Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird jedes Teilchen durch eine Wellenfunktion beschrieben. Quantenmechanische Teilchen können sich in Zuständen befinden, die aus klassischen Zuständen kombiniert sind – ein Elektron kann eine Wahrscheinlicheit von 5% haben, am Raumpunkt 17 zu sein, 23% für Raumpunkt 85 und so weiter. Für jeden denkbaren Zustand eines klassischen Teilchens müsst ihr jetzt eine Zahl angeben (und zwar eine komplexe Zahl, die sogenannte Wahrscheinlichkeitsamplitude), alle diese Zahlen zusammen beschreiben den Zustand des Teilchens.

Die Wellenfunktion ist damit nichts anderes als ein Feld, denn sie gibt eine Zahl an jedem Punkt im Raum an, die die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, das Teilchen an diesem Punkt zu finden. Da das eine komplexe Zahl ist, brauche ich zwei reelle Zahlen, um ihren Wert anzugeben.

Für ein Elektron in unserem 256-Punkt-Universum brauche ich also

Zahl der Raumpunkte * (16 Byte).

(Anmerkung für die ganz ganz Pingeilgen: Man könnte ein paar Byte sparen, weil die Wellenfunktion auf 1 normiert sein muss, also könnte man die imaginäre Komponente an einem Raumpunkt aus allen anderen Komponenten berechnen. Der Effekt wird bei hinreichend vielen Raumpunkten beliebig unwichtig und ich schreibe das hier nur hin, um damit anzugeben, dass ich dran gedacht habe…)

Das sieht erstmal so aus, als würde in der Quantenmechanik bis auf nen Faktor 2 (weil es jetzt komplexe Zahlen sind) nichts neues hinzukommen. Dem ist aber nicht so. Betrachtet man nämlich zwei Elektronen, so könnte man annehmen, dass die Situation genau wie bei den klassischen Feldern ist – zwei Elektronen brauchen zwei Felder, die Information verdoppelt sich also.

Das ist aber falsch. Elektronen beeinflussen sich im Allgemeinen gegenseitig, und die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron an einem Ort zu finden (nichts anderes gibt unser Feld hier letztlich an), hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, das andere Elektron hier oder an den anderen Orten zu finden. Zwei Elektronen haben im Allgemeinen nicht zwei getrennte Wellenfunktionen, sondern eine gemeinsam.

Mathematisch gesprochen heißt das, dass wir nicht zwei Funktionen f(x) und g(x) haben, sondern eine gemeinsame Funktion f(x,y). Diese gemeinsame Funktion enthält wesentlich mehr Informationen. Ich muss jetzt einen Zahlenwert für jede denkbare Kombination aus den 256 Raumpunkten angeben:

(Zahl der Raumpunkte)2 * (16 Byte).

Die Zahl der Raumpunkte geht jetzt quadratisch ein, weil ich zwei Elektronen habe.

Den Unterschied zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) und einer gemeinsamen Funktion f(x,y) könnt ihr euch auch anders veranschaulichen: Wenn ihr ein Bild auf eurem Computer speichert, dann hat das vielleicht 2000×3000 Bildpunkte, an jedem davon gebt ihr den Farbwert an diesem Bildpunkt an. Das ist eine Funktion f(x,y). Zwei Funktionen, die nur von x abhängen, entsprechen dagegen lediglich zwei Zeilen aus eurem Bild – die enthalten entsprechend deutlich weniger Informationen.

Noch schlimmer wird es, wenn wir drei Elektronen haben: Dann haben wir eine Funktion von drei Argumenten, f(x,y,z), bei vier Elektronen sind es entsprechend vier Argumente usw. Für die Zahl an Informationen, die wir speichern müssen, heißt das:

(Zahl der Raumpunkte)(Zahl der Felder) * (16 Byte).

In unserem 256-Punkt-Universum brauche ich also für 3 klassische Felder 256*3*8=6144 Bytes, für die Wellenfunktion dreier Elektronen dagegen: 256^3*16= 268435456 bytes.

Ihr seht, dass Elektronen, die sich nach den Regeln der Quantenmechanik verhalten deutlich komplizierter sind – das ist auch ein Grund, warum Quantencomputer so viel leistungsfähiger sind als klassische: Mit ein paar Quantenteilchen kann man extrem viel Informationen speichern. (Das Auslesen ist allerdings knifflig, weil man die Wellenfunktion selbst nicht messen kann – aber wie das geht, müsst ihr woanders nachlesen, das wäre ne eigene Serie hier im Blog, für die mir im Moment die Zeit fehlt.)

