
    “der Einfachheit halber Diskretheit vorrausgesetz”
    Ja, aber genau das geht ja nicht, deswegen frage ich ja. In der NRQM gibt der Ortsoperator ja auch nicht die Antwort “1 Teilchen am Ort x” – ich kann doch rein vom Erwartungswert wie <x>=0.2m nichts darüber aussagen, ob die WF eine delta-Funktion ist oder ein ausgebereitetes Paket.

  56. #56 MartinB
    17. August 2013

    @StefanL
    “Wie begründest Du das?”
    Das verwirrt mich jetzt wieder: Der Raum aller möglichen Zustände ist doch die Summe aller n-Teilchen-Zustände, oder nicht? Der allgemeinst mögliche Zustand eines Quantenfelds ist doch eine Summe aus den Anteilen der Null-, Ein-, Zwei- usw-Zuständen. Ist so nicht der Fockraum definiert? Wiki sagt:
    “Die Basiszustände (eines Fock-Raumes) mit fester Teilchenzahl (also Elemente von bzw. Dichteoperatoren über ihm, jeweils vom Betrag 1, oder auch die Eigenzustände des Teilchenzahloperators) heißen Fock-Zustände. ”
    Oder meintest du was anderes?

  57. #57 mar o
    17. August 2013

    @StefanL:
    Wie MartinB schon sagt, so ist doch der Fock-Raum definiert: https://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space

    @Martin:

    Ja, aber genau das geht ja nicht, deswegen frage ich ja. In der NRQM gibt der Ortsoperator ja auch nicht die Antwort “1 Teilchen am Ort x” – ich kann doch rein vom Erwartungswert wie =0.2m nichts darüber aussagen, ob die WF eine delta-Funktion ist oder ein ausgebereitetes Paket.

    Mir ist nicht ganz klar, worauf du hinauswillst. Der Erwartungswert ist ja keine Messgröße, sondern wird aus den Einzelmessungen errechnet. Insofern ist nicht verwunderlich, dass man aus ihm nicht auf den Zustand schließen kann. Wohl aber aus den Einzelmessungen selbst, denn das ist ein zentrales Postulat der QM: Nach der Messung befindet sich das System in einem Eigenzustand des entsprechenden Operators, und zwar in dem, der zum gemessenen Eigenwert gehört.

    Im Labor hast du bei einer Ortsmessung natürlich immer eine endliche Aufösung (z.B. die Pixelgröße bei einem CCD-Array). Mit dem Postulat folgt daraus, dass der Ortsoperator ein idealisierter Operator ist, der keiner echten Messung entspricht. Der richtige Operator für eine Messung ist immer diskret.

    Trotzdem ist der kontinuierliche Ortsoperator ein sinnvolles Konzept in der NRQM. Wenn man nicht mit zweierlei Maß messen will, sehe ich nicht, wie man daraus eine Kritik an einem Ortsoperator in der QFT ableiten kann.

  58. #58 StefanL
    17. August 2013

    @MartinB
    Hmm- ich hab erstmal “Zustandsraum F” allgemein aufgefasst und nicht speziell als Fockraum.
    Nun ja: der Fockraum ist ja die Vervollständigung einer Tensoralgebra d.h. ( quasi als dichter aber löchriger Käse) efolgt die direkte Summation über Tensorprodukte (= die “Räume H_n” – sofern das damit gemeint ist/war). Da wäre das (auch für mich :-) ) mit der “direkten Summe” dann geklärt.
    Wenn jetzt diese H_n als (Hilbert-)Unterräume mit “Ort/Ortsoperatoren” identifiziert werden( auch hier u.U. schon problematisch für n → ∞ …und ergibt sich nicht dim(F)= 2^ω ?), und da liegt wohl ggfs. meine Überinterpretation als Äquivalenzformulierung zu #43 mar o:

    Der Ortsoperator auf F würde sich dann aus den (anti-)symmetrisierten Ortsoperatoren X_n auf den H_n zusammensetzen.

    Zusammensetzen? – mehr oder weniger, irgendwie; als direkte Summe? Das seh’ ich jetzt nicht so unmittelbar (wurde aber so explizit auch nicht geschrieben…).

  59. #59 mar o
    17. August 2013

    @Stefan:

    Zusammensetzen? – mehr oder weniger, irgendwie; als direkte Summe? Das seh’ ich jetzt nicht so unmittelbar (wurde aber so explizit auch nicht geschrieben…).

