Mit so einer Surface of Section kann man also einfach und schnell einen Überblick über die möglichen Zustände erhalten, die in einem System möglich sind.
Zum Abschluß möchte ich noch kurz erklären, was ein Mapping (oder “Map” oder einfach “Abbildung”) ist. Bei der Berechnung bzw. dem Zeichnen einer Surface of Section gibt es einen entscheidenden Nachteil: man muss immer noch die komplette Bahn im Phasenraum berechnen – auch wenn ich später nur die Schnittpunkte mit der Ebene betrachte. Es wäre doch viel praktischer, wenn ich direkt aus einem Punkt der Surface of Section berechnen könnte, wo der nächste entsprechende Punkt auf der SoS liegen wird.
Solche Abbildungsvorschriften von einem Punkt zum nächsten (bzw. Mappings) kann man tatsächlich finden! Die Mathematik, die beschreibt, wie man von einem Differentialgleichungssystem, das ein bestimmtes System beschreibt, zu einem simplen Mapping kommt, ist allerdings recht knifflig – die werde ich hier nicht genauer darstellen (wer sich nicht vor Formeln fürchtet, kann ja z.B. hier mal reinschauen 😉 ).
Es gibt mittlerweile eine ganze Reihe von chaotischen Mappings, die den verschiedensten physikalischen Problemen entstammen. Da man mit ihnen sehr schnell und einfach die allgemeinen Eigenschaften chaotischer Systeme untersuchen kann, tauchen sie oft in den unterschiedlichsten Bereichen der Forschung wieder auf.
Mein erster Kontakt mit der Welt des Chaos war z.B. das Hénon-Map. Die Gleichungen des Mappings sehen ganz unschuldig aus:
Das ist eine ganz simple Iterationsvorschrift: man wählt einen Startwert für x und y (und einen Wert für den Parameter alpha, der das Ausmaß der Störung im System beschreibt) und kann dann daraus direkt die neuen Werte für x und y wählen. Die nimmt man dann als neue Startwerte – usw. Und doch zeigt das Hénon-Map das komplette Spektrum an chaotischen Eigenschaften das man in nichtlinearen Systemen beobachten kann. Ich habe damals sicher ein ganzes Semester mit diesen Gleichungen rumgespielt und gearbeitet…
Wer möchte, kann das ja selbst mal programmieren – das ist wirklich nicht schwer (ein entsprechendes Programm hat ein paar dutzend Zeilen; höchstens!).
So viel zu Mappings und Surface of Sections. Im nächsten Teil erkläre ich dann genau, wie sich die Stabilitätsinseln verhalten, wenn das Chaos größer wird und wir kommen zum Herzstück der Chaostheorie: dem KAM-Theorem.
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