Quantenfelder

Ganz korrekt beschreibt man Teilchen wie Elektronen allerdings mit den Mitteln der Quantenfeldtheorie (eine endlos lange Serie dazu findet ihr rechts bei den Artikelserien). Von der Logik her geht man ähnlich vor wie beim Übergang vom klassischen Teilchen zum Quantenteilchen: Man muss für jeden denkbaren Zustand des klassischen Systems eine Wahrscheinlichkeitsamplitude angeben.

Nehmen wir wieder Elektronen als Beispiel – für die haben wir ein Feld (das Elektronfeld), wobei es jetzt keinen Unterschied macht, wie viele Elektronen wir betrachten. In der QFT kann sich die Zahl der Elektronen sowieso ändern (weil sich Elektronen und Positronen bilden oder vernichten können), es gibt nur ein Elektronfeld. (Ganz Pingelige bekommen noch nen Faktor 4 für die 4 Spinor-Komponenten von mir geschenkt…)

Wir müssen jetzt jedem denkbaren Zustand des Elektronenfelds eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zuordnen (die sogenannte “zweite Quantisierung”). Denkt euch also eine beliebige Funktion des Elektronfelds auf unserem 256-Punkt-Raum (Wert am Punkt 1 ist 17, Wert am Punkt 2 ist 3.876, Wert am punkt 3 ist -0.00876  usw.). Dieser Funktion ordnen wir jetzt eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zu (dafür brauchen wir 16 Byte).

Um ein klassisches Feld zu beschreiben, brauchen wir wie oben gesehen

(Zahl der Raumpunkte) * (8Byte)

an Informationen. An jedem Punkt unseres Raums haben wir so viele mögliche Werte unseres Feldes, wie wir mit 8 Byte darstellen können, das sind 2^64=1.8446744e+19<(etwa 18 Trillionen). Nennen wir diese Zahl M, weil sie die Zahl der Möglichkeiten für das Feld angibt. Die Zahl aller möglichen klassischen Zustände ist dann

(Zahl der Raumpunkte) * M

Für das Quantenfeld muss ich jetzt jeder möglichen Feldkonfiguration eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zuordnen, das sind also

(Zahl der Raumpunkte) * M * (16 Byte).

Die Zahl an Informationen ist also um einen Faktor 2*M = 36 Trillionen (die 2 kommt wegen der komplexen Zahl hinzu) größer als bei einem klassischen Feld.

Schon in meinem einfachen 256-Punkt-Universum brauche ich also 7.5e22 (etwa 75 Trilliarden) Bytes, das sind 75000 Exabytes, um einen einzigen Zustand zu charakterisieren. Zum Vergleich: Laut diesem Artikel hat die Menschheit zwischen 1986 und 2011 etwa 295 Exabytes an Daten gespeichert.

Die Zahl aller möglichen Quantenzustände ist dann entsprechend die Zahl aller klassischen Möglichkeiten, potenziert mit der Zahl aller denkbaren Werte für das Quantenfeld:

(Zahl der Raumpunkte * M)(2 * M).

Ich versuche nicht mal, darzustellen, wie groß diese Zahl für unser 256-Punkt-Universum ist.

Fazit

Wie genau lässt sich das auf unser Universum übertragen? Das ist – wie am Anfang angemerkt – nicht ganz einfach zu beantworten, weil diverse Unendlichkeiten eine Rolle spielen. Nehmen wir an, dass das Universum aus Raumpunkten (oder Raumzeitpunkten) besteht, die einen Abstand von einer Planck-Länge haben, dann hat unser Universum so grob ein Volumen von 1e180 Raumpunkten (hier findet ihr ne genauere Zahl). Diese Zahl müsst ihr dann mit der Zahl M muliplizieren, die angibt, wie viele Möglichkeiten ihr für den Wert einer “reellen Zahl” zulasst – das gibt dann die Zahl aller denkbaren Kombinationen des Felds. Und diese Zahl multipliziert ihr dann nochmal mit der Zahl an bytes, die ihr braucht, um eine Wahrscheinlichkeitsamplitude darzustellen. Das Ergebnis ist dann aber sehr stark von euren Annahmen abhängig.