    Ja, ich hatte da auch an die direkte Summe gedacht. Wie gesagt, das ist nur eine Vermutung, bei der ich als QFT-Laie erst mal kein Problem sehe. Ich komme halt aus der hands-on QM-Ecke und habe nicht so den Blick für mathematische Feinheiten.

    Wie ist denn das z.B. mit dem Impulsoperator? Wie sieht der auf dem gesamten Fock-Raum aus? Kann ich den nicht aus Impulsoperatoren auf den H_n (“ich habe je ein Teilchen mit Impuls p1 und p2”) zusammenbasteln?

  60. #60 MartinB
    17. August 2013

    @mar o
    Ach so – du meinst, den Ortsoperator quasi als “Werkzeug”, um die WF passend kollabieren zu lassen. Hatte ich irgendwie völlig falsch aufgefasst.

    Ich überleg mal anschaulich: Ich bastle mir zuerst mal ein Wellenpaket aus einer Überlagerung von 1-Teilchen-Zuständen in einem Intervall im k-Raum, das ist Teilchen 1. Dann mache ich dasselbe mit einem anderen Intervall im k-Raum, das ist dann Teilchen 2. Dann addiere ich die beiden Zustände, das wäre dann ein zwei-Teilchen-Zustand mit zwei unterschiedlichen Positionen der Teilchen.
    Mir ist aber noch nicht klar, wie ich jetzt einen Operator baue, der merkt, ob eine bestimmte Fourierkomponente nun zum einen oder anderen Teilchengehört, so dass ich am Ende eine Information der Art “Teilchen 1 hier, Teilchen 2 da” herausbekomme.

  61. #61 MartinB
    17. August 2013

    Nachtrag
    Der Impulsoperator ist einfach
    sum_k p(k) N_n(k)
    wobei N_n der Teilchenzahloperator ist und p(k) der Impuls zu k (also einfach h-quer k), summiert über alle k. Das gibt den Gesamtimpuls im feld. Eine Information, ob da ein Teilchen mit Impuls p/2 oder zwei Teilchen mit Impuls p oder (im Fall von Photonen) ein kohärenter Überlgerungszustand mit unbestimmter Photonenzahl ist, bekommst du aus dem Operator aber nicht raus.

  62. #62 mar o
    18. August 2013

    @Martin:

    Dann addiere ich die beiden Zustände, das wäre dann ein zwei-Teilchen-Zustand mit zwei unterschiedlichen Positionen der Teilchen.

    Ne, wenn du die einfach addierst, bekommst du eine Superposition aus zwei Wellenpaketen. Das ist immer noch ein Ein-Teilchen-Zustand. Für zusammengesetzte Systeme brauchst du das Tensorprodukt.

    Eine Information, ob da ein Teilchen mit Impuls p/2 oder zwei Teilchen mit Impuls p oder (im Fall von Photonen) ein kohärenter Überlgerungszustand mit unbestimmter Photonenzahl ist, bekommst du aus dem Operator aber nicht raus.

    Trotzdem ist das ja eine Information, die ich aus einer Messung bekommen kann. Deshalb muss es da doch einen entsprechenden Operator geben.

  63. #63 MartinB
    18. August 2013

    @mar o
    “Für zusammengesetzte Systeme brauchst du das Tensorprodukt.”
    Stimmt natürlich, da war ich zu schlampig…
    “Trotzdem ist das ja eine Information, die ich aus einer Messung bekommen kann. ”
    Kannst du aus *einer* Messung so eine Information bekommen? Oder sind das zwei unterschiedliche Messungen?
    Auf der anderen Seite ist es natürlich problematisch, einerseits einen Impuls messen und den andererseits irgendwie räumlich lokalisieren zu wollen (und das müsstest du doch, wenn du unterschiedliche Wellenpakete messen willst).
    Bin noch immer etwas verwirrt…

  64. #64 mar o
    19. August 2013

    @Martin:

    Kannst du aus *einer* Messung so eine Information bekommen? Oder sind das zwei unterschiedliche Messungen?

    Ich bin mir nicht sicher, ob man eine Koinzidenzmessung als Einzelmessung auffassen kann. Relativistisch ist das evtl. schwierig, da die Koinzidenz dann nur im Laborsystem gilt. Aber ist es wirklich entscheidend, ob das eine oder zwei Messungen sind? Am Ende habe ich doch die Information Teilchen 1 hier, Teilchen 2 da. Und dazu sollte es doch einen entsprechenden Zustand geben.

