Während meiner Auszeit erscheinen hier im Blog Gastartikel anderer Autoren und Blogger zu verschiedenen Themen (wenn ihr auch einen Artikel schreiben wollt, dann sagt Bescheid: florian AT astrodicticum-simplex PUNKT de).
Im heutigen Artikel geht es um Musik. Ich selbst kann leider kein Musikinstrument spielen – aber die faszinierende Mathematik die hinter der Musik steht, kann ich trotzdem nachvollziehen. Besonders dann, wenn sie von Sebastian Templ (hier geht es zu seinem Blog) in seinem Gastbeitrag so schön erklärt wird. Viel Spaß damit.
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Haben zwei Saiten mit gleicher Spannung unterschiedliche Längen, so geben sie verschiedene Töne ab, wenn man sie in Schwingungen versetzt. Seltsamerweise klingen die Töne für ein Längenverhältnis von beispielsweise 2:1 oder 3:2 besonders angenehm in unseren Ohren – geradezu harmonisch. Andere (kompliziertere) Längenverhältnisse erzeugen im Gegensatz dazu unangenehmere Töne.
Wie die meisten von euch bestimmt wissen, wird der Unterschied in der Tonhöhe von einem Ton zum anderen in Intervallen angegeben. Das heißt, man misst den “Abstand” zweier Töne in diskreten Schritten auf einer Art musikalischer Skala.
Das prominenteste und grundlegendste Intervall ist die Oktave. Zwei Töne, deren Tonhöhenunterschied (gemessen in Intervallen) eine Oktave ergibt, harmonieren besonders gut. Das liegt einfach daran, dass für den Fall einer Oktave das Längenverhältnis der Saiten 2:1 lautet. Anders formuliert: Die höher klingende Saite schwingt doppelt so schnell wie die tiefer klingende. So spielt man Oktaven auf (Saiten-)Instrumenten, wie z. B. Violine, Gitarre, etc., indem man die Saite genau an ihrer Mitte mit dem Finger gegen das Griffbrett drückt und somit die Länge, auf der die Saite schwingen kann, einfach halbiert.
Es gibt natürlich noch zahlreiche andere Intervalle. Für das musikalische Verständnis und Empfinden der “westlichen” Kultur besonders wichtig sind die Längenverhältnisse 4:3 (vierte Stufe, Quarte) und 3:2 (fünfte Stufe, Quinte). Dies entspricht den Tönen “F” und “G” auf der Skala CDEFGAHC, welche durch die weißen Tasten auf einem Klavier repräsentiert wird. (Dabei sind das erste und das letzte “C” eine Oktave voneinander “entfernt”.)
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Klaviertastatur einer Oktave
Doch wie kommt man überhaupt zu dieser Skala CDEFGAHC? Es kann sich dabei um keine reine Willkür handeln, denn sonst würden nicht so viele Töne davon miteinander harmonieren.
Im Folgenden werde ich versuchen, diese Frage vereinfacht zu beantworten. Die Längenverhältnisse von Saiten (z. B. “2:1”) werde ich dazu als Brüche darstellen.
Wir starten von einem Grundton. Die Saite, die den Grundton hervorruft, hat der Einfachheit halber die Länge 1. Dann steigern wir uns in “Fünferschritten” – musikalisch ausgedrückt suchen wir uns Töne, die sich um Quinten unterscheiden. (Zur Erinnerung: Es handelt sich dabei um das Verhältnis 3/2.)
Diese Brüche “ausgerechnet” ergeben:
Abgesehen von den ersten beiden liegen diese Brüche nicht mehr innerhalb einer Oktave, weil sie größer als 2 sind. Deshalb dividieren wir alles so oft durch 2, bis jeder Ausdruck zwischen 1 und 2 liegt. (Wir verschieben die Töne also immer um Oktaven, und zwar so lange, bis sie in dem von uns betrachteten bereich (= zwischen 1 und 2) liegen.)