Das einfache Beispiel mit den 256 Raumpunkten und den 8-Byte-Zahlen zeigt aber ganz klar, um wie viel komplexer ein Zustand im Quantenuniversum gegenüber dem in einem klassischen Universum ist: In einem klassischen Universum müssen wir einen von einer bestimmten Zahl von möglichen Zuständen speichern. In einem Quantenuniversum müssen wir für jeden dieser möglichen Zustände einer Zahl speichern, um einen einzigen Zustand des Systems zu charakterisieren.


PS: Da ich gerade unterwegs bin, ist es mit Bildern heute technisch etwas schwierig, ich hoffe, der Artikel ist auch ohne Bildchen verständlich – falls nicht, beschwert euch in den Kommentaren.

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Kommentare (28)

  1. #1 Klemens
    6. August 2017

    “Ein Byte sind 8 bit, …”

    Genial, hier schreibt die Elite.

  2. #2 tomtoo
    6. August 2017

    @MartinB
    Vielen Dank ! Mit meinen geringe Mathe Kenntnissen hat mir der Artikel jetzt mehr veranschaulicht, wie viele Populärwissenschaftliche Bücher.

  3. #3 Universallaie
    6. August 2017

    @Klemens
    Die Anzahl der Bits in einem Byte ist keineswegs eindeutig festgelegt.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Byte#History

  4. #4 Michael
    München
    6. August 2017

    Vermutlich spart sich das Universum viel an Speicher durch die Nutzung von Fraktaler Geometrie. Auch wird viel eingespart wenn die Quanten Natur eines Teilchen Ensembles klassisch wird weil ständig abgefragt.
    Dein Blogpost hat mich auf jeden Fall an diesen Artikel erinnert:
    http://www.science20.com/hammock_physicist/toying_entropy_dominos_tetris_and_black_holes-89972

  5. #5 MartinB
    6. August 2017

    @Klemens
    Stimmt irgendwas mit 1byte=8bit nicht? Ist meines Wissens immer noch die gängigste Konvention.

    @Michael
    Wie genau soll durch fraktale Geometrie was gespart werden? Ist mir jetzt nicht so klar.

    Das mit dem klassischen Ensemble setzt einiges in Sachen Messproblem etc. voraus – und an der fundamentalen Tatsache, dass ein Überlagerungszustand unglaublich viel mehr Informationen hat als ein klassischer, ändert das ja nichts. Anders gesagt: Es wird ja nicht permanent gemessen…

  6. #6 Ulfi
    6. August 2017

    Ich fürchte, den Informationsgehalt muss man für wahrscheinlichkeitsverteilungen ganz anders berechnen (in dem Beispiel mit 2 Elektronen kann ich durch das wissen von x schon aussagen darüber treffen wo y wahrscheinlicher ist ich muss daher nur noch die informationsdifferenz speichern).

    Die zählweise hier macht auch anders keinen sinn: eine normalverteilung kann mit 2 zahlen beschrieben werden(und damit ist der Informationsgehalt diese beiden zahlen), in der hier betrachteten quantisierung würde aber für jeden raumpunkt eine Zahl erforderlich sein.

  7. #7 MartinB
    6. August 2017

    @Ulfi
    “in dem Beispiel mit 2 Elektronen kann ich durch das wissen von x schon aussagen darüber treffen wo y wahrscheinlicher ist ich muss daher nur noch die informationsdifferenz speichern”
    Das hilft aber nicht wirklich viel, oder? Klar, bei Elektronen gilt das Pauli-Prinzip, aber substantiell ändert das nichts an der Kompelxitätszunahme.

    Das zweite Argument verstehe ich nicht: Klar, kann ich das tun, wenn ich eine Funktion vordefiniere, aber der Punkt hier ist doch gerade, dass wir uns im Raum aller denkbaren Funktionen bewegen.

  8. #8 Ingo
    7. August 2017

    Sehr interesanntes/anschauliches Model :-)
    Das macht einem vieles klarer.

    Aber wie das so mit dem Verstehen ist,- kaum denkt man etwas verstanden zu haben stellen sich gleich wieder neue Fragen (mit denen man in der Regel deutlich macht, dass man es doch nicht verstanden hat)

    Wenn man in dem 256-Punkte-Universum bleibt: Wie sieht denn die konkrete Wellenfunktion eines einzelnen Elektrons aus ?
    Nimmt man mal den einfachen Fall an, dass wir zunaechst eine Messung durchfuehren und ein klassisches Ergebnis erhalten. (“Elektron ist am Raumpunkt 42”). Dann waere die Wellenfunktion eine Folge von 0-Wahrscheinlichkeiten fuer alle Raumpunkte,- nur am Raumpunkt 23 ergiebt sich 100% (klassich nach der Messung eben).

