So weit zu den Vorraussetzungen – alles in allem läuft das auf eine Simulation von etwa 350.000 Objekten hinaus. Die Computer waren also einige Zeit beschäftigt 😉 Aber schließlich waren die Ergebnisse da.
Resultate
Als erstes haben wir uns die Stabilität im “(a-e)-Raum” angesehen. Das soll heissen, dass wir verschiedene Anfangswerte für die große Halbachse (a) und Exzentrizität (e) der Testteilchen gewählt und dann untersucht haben, ob diese Kombinationen in stabilen oder chaotischen Bahnen resultieren.
Wie so etwas aussieht, das folgende Bild. Auf der horizontalen Achse sind die Werte für die große Halbachse angegeben; auf der vertikalen die für die Exzentrizität. Für jeden Punkt in dieser Ebene haben wir die Bewegung des entsprechenden Teilchens simuliert. Die Farbe zeigt das Ergebnis – sie gibt den Maximalwert der Exzentrizität an, den die Testteilchen während der Simulation erreicht haben. Je größer dieser Wert ist, desto chaotischer ist die Region. Gelb/Rot zeigt reguläre Bereiche an; die chaotischeren Bereiche sind grün/blau.
Und so sieht das ganze dann aus:
Man sieht erstmal deutlich, dass in der unmittelbaren Umgebung von TrES-2b (der sich bei 0.036 AE befindet) kein Platz für weitere Planeten ist – dort ist alles schwarz; also instabil. Man sieht auch, dass diese instabile Region umso größer wird, je größer die Exzentrizität der Testteilchen ist. Ist ja auch logisch – je exzentrischer und damit langgestreckter die Bahn ist, desto größer ist die Chance, dass sie mit dem Planeten kollidieren.
Für diese Simulation wurde außerdem die anfängliche mittlere Anomalie M der Testteilchen auf 0 Grad gesetzt. Die mittlere Anomalie bestimmt im Prinzip, wo sich ein Objekt entlang seiner Bahn befindet. In einem anderen Artikel habe ich schon beschrieben, dass es unter Umständen sehr wichtig sein, wie man die mittlere Anomalie wählt. Denn die bestimmt, ob eventuell auftretende Resonanzen stabilisierend oder störend wirken können.
Wir haben daher die gleiche Simulation nochmal für einen anfänglichen Wert der mittleren Anomalie von M=45°, M=90°, usw wiederholt. Die Ergebnisse sieht man hier:
Die allgemeine Form der regulären und chaotischen Bereiche bleibt gleich – aber in den Details unterscheiden sich die Bilder. Besonders bei M=90° (das Bild links in der mittleren Reihe) sieht man jede Menge vertikale Streifen, in denen die Bewegung stabil ist. Das liegt an den eben angesprochenen Resonanzen. Hier stehen die Umlaufzeiten von Planet und Testteilchen in einem ganzzahligen Verhältnis und die Wahl der mittleren Anomalie von 90 Grad führt dazu, dass diese Anfangsbedingungen sehr stabil sind.
Wir haben auch die Stabilitätsregionen in der (a-i)-Ebene untersucht. Im Prinzip läuft hier alles so wie vorhin. Nur haben wir diesmal die Anfangswerte von großer Halbachse (a) und Bahnneigung (i) varriert und geschaut, ob stabile oder chaotische Bahnen resultieren. Hier ist das Ergebnis:
Die Farbcodierung ist wieder so wie oben: gelb/rot heisst stabil; grün/blau heisst chaotisch. Man sieht, dass fast der gesamte Bereich stabil ist – nur in der Nähe von TrES-2b kann kein zusätzlicher Planet existieren. Es ist außerdem fast egal, wie stark die Bahn der Testteilchen gegenüber der von TrES-2b geneigt ist. Der instabile Bereich ist bei großen Inklinationen nur wenig größer als bei kleinen und nur innerhalb der Bahn von TrES-2b zeigen sich bei Inklinationen die größer sind als ~35 Grad erste Anzeichen von Chaos.
Dieses Diagramm haben wir unter der Annahme berechnet, dass sich die Testteilchen auf annähernd kreisförmigen Bahnen bewegen. Aber wie wir oben gesehen haben, muss das nicht unbedingt der Fall sein; auch exzentrische Bahnen können stabil sein. Wir haben daher die Rechnungen für verschiedene anfängliche Exzentrizitäten wiederholt.
Hier sieht man das Ergebnis für eine Anfangsexzentrizität von e=0.3:
Der chaotische Bereich rund um TrES-2b ist deutlich gewachsen. Man erkennt außerdem wieder die streifenförmigen Muster, die auf Resonanzen hinweisen. Und direkt um die Bahn von TrES-2b (bei 0.036 AE) hat sich eine kleine “stabile” Insel gebildet – hierbei könnte es sich um Testteilchen handeln, die in einer Trojanerkonfiguration gefangen sind.
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