Somit erhalten wir:
Diese Folge von Brüchen sortieren wir nun aufsteigend nach ihren Werten:
Dies entspricht jetzt näherungsweise den Tönen CDEGAH auf der Klaviertastatur. Zwei Dinge sind noch zu erledigen: Zuerst wollen wir der Vollständigkeit halber noch ein weiteres C hinten hinzufügen. Dieses ist eine Oktave höher als das erste – also entspricht ihm die Zahl 2.) Außerdem fehlt uns ja noch etwas: nämlich das “F”, wie ihr vielleicht bemerkt habt. Dieses fügen wir noch ein, und zwar zwischen 81/64 und 3/2, denn für das Ohr herrscht hier ein besonders großes “Loch” im Vergleich zu den anderen Schritten. Wie bereits oben erwähnt, heißt “F” in unserem Zusammenhang “4/3”.
Letztendlich erhalten wir (näherungsweise) eine Tonleiter, die nur aus Quarten, Quinten und Oktaven besteht:
Damit haben wir die weißen Tasten auf einem Klavier beschrieben. Doch es gibt ja auch noch diese schwarzen. Wie das?
Wenn man untersucht, wie sich die einzelnen Töne der oben gefunden Tonleiter zueinander Verhalten, so kommt man darauf, dass dieses Verhältnis für alle gleich ist außer für den Sprung von E auf F und von H auf C.
So beträgt das Verhältnis von 81/64 zu 9/8 wiederum 9/8, was numerisch 1,125 entspricht. Die Zahl 1,125 “passt” zwischen alle Töne, nur nicht zwischen E und F und H und C: Das Verhältnis von 4/3 zu 81/64 ist 256/243, also etwa 1,053. Dies entspricht keinem ganzen Ton (denn für diesen würde das Verhältnis 1,125 gelten), sondern eher einem sog. “Halbton”. Zwei Halbtöne ergeben ein Verhältnis von (1,053)², also ungefähr 1,110. Das kommt dem Verhältnis 1,125 nahe (nicht besonders nahe, ich weiß, aber kümmern wir uns vorerst nicht darum). Zwei Halbtonschritte ergeben somit einen Ganztonschritt.
Klaviertastatur: Die “natürlichen Halbtonschritte” liegen zwischen E-F und H-C. Dort befinden sich keine schwarzen Tasten.
Teilt man jeden Ganztonschritt näherungsweise in zwei Halbtonschritte auf, so ergibt sich eine Skala von zwölf Halbtonschritten über eine ganze Oktave. So weit, so gut. Doch problematisch wird es, wenn man den ersten Ton unserer Skala leicht verändert (z. B. um einen Halbton). Dann “verrutschen” alle Intervalle und die Diskrepanzen werden hörbar.
Dieses Problem lässt sich einigermaßen vermeiden, wenn man eine Art Kompromiss eingeht, indem man eine Oktave in zwölf gleiche Halbton-Intervalle einteilt. Das Verhältnis zwischen zwei Halbtönen ergibt sich somit zu der zwölften Wurzel aus 2.
Rechnet man mit der zwölften Wurzel aus Zwei, spricht man von der sog. “wohltemperierten” Skala. Man erhält beispielsweise damit (von C ausgehend) für den Ton “F” (1,059)5=1,335 (entspricht fünf Halbtonschritten). Im Vergleich zum eigentlichen Wert 4/3=1,33 ist dies eine relativ gute Näherung.
Oder: Auf der wohltemperierten Skala entspricht das 3/2-Verhältnis (Quinte) (1,059)7=1,498. Es unterscheidet sich nur wenig vom eigentlichen Wert von 1,5.
Auf diese Weise hat man also die Saiten eines Klaviers gestimmt. Ein besonders gut (musikalisch) trainiertes Ohr kann den Unterschied hören, der durch diesen Kompromiss mit der zwölften Wurzel aus Zwei entsteht, doch den meisten von uns fällt er nicht auf und wir haben uns an diese Einteilung gewöhnt.
Abschließend noch ein witziges Video, das verdeutlichen soll, dass quasi jedes uns bekannte Lied auf den Stufen eins, vier und fünf aufbaut: Während sich die Klavier- und Gitarrenstimme im Hintergrund nie verändert, singen Axis of Awesome in ihrem 4 Chords Song verschiedene Lieder, die seltsamerweise stets mit den gespielten Akkorden harmonieren:
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