    Wenn man jetzt das system sich selber ueberlaesst und nicht mehr misst – wie sieht das System nach einer Zeiteinheit aus? Nur noch zu 50% an Punkt 42, und zu 25% jeweils am Punkte 41 und 43 ? Formuliert man die Gleichung ueberhaupt so? Mache ich es mir zu einfach weil ich den imaginaeren Teil einfach weglasse, der aber (soweit ich das verstanden habe nur bei Interferenz-Ueberlagerungen zweier Elektronen wichtig wird??

    Wie sieht es nach 2, 3, 4 Zeiteinheiten aus?
    Habe ich eine Gleichung “Eletronenwellengleichung(Zeit)” -> ergiebt fuer jeden Zeitpunkt eine “Elektronenwahrscheinlichkeitsverteilung(Raum)” -> ergiebt fuer jeden Raumpunkt eine Wahrscheinlichkeit das Elektron dort zu finden ?
    Und wie genau sieht so eine Gleichung nach Zeit aus, die eigentlich nur Gleichungen nach Raum erzeugt ?

    Oder ist das alles Quatsch, und man formuliert Gleichungen die etwas ganz anderes meinen?

  9. #9 MartinB
    8. August 2017

    @Ingo
    im prinzip hast du es richtig verstanden, wenn das elektron uu einer zeit an einem ort lokalisiert ist, dann zerläuft die wellenfunktion. Das wird in ganz ähmlichr weise in den feynman lectures gezeigt, da fängt feynman auch mit wenig pjnkten an und nimmt dann immer mehr, wenn ich ich recht entsinne (band 3, kap 16, gibt es auch online).
    Die gleichung istdie schrödingrgleichung (dazu gibt es ne artikelserie, siehe den ljnk rechts), die sieht in der tat so aus, dass ljnks die änderung der wellenfunktion steht, rechts eine größe, die man aus der wellenfunktion brechnet (in der serie ab kap. 5, glaube ich).
    PS: Ich tippe auf nem tablet, deswegen besonders viele tippfehler, sorry…

  10. #10 Ingo
    8. August 2017

    Dann ist tatsaechlich die Laufvariable der Wellengleichung die Zeit,- und das Ergebnis ist eine weitere Wellcengleichung deren Laufvariable der Ort ist?

    Oder kommt das zusammen in eine Gleichung, deren Laufvariable Ort+Zeit ist?

  11. #11 MartinB
    8. August 2017

    @Ingo
    Ich weiß nicht genau, was du mit “Laufvariable” meinst. De Gleichung ist eine (partielle) Differentialgleichung (mit Variablen x und t), bei der auf der linken Seite die zeittliche Änderung der Wellenfunktion an jedem Ort steht und rechts ein Ausdruc, der die räumliche Änderung beinhaltet.
    D.h. gegeben die WF zu einer Zeit kann ich sie zur nächsten zeit berechnen, dann zur nächsten usw.

  12. #12 Ingo
    8. August 2017

    Da fehlt mir die Mathematik.

    Ich dachte bei einer Funktion f(x) wird “x” als Laufvariable bezeichnet. Wenn man einen Graph zeichen wuerde muss x “durchlaufen” werden.

    f(x,t) haette demnach 2 Laufvariablen, und haette anstatt eines Ergebnis-Graphen eine Ergebnis-Flaeche wenn man es zeichnen wuerde.

    Setze man x und t ein, ist das Ergebnis ein konkreter Wert (in dem Fall eine Wahrscheinlichkeit) ein Elektron zum Zeitpunkt t am Ort x zu finden.

    (Wobei “x” natuerlich in Wirklichkeit 3 Werte waeren,- Nur in unserem 256-Punkt-Raum-Universum waere sie eindimensional)

  13. #13 MartinB
    9. August 2017

    @Ingo
    Du hast bestimt recht, ich kenne den begriff “laufvariable” schlicht nicht oder habe ihn wieder vergessen (eigentlich impliziert für mich variable bereits, dass das die werte sind, die durchlaufen werden, sonst ist es ein parameter).
    Aber die worte sind ja irrelevant, inhaltlich hast du es jedenfalls richtig verstanden.

  14. #14 Ingo
    9. August 2017

    Aber wie denn eine typische Gleichung fuer ein Elektron?
    Irgendwie wuerde ich erwarten, dass ich im Internet regelrechte Tabellen finden wuerde wie die Funktion fuer ein Elektron / Photon / Myon / Neutrino / Quark etc. aussieht.
    Solche Tabellen gibt es aber nicht, irgendwo habe ich noch den Denkfehler.