    Auf der anderen Seite ist es natürlich problematisch, einerseits einen Impuls messen und den andererseits irgendwie räumlich lokalisieren zu wollen (und das müsstest du doch, wenn du unterschiedliche Wellenpakete messen willst).

    Ähnlich wie eine reale Ortsmessung nicht exakt dem Ortsoperator entspricht, entspricht eine reale Impulsmessung auch nicht exakt dem Impulsoperator. Dafür eine ideale Impulsmessung bräuchtest du ja einen unendlich großen Detektor. Ich glaube wie gesagt nicht, dass das ein grundsätzliches Problem ist. Bzw. wenn, dann müsste es auch die Ein-Teilchen-NRQM betreffen.

  65. #65 MartinB
    19. August 2013

    @mar o
    Und dazu sollte es doch einen entsprechenden Zustand geben.
    Den gibt es doch sicher auch. Wenn ich zwei teilchen mit Impuls k1 und k2 habe, dan habe ich den dazu passenden Zustand im Fockraum, den ich durch
    a+(k1) a+(k2) | Vakuum >
    bekomme (a+ sind die Erzeuger).

    Wenn ich zwei teilchen mit Wellenpaketen konzentriert um k1 und k2 haben wil, dann muss ich oben statt einzelner Erzeuger entsprechend eine passende Überlagerung von Erzeugern nehmen.
    Dass es so einen Zustand geben kann, ist doch eigentlich klar, oder nicht? Ich dachte, was dich beschäftigt ist die Frage, wie der Messoperator aussieht, der diesen Zustand messen kann. Physikalisch tun’s doch zwei Kisten, die ich zuklappen kann, aber wie man das in der QFT mathematisch umsetzt, weiß ich nicht.

    Was die Idealisierung des Operators angeht, hast du natürlich recht.

  66. #66 mar o
    19. August 2013

    Dass es so einen Zustand geben kann, ist doch eigentlich klar, oder nicht?

    Ja. Und wenn ich alle Eigenzustände hinschreiben kann, dann kann ich daraus den Operator basteln, als Summe über |Eigenzustand_i><Eigenzustand_i|. So müsste ich für jeden Unterraum mit fester Teilchenzahl einen Impulsoperator kriegen. Und aus denen dann über die direkte Summe einen Gesamtimpulsoperator. Und falls das geht – warum geht es für den Ort nicht (immer)? Da muss ich mal einen QFT-Experten fragen.

  67. #67 AJOM
    24. August 2013

    Vielen Dank für den Artikel!
    Ist etwas off-topic, aber hast Du schonmal etwas über die Hamilton-Jacobi-Theorie geblogt (evtl. im Zusammenhang mit der Schrödingergleichung)? Da würde mich (Informatiker) eine verständliche Einführung brennend interessieren.

  68. #68 MartinB
    24. August 2013

    @AJOM
    Nein, habe ich nicht. Finde ich auch nicht soo super-Spannend. Gutes Einführungsbuch in diesen Mechanik-Krams ist der Kuypers.

  69. #69 Chemiker
    29. Oktober 2013

    Rechnet man unter dieser Annahme mit den Mitteln der QFT aus, wie die beiden Platten sich beeinflussen, dann bekommt man dasselbe Ergebnis heraus wie bei der Rechnung mit den Vakuumfluktuationen.

    Nach wiederholtem Lesen des Artikels (deshalb sorry für die Verspätung) verstehe ich diesen Satz plötzlich nicht mehr ganz. Die Idee scheint ja einfach darin zu bestehen, die van-der-Waals-Wechselwirkung nicht zwischen Molekülen sondern zwischen makroskopischen Objekten zu berechnen. Das kann aber nicht äquivalent zu einer Berechnung über das Vakuum sein.

    Denn die konventionelle vdW-WW beinhaltet ja nur elektrostatische Terme, und das mag den Fluktuationen des Photonfeldes in der QFT entsprechen. Aber im Vakuum fluktuieren ja nicht nur Photonen sondern alle Teilchenfelder, bis zum top-Quark.

    Und Fermionenfelder sollten doch eine abstoßende Kraft zwischen den Platten beitragen. Das kann die vdW-Rechnung nicht liefern.

