Störungsrechnung und die Stabilität des Sonnensystems (Teil 1)

Ich habe hier noch viel zu wenig über Störungsrechnung geschrieben. Eigentlich noch gar nichts. Das liegt vielleicht daran, dass es bei der Störungsrechnung nicht ohne Mathematik geht. Viel Mathematik…

Aber gerade in der Himmelsmechanik ist die Störungsrechnung von fundamentaler Bedeutung. Will man wissen, ob das Sonnensystem für lange Zeiten stabil bleibt, dann muß man sich mit ihr beschäftigen. Darum gibt es hier nun eine Mini-Serie über Störungsrechnung und bzw. über ihre Anwendung auf die Dynamik im Sonnensystem. Ganz ohne Mathematik kommt man leider wirklich nicht aus – aber ich tue mein bestes, alles vernünftig zu erklären.

Die Astronomie hat kein Monopol auf die Störungsrechnung. Mit dieser Methode lässt sich eine Vielzahl an physikalischen Systemen untersuchen. Das Grundprinzip ist äußerst einfach: Anstatt eines komplizierten Systems von Gleichungen deren Lösung man nicht kennt betrachtet man einen einfachen Fall, bei dem die Lösung bekannt und “stört” dann diese Lösung.

Ich möchte das gleich am Beispiel der Planetenbewegung genauer erklären. Seit Johannes Kepler wissen wir, dass sich die Himmelskörper auf elliptischen Bahnen um die Sonne bewegen.

Das ist allerdings nur bedingt richtig. Will man berechnen, wie sich eine beliebige Anzahl von Körpern unter dem Einfluß ihren gegenseitigen gravitativen Kräfte bewegen, dann gibt es für dieses Problem keine Lösung. Es ist nicht möglich, eine Lösung zu finden, die Position und Geschwindigkeit eines Planeten für jeden beliebigen Zeitpunkt angibt! Das hat Henri Poincaré 1888 herausgefunden und seine Arbeit stellte quasi die Grundlage der modernen Chaostheorie dar.

Für diese N-Körper-Problem gibt es also keine analytische Lösung – man kann höchstens die Bewegung der Himmelskörper simulieren und so herausfinden, wie sie sich in Zukunft verhalten werden (aber auch das ist nicht immer einfach). Und früher, als es noch keine Computer gab, konnten diese Simulationen sowieso nicht durchgeführt werden.

Der einzige Ausweg war die Störungsrechnung. Denn Kepler hatte natürlich nicht unrecht. In erster Näherung bewegen sich die Planeten schon auf elliptischen Bahnen. Diese Lösung ist eben nur nicht ganz exakt. Aber exakt genug, um Störungsrechnung betreiben zu können.

Dabei geht man erstmal davon aus, dass die Sonne – was die Gravitation angeht – absolut dominat im Sonnensystem ist. Wenn man die Bewegung eines bestimmten Planeten, zum Beispiel der Erde, betrachtet, dann reicht es also erstmal, nur die Anziehungskraft der Sonne zu berücksichtigen und alle anderen Einflüsse zu ignorieren.

Dieses Problem kann man exakt lösen – man findet leicht eine Gleichung, die die Position der Erde zu jedem beliebigen Zeitpunkt angibt und die Lösung entspricht genau den Keplerschen Ellipsen. Diese Lösung wird als ungestörte Lösung bezeichnen.

Jetzt wissen wir aber, dass neben der Sonne auch noch andere Einflüsse da sind. Auch alle anderen Himmelskörper (die übrigen Planeten, die Monde, die Asteroiden, …) wirken gravitativ auf die Erde ein. Im Vergleich zum Einfluss der Sonne ist dieser Einfluss aber sehr klein – die Gravitationskraft hängt ja von der Masse ab und fast die gesamte Masse des Sonnensystems ist in der Sonne konzentriert.

Da der zusätzliche Einfluss nur klein ist, stellt er nur eine kleine Störung der ungestörten Lösung da. Die Störungsrechnung ist nun eine spezielle mathematische Technik, mit der man diese kleinen zusätzlichen Störungen zur ungestörten Lösung hinzufügen kann um so die Lösung immer genauer an die Realität anzunähern.

Formal sieht das ganze so aus:

Die Lösung A setzt sich zusammen aus der ungestörten Lösung A₀ und den Störungen A₁, A₂, usw. ε ist der Störungsparameter – und in der Formel sieht man auch, warum er klein sein muss, damit die Störungstheorie funktioniert. Die Lösung setzt sich nämlich aus einer unendlichen Reihe der Potenzen von ε zusammen. Die nullte Potenz von ε ist eins und deswegen hat die Störung auch keinen Einfluss auf A₀ (das ist ja auch die ungestörte Lösung). Aber danach wird ε immer weiter potenziert – und wenn ε eine Zahl wäre, die größer als eins ist, dann würde die bei jeder neuen Potenzierung immer größer und größer werden. Jeder zusätzliche Term in der Reihe wäre also größer als der vorhergehende und die Lösung A würde unendlich groß werden – und wäre damit keine vernünftige Lösung mehr.

Ist ε aber klein – also eine Zahl kleiner als 1 – dann wird jede neue Potenz immr kleiner. Jeder zusätzliche Term in der Reihe ist also kleiner als der vorhergehende und stellt nur eine kleine Verbesserung der ungestörten Lösung A₀ dar. Je mehr dieser Terme man verwendet, desto genauer wird die Lösung A werden. Man braucht also nur lange genug rechnen und ausreichend Terme der unendlichen Reihe berücksichtigen um die Lösung mit beliebiger Genauigkeit bestimmen zu können (wenn ansonsten alles mit der Störungsrechnung klappt und keine besonderen Umstände eintreten – aber dazu mehr in späteren Artikeln).

Für das Sonnensystem spielt die Masse der Himmelskörper die Rolle des Störungsparameters. Und verglichen mit der Masse der Sonne ist die immer sehr klein – die Störungsrechnung kann also verwendet werden.

Im nächsten Teil dieser Serie werde ich etwas genauer erklären, wie man die Störungen im Sonnensystem berechnet und welche Schlüsse man daraus über die Stabilität des Sonnensystems ziehen kann. Wer sich bis jetzt noch nicht abschrecken hat lassen, den möchte ich auffordern, sich vielleicht nochmal meine Artikel über die Bahnelemente und die Resonanzen im Sonnensystem anzusehen. Beide werden für das spätere Verständnis sehr hilfreich sein.

Ich habe hier noch viel zu wenig über Störungsrechnung geschrieben. Eigentlich noch gar nichts. Das liegt vielleicht daran, dass es bei der Störungsrechnung nicht ohne Mathematik geht. Viel Mathematik… Aber...