  15. #15 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    9. August 2017

    @MartinB
    @Ingo
    Sie sind beide in unterschiedlichen Bezugssystemen unterwegs. MartinB beschreibt einen Ereignisraum unter Bedingungen von Entropie/Thermodynamik und Ingo bezieht sich auf einen Ereignisraum unter Bedingungen von Entropie/Informationstheorie.

    Aus dieser Sicht ist doch(!) von Bedeutung, welche Bedeutung ein Wort für den Physikerin MartinB hat und welche Bedeutung Ingo einem Wort zuordnet. MartinB beschreibt Quantenzustände im Sinne der Kopenhagener Deutung und Ingo muss seinem Denken nicht die Kopenhagener Deutung zu/unterordnen . . . ..

    Ingo denkt im Sinne von Gleichzeitigkeit und dem Erhalt von Information/Ordnung im Ereignisraum. MartinB beschreibt keine Gleichzeitigkeit, er setzt den Erhalt von Energie/Ordnung voraus . . . .. meiner Meinung nach bilden beide Ereignisräume einen kausalen Zusammenhang . . . ..

  16. #16 Michael
    9. August 2017

    @martinb
    Genau das war mein Punkt. Was wenn doch ständig von irgend(wem/was) gemessen wird? G. Bateson so:
    “Informationen bestehen aus Unterschieden, die einen Unterschied machen.”
    Informationen führen zum Kollaps von superpositionen, nicht Messungen.
    Wichtig ist nur, daß die Information irgendwo gespeichert wird, wo es für jemanden einen Unterschied macht. Kann dann auch der Friseur sein, der dem schwarzen Loch die Haare färbt… 😉

  17. #17 MartinB
    9. August 2017

    @Ingo
    Das sinnlose geschwafel von erik am besten ignorieren.

    Ich weiß nicht genau, was du für Tabellen erwartest – wie die Wellenfunktion für ein Elektron aussieht, hängt vom Potential ab, in dem es sich bewegt. Die Serie zur Schrödingergleichung hat diverse Beispiele dafür. Bilder von solchen Wellenfunktionen (bzw. meist derem Quadrat) findest du sehr viele unter dem namen “Orbital”. Typischerweise gibt es dazu entweder Formeln (z.B. für das Wasserstoffatom) oder Graphen, die numerisch berechnet werden (hinter denen stecken dann tatsächlich Tabellen).

    Für andere Elementarteilchen macht man das selten – die bewegen sich meist bei relativistischen Geschwindigkeiten und sind nicht an irgendwas gebunden. Meist nimmt man an, dass die einfache Wellen sind, die dann miteinander wechselwirken. Im Prinzip sind die Gleichungen aber immer nahezu dieselben.

    @Michael
    Mir geht es hier ja ums Prinzip. Und solange du nicht permanent misst und das System in nem zeitabhängigen Zustand ist, kommen ja so ziemlich immer Anteile aller möglichen Zustände hinzu.
    Und natürlich wird die Sache real auch dadurch einfacher, dass Elektronen hier und bei Alpha Centauri nichts voneinander merken, dann lässt sich die Wellenfunktion eben doch separieren.
    Mir ging es wirklich um die prinzipielle Komplexität, die dahinter steckt. Und wenn man sich einen irgendwo im Universum isolierten Würfel aus ein paar Hundert Atomen vorstellt, dann kann einem angesichts der Zahl möglicher Zustände ziemlich schwindlig werden…

  18. #18 Ingo
    9. August 2017

    @MartinB #17
    Ich hab schon angefangen ueber Schroedingergleichungen zu lesen,- das wird aber ein paar Tage dauern. Ich hoffe bis dahin ist dieser Thred nicht gestorben.

    Mit Tabellen meine ich folgendes:
    Wenn man die SChroedingergleichung nimmt,- so muss man (nach meinem Verstaendnis) die Parameter je nach den Eigenschaften des Teilchens setzen.
    Oder anders gesrpchen: Je nachdem welches Teilchen mit welchen Eigenschaften ich berechnen will muss ich bestimmte Funktion verwenden, die sich einfach dadurch ergibt dass bestimmte Parameter eingesetzt wurden.