    Es muß sich also ein Unterschied ergeben; eventuell ist der aber experimentell nicht zugänglich.

    Habe ich mir dajetzt Unsinn zusammengereimt, oder sind die beobachteten Effekte aus experimentellen Gründen auf das Photonenfeld beschränkt, so daß man die Unterschiede nicht sehen kann?

  70. #70 sax
    29. Oktober 2013

    Ohne Gewähr auf Richtigkeit würde ich sagen, dass das Makroskopische Objekt dann ja auch mit den anderen Feldern wechselwirken müsste, entsprechnend müssen da Teilchen sein, mit denen das Feld wechselwirt, die auch wieder Fluktuationen unterworfen sind und es wird wieder der selbe Anteil rauskommen, wir beim Casimir effekt. Ich denke Mesßbar ist das nicht.

    Allgmein denke ich, dass man die Fluktuation der Felder und der Ladungsträger gar nicht isoliert voeinander betrachten kann und die beiden Sichtweisen dann nur zwei Seiten ein und der selben Medaille sind.

    Vielleicht hilft der Artikel
    http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/137507/1/238.pdf
    habe leider momentan keine Zeit ihn zu lesen, aber wenn jemand den Inhalt zusammenfassen will…

  71. #71 MartinB
    31. Oktober 2013

    @Chemiker
    Für andere Felder gilt die randbedingung auf der Platte nicht – eine Metallplatte sorgt dafür, dass es elektrische Feld senkrecht drauf steht, aber tut nichts entsprechendes für Neutrinos, Quarks o.ä.

  72. #72 seeman
    hamburg
    1. Mai 2014

    Natuerlich entstammt der Name dem Buch Last chance to see von dem zu Recht zu diesem Buch hinzugezogenen Douglas Adams. Und Danke fuer die plausibel erklaerten Zusammenhaenge. Ach so: Komodo Island kommt in Sicht.

  73. #73 MartinB
    1. Mai 2014

    @seeman
    Den Kommentar habe ich nicht verstanden – auf welchen Namen beziehst du dich?

  74. #74 seemann
    hamburg
    6. Mai 2014

    Sorry wg. Unklarheit. Den Namen der website meine ich: Here be dragons. Es ist ein Zitat aus o.g. Buch, welches wundervoll darstellt, wie ein Mensch sein kann und nicht ist. Du schriebst oben, es gaebe coins fuer den, der die Herkunft des Zitats wuesste. Drum schrieb ich so. Habe Deine Seite schon weitergegeben, eben weil es doch verstaendlicher ist, als manch anderer. Tx

  75. #75 MartinB
    7. Mai 2014

    @seeman
    Aha, doppeltes Missverständnis.
    1. Der Ausdruck “hic sunt draconis” ist viel älter als das (siehe auch rechts unter der Rubrik “über das Blog”.
    2. Die HwD-Taler wurden für den ausgelobt, der die Herkunft meines Usernamens auf dem verlinkten physicsforum kennt.

  76. #76 MartinR
    Regenstauf
    27. Juni 2014

    Woher, das ist doch die Frage, stammt jede Vakuumenergie.
    Sie kann realistischerweise bloß von außen kommen.
    In bestimmten räumlichen Objekten, z.B. Kugeln, wird also Energie quasi zurückgeschleudert.

  77. #77 Herr Senf
    11. Juli 2014

    Und heute “elegant herausgerechnet” auf TELEPOLIS
    http://www.heise.de/tp/artikel/42/42230/1.html 5. Absatz
    scienceblogs/HwD als Referenz genommen 😉

  78. #78 MartinB
    11. Juli 2014

    @herr Senf
    Danke für’s verlinken – ich hoffe, es erwartet jetzt keiner in diesem Post eine intensive Erklärung von Susy…

  79. #79 Weird Life
    Weyarn
    26. November 2014

    Licht, das sich schneller bewegt als im Vakuum.

    Mit dem Casimir Effekt kann man an der Naturkonstante, der Lichtgeschwindigkeit schrauben:

    http://weird-life.com/news/physik/licht-dass-sich-schneller-bewegt-als-im-vakuum/

  80. #80 MartinB
    26. November 2014

    @Weird Life
    Den Trick kannte ich noch nicht, danke.

  81. #81 volki
    26. November 2014

    @Weird Life:

    Danke für den Link! Ich bin schon gespannt auf den 2. Teil.