    Daher wuerde ich eigentlich erwarten dass es Tabellen gibt wie:
    einfaches Elektron in Ruhe: f(x,t) = ….
    freies Proton in Ruhe: g(x,t) = …
    Wasserstoffatom in Ruhe: h(x,t) = ….
    Wasserstoffatom mit angeregten Elektron: i(x,t) = ….
    usw .usw.
    Wobei sich die Funktionen ggf jeweils nur in eingesetzen Parametern unterscheiden.
    Eventuell sogar Funktionen fuer 2 Elektronen die interagieren?
    Natuerlich kann so eine Tabelle nicht alle denkbaren Zusaende enthalten,- dafuer waere sie (wie in deinem Artikel beschrieben) zu lang.
    Trotzdem – fuer die Standartfaelle muesste es sowas doch geben.
    Gibt es aber scheinbar nicht.

  19. #19 MartinB
    10. August 2017

    @Ingo
    klar, Tabellen, welche funktion untr welcher bedingung richtig ist,ngibt es. Wobei folgendes zu beachtenist:
    Solange du nicht-relativistisch bist, ist es egal, ob du ein proton oder elektron oder sonstiges (geladenes) teilchen nimmst, in dennfunktionen steckt die masse direkt drin (die ladung indirekt auch).

    Wichtig ist auch, dass manche zustände zeitabhängig sind (ein elektron in ruhe hat eine zrlaufende wf, das beispiel hatten wir obsn schon), andere nicht (z.B. die orbitale im Atom – schau mal bei wiki untr atomorbital, da findestbdu auch tabellen).

    Und keine sorge, ich sehe auchnkommentare bei sehr alten posts.

  20. #20 Tox
    11. August 2017

    @Ingo:
    Die Wellenfunktion eines (nicht-relativistischen) Teilchens in Ruhe ist einfach konstant. Da kommt es nicht einmal auf die Art des Teilchens (also seine Masse, Ladung, etc.) an.

    Bei einem Wasserstoffatom ist die Sache komplizierter, weil das ja kein elementares Teilchen ist, sondern aus einem Proton im Kern und einem Elektron in der Hülle besteht.
    Deshalb muss man so vorgehen, wie es MartinB oben im Artikel zu zwei Elektronen beschrieben hat. (Genaugenommen gibt es noch einen subtilen Unterschied, da das Proton und das Elektron eines Wasserstoffatoms unterscheidbar sind, zwei Elektronen aber nicht.) D.h. man hat nun keine einfache Funktion einer Ortskoordinate und der Zeit der Art f(x, t) mehr, sondern eine Funktion der Art f(xe, xp, t). Dabei ist xe die Position des Elektrons und xp die des Protons. Und im Prinzip müsste man da auch noch die Spins der beiden Teilchen einbauen.

    Die Wellenfunktion für den Grundzustand eines ruhenden Wasserstoffatoms sieht dann in etwa so aus: f(xe, xp) = C exp(- |xe – xp| / a0). Dabei ist a0 der Bohrsche Radius und C eine Normierungskonstante.

    Wenn man sich nur für sehr niedrige Energien interessiert, kann man das vernachlässigen, d.h. dann verhält sich das Wasserstoffatom wirklich wie ein Teilchen. Die Wellenfunktion für ein ruhendes Atom ist dann einfach wieder eine Konstante.

  21. #21 7eggert
    11. August 2017

    Laufvariablen sind Schleifenvariablen: for i = 1 to 10 do echo “Dragon”
    (das kann man auch als Funktion modellieren – muß man aber nicht).

    Funktionen sind deterministische Abbildungen zwischen der Definitionsmenge D und der Zielmenge W, im einfachsten Fall heißt sie f und bildet ein x aus D auf ein y aus W ab, und D und W sind das altbekannte R. Die Werte der Definitionsmenge, die abgebildet werden sollen, nennt man oft Parameter oder Argumente (Informatik).

    Wikipedia: “Als Parameter … wird in der Mathematik eine Variable bezeichnet, die gemeinsam mit anderen Variablen auftritt, aber von anderer Qualität ist. Man spricht auch davon, dass ein Parameter beliebig, aber fest ist. Er unterscheidet sich damit von einer Konstanten dadurch, dass der Parameter nur für einen gerade betrachteten Fall konstant ist, für den nächsten Fall aber variiert werden kann.”

    So, und nun noch eine Frage: In welcher Reihenfolge sollte man Quantenmechanik etc. und Relativitätstheorie lernen, um nicht mitten im Text festzustellen, daß die Grundlagen trotz Mathe-LK fehlen? Oder was ist eine am besten frei verfügbare Einsteigerlektüre?

  22. #22 MartinB
    12. August 2017

    @7eggert
    Die Relativitätstheorie ist von der QM vollkommen unabhängig. Die Qm von der RT nahezu auch (von der Subtilität, dass der “Kollaps der WF” überlichtschnell ist/sein müsste, abgesehen), insofern ist es ziemlich egal.

    In der QM braucht man, wenn man es mathematisch will, partielle Differentialgleichungen – die vermutlich im Mathe-LK nicht dran waren. Die Spezielle RT kommt eigentlich mit Mittelstufenmathematik aus, die Allgemeine braucht, wenn man sie mathematisch wirklich verstehen will, Differentialgeometrie.

    Die beste frei verfügbare Einsteigerlektüre in beides sind natürlich die Artikelserien hier im Blog, das ist ja klar. (Nächstes Jahr empfehle ich für die RT dann vermutlich was anderes, wenn alles gut geht…) Zur Relativitätstheorie ist auch die Einstein-Online-Seite von Markus Pössel und Kollegen immer sehr empfehlenswert.
    Gute (Lehr-)Bücher auf Uni-Niveau zur RT sind die von Rebhan, Fließbach und (auf Englisch) Crowell. Für die QM mochte ich von allen Büchern Morrison “Understanding Quantum Physics” am liebsten, das ist sehr ausführlich und didaktisch. Wobei ich bei beiden Themen sehr empfehlen würde, die nicht allein zu lernen, weil man vieles am besten versteht, wenn man es mit anderen diskutiert.

  23. #23 JoJo
    14. August 2017

    Die unglaubliche Komplexität des Quantenuniversums

    Wenn ich es recht verstehe, ist es nicht möglich, einen entsprechenden Informationsgehalt in einem System zu speichern, denn bei einer Messung (zum Auslesen der im System “gespeicherten” Daten) “kollabiert” die Wellenfunktion und reduziert den Informationsgehalt der ausgelesenen Daten auf klassisches Niveau.

    Müsste der Titel daher nicht lauten

    Die unglaubliche Ineffizienz der Quantenphysik

    Wenn die physikalisch-mathematische Beschreibung so viel mehr Information benötigt als tatsächlich im System speicher- und abrufbar ist, deutet das nicht auf eine unglaubliche Ineffizienz der mathematischen Beschreibung hin?

  24. #24 MartinB
    14. August 2017

    @JoJo
    Nein, sehe ich nicht so. Denn die Information ist ja tatsächlich da und das wird bei Quantencomputern ja auch ausgenutzt. Das ist ja genau der Grund, warum Quantencomputer Dinge können, die auf klassischen Rechnern nahezu unendlich lange dauern würden.

  25. #25 JoJo
    14. August 2017

    Nein, sehe ich nicht so. Denn die Information ist ja tatsächlich da und das wird bei Quantencomputern ja auch ausgenutzt.

    Eine einfache Beschreibung der Arbeitsweise eines n-Bit Q-Computers wäre:

    1) Verwende die n Bits der Eingabe um den Q-Computer zu initialisieren (zu präparieren).

    2) Manipuliere den Q-Computer dergestalt, dass, wenn man die Bits wieder ausliest, das gewünschte Resultat mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit eintritt.

    3) Lies das Ergebnis aus, d.h. bestimme den Wert der n Bits.

    4) Wiederhole Schritte 1) – 3) so oft, bis man hinreichend sicher ist, das korrekte Ergebnis zu haben. Bei manchen Problemen kann auch recht einfach geprüft werden, ob das gewünschte Ergebnis erhalten wurde; z.B. bei Faktorisierung ganzer Zahlen.

    Zu keinem Zeitpunkt hat man Zugriff auf einen — im Vergleich zur klassischen Beschreibung eines n-Bit Systems exponentiell größeren — Informationsgehalt, wie er vom Formalismus suggeriert wird: n Bits klassisch stehen ca. 2^n Koeffizienten in der QM-Beschreibung gegeüber, aber gleich zu welchem Zeitpunkt man das System bemisst, mehr als die n Eingabe-Bits an Information kann man aus dem System nicht erhalten. Insbesondere ist es nicht möglich, die 2^n Koeffizeinten durch Messung zu bestimmen. Oder hab ich das falsch verstanden?

     

    Was bedeutet in diesem Zusammenhang dann, die Information sei “tatsächlich da” ?

     

    Wenn kein Experiment — noch nichtmal ein Gedankenexperiment — in der Lage ist, diese Information aus dem physikalischen System zu extrahieren, dann kann die “Komplexität” doch nur dem Formalismus zugeordnet werden?