  82. #82 IGOR
    Hof
    26. Januar 2015

    Dichte der Vakuumenergie können wir so rechnen: E/V = cccc/(8pi G rr). c ist Lichtgeschwindigkeit, pi = 3.14, G ist Gravitationskonstant, r – minimal Radius des Schwarzes Loch. Für r können wir Elektronenradius nehmen (dann E/V ist circa 10(72) J/cubicmeter) oder Planckslänge (dann E/V ist circa 10(112) J/cubicmeter). Entschuldigung für meine Fehler.

  83. #83 KHG
    Deutschland
    29. November 2015

    Hallo Zusammen, sollte die Amplitude nicht die Wellenhöhe sein?
    Bin ein wenig durcheinander.

  84. #84 MartinB
    29. November 2015

    @KHG
    Ja, und die Höhe der Welle gibt doch die Stärke des feldes an, wie es im text steht. Oder bin ich jetzt durcheinander und verstehe nicht, was dumeinst?

  85. #85 Phil
    1. August 2016

    Hallo eine wichtige Frage für mich..

    Wo kannman den Casimir Effekt messen lassen und wieviel kann das kosten ?

    Gibt es Institute welche auch für normale Personen Messungen durchführen ?

    mit freundlichen Grüssen

  86. #86 Schlotti
    1. August 2016

    @Phil:

    Wo kannman den Casimir Effekt messen lassen und wieviel kann das kosten ?

    Gibt es Institute welche auch für normale Personen Messungen durchführen ?

    Das sind etwas merkwürdige Fragen.

    Man kann den Casimir-Effekt dort messen lassen, wo die für eine Messung nötigen Geräte herumstehen und Leute da sind, die diese Geräte zu bedienen verstehen.

    Mindestens die hier genannten Laboratorien sollten das können. Schließlich haben die das dort schon gemacht. Sicher gibt es weitere Laboratorien, die das ebenfalls können.
    Einfach mal eine Mail an die physikalische Fakultät einer Universität (z.B.: TU Braunschweig) schreiben und fragen.

    Ob die das auch für “normale Personen” (was übrigens sind in diesem Zusammenhang normale Personen?) machen, entzieht sich meiner Kenntnis. Ich nehme mal an, dass die das – gegen entsprechende Bezahlung – gerne machen.

    Eine Aussage darüber, was sowas kosten würde, kann ich nicht machen, aber ich würde mal vermuten, dass das Verhandlungssache ist. Jedenfalls sind mir keine unverbindlichen Preisempfehlungen bekannt, die regeln würden, was eine Messung des Casimir-Effektes kosten dürfte.

    Solche Verhandlungen nennt man dann übrigens Drittmittel einwerben… 😉

  87. #87 MartinB
    2. August 2016

    @Phil
    Ich glaube nicht, dass irgendein labor einfach so eine Messung macht ohne dass du genau spezifizierst, was du eigentlich damit erforschen willst und was da genau gemessen werden soll.

  88. #88 Phil
    2. August 2016

    Ich möchte gerne wissen, ob dieses Phänomen auch beim Casimir-Effekt auftritt:
    http://link.springer.com/article/10.1007/s00114-012-0921-5

    Da ich allerdings beim besten Willen nicht sagen kann, in welchem Bereich der Casimir-Kraft sich Tidal-Zyklen zeigen könnten, müsste das Institut mehrmals verschiedene Bereiche durchmessen.

    Was kann sowas kosten ?

  89. #89 MartinB
    2. August 2016

    @Phil
    Du willst also den Einfluss der gezeiten auf den Casimir-Effekt messen, weil die Gezeiten anscheinend einen Einfluss auf Weizenkeime haben…? Wo siehst du da einen Zusammenhang?

    (Wobei das mit den Biophotonen interessant ist, wusste nicjht, dass es bei Pflanzen sowas gibt. Mal sehen, ob ich das paper bekommen kann, wäre sicher was zum Bloggen.)

  90. #90 Phil
    2. August 2016

    Du willst also den Einfluss der gezeiten auf den Casimir-Effekt messen, weil die Gezeiten anscheinend einen Einfluss auf Weizenkeime haben…?
    @MartinB
    Nein. Ich will wissen, ob die Gravitation des Mondes einen Einfluss ausübt auf die Emission von ultra schwachem Licht bei unbelebter Materie.
    Das wäre nämlich eigenartig.