  26. #26 MartinB
    14. August 2017

    @JoJo
    Ich verstehe deine Beschreibung eines Quantencomputers nicht. Ja, man kann die Koeffizienten nicht durch Messung alle bestimmen, aber die Algorithmen sind ja gerade so gestrickt, dass man trotzdem mit Hilfe aller Koeffizienten rechnet.
    Einfaches Beispiel ist der Deutsch-Algorithmus, bei dem man eine Funktion nur einmal auswerten muss, während es klassisch immer zwei Auswertungen braucht:
    https://de.wikipedia.org/wiki/Deutsch-Jozsa-Algorithmus

    Praktisch relevant ist z.B. der Shor-Algorithmus, wenn du den experimentell effizient umsetzen kannst, freu dich schonmal auf nen Besuch der NSA…
    https://de.wikipedia.org/wiki/Shor-Algorithmus

  27. #27 JoJo
    14. August 2017

    Ich verstehe deine Beschreibung eines Quantencomputers nicht.

    Z.B. für den Quantenteil des Shor-Algorithmus’ wie bei Wikipedia beschrieben:

    1) Präparation: Die dortigen Schritte Quantenteil 2. und 3. sind die Präparation.

    2) Manipulation: Die eigentliche “Berechnung” ist dort Schritt 4 (Quanten-FT) wo der Q-Computer so manipuliert wird, dass beim Auslesen gewünschte Resultate große Wahrscheinlichkeiten erhalten (die allerdings erst in Quantenteil 5. analysiert werden).

    3) Auslesen: Das ist Quantenteil 5. Das Ergebnis wird mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erhalten.

    4) Probe: Quantenteil 6. entspricht der Probe, wobei ein Teil der Erklärung der Probe (Rechtfertigung, wie sie auszuführen ist und wie die Wahrscheinlichkeiten sind) mit Teil 5. verwurstet ist.

    Praktisch relevant ist z.B. der Shor-Algorithmus, wenn du den experimentell effizient umsetzen kannst, freu dich schonmal auf nen Besuch der NSA…

    Es ging ja nicht um die Effizient der Algorithmen oder um einen Vergleich zwischen klassichen und Quanten-Algorithmen.

    Vielmehr habe ich ein Verständnisproblem, wo die exponentiell größere “Information” der mathematischen Beschreibung im physikalischen System wiederzufinden ist; wobei ein Informationsbegriff wie in der Informatik zugrundegelegt sei, etwa wie bei Wikipedia:

    “Information is conveyed either as the content of a message or through direct or indirect observation of anything. That which is perceived can be construed as a message in its own right, and in that sense, information is always conveyed as the content of a message. Information can be encoded into various forms for transmission and interpretation”

    In diesem Sinne steckt die Information in dem Q-Computer, den man als Speichermedium auffassen kann (so wie eine Festplatte Information speichert, speichert ein Q-Computer Information, allerdings nicht in einer so offensichtlichen Weise.) Wenn ich also per Präparation Information im Q-Computer speichere, und schicke Dir diesen Q-Computer als Medium zur Datenübertragung, dann kannst Du höchstens n Bits an Information extrahieren. Und so wie ich das verstanden hab liegt das nicht an Unfähigkeit Deinerseits sondern ist eine grundlegende Beschränkung.

    Ja, man kann die Koeffizienten nicht durch Messung alle bestimmen,

    Ok.

    Vielleicht liegt das Problem ja bei der Messung, die Information “zerstört”. Wenn man z.B. beim Shor-Algo während der Quanten-FT Messungen machen würde, würde der Q-Computer nicht mehr wie angedacht funktionieren. Genauso wie der Versuch, Information über den Weg eines Elektrons beim Doppel­spaltversuch zu erhalten, zur Zerstörung des Interferenz­musters führt.

  28. #28 MartinB
    14. August 2017

    @JoJo
    Das Problem ist letztlich, dass man Quantenzustände nicht kopieren kann – man kann also einen Quantencomputer nicht einfach auslesen.
    Es ist eine Sache, wieviel Information ich extrahieren kann, eine andere, wie viele Information vorhanden ist. Das ist ja genau der Unterschied zwischen klassischer und Quantenwelt – in der klassischen Welt kann ich alle vorhandene Information auch auswerten, in der Quantenwelt nicht. Dass die Information trotzdem vorhanden ist, sieht man aber eben beispielsweise an der Funktionsweise der Quantencomputer.