Dieser Artikel gehört zu meiner Serie “Tatort-Wissenschaft”. Wer damit nichts anfangen kann findet hier eine Erklärung. Es geht in diesem Artikel nicht um eine wissenschaftliche Erklärung der Tatort-Handlung sondern darum zu zeigen, dass Wissenschaft tatsächlich überall ist. Egal was wir (oder die Tatort-Kommissare) machen, es steckt Wissenschaft dahinter. Wir erleben die Welt aber meistens getrennt. Da gibt es “Wissenschaft” – und dann gibt es “alles andere”. Zum Beispiel Krimis wie den Tatort. Es mag konstruiert erscheinen, den Tatort mit wissenschaftlichen Phänomenen und Erklärungen in Verbindung zu bringen. Die Wissenschaft war aber schon die ganze Zeit da. Unsere gedankliche Trennung zwischen Krimi und Wissenschaft ist konstruiert. Ach ja, und wenn ihr nicht wissen wollt, wer der Mörder war, dann lest am besten nicht bis zum Ende…
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Tatort-Folge Nummer 887 spielt auf Langeoog. Es geht um Kunst und Sex. Es geht um Seefahrt und Schulden. Und vor allen geht es um die Chaostheorie.
Endlich mal ein Tatort aus der Provinz. Natürlich ist es eine malerische touristisch relevante Provinz auf der Nordseeinsel Langeoog. Aber immerhin…
Kommissar Falke aus Hamburg macht Urlaub auf Langeoog. Und wie das so ist wenn Kommissare in Krimis irgendwo Urlaub machen, stirbt ziemlich bald jemand. Zuerst läuft alles noch super. Mit seinem Freund und seiner Frau feiert Falke ne kleine Party. Nur der seltsame Bruder der Frau hat keine Lust auf Party und verschwindet. Das hätte ich wohl auch getan; was aber nicht daran liegt das der Typ so wie ich Florian heißt, sondern dass auf der Party wirklich grauenhafte Musik gemacht wurde. Florian jedenfalls packt seinen Schlafsack ein, eine Taschenlampe und verlässt Punkt 21:34 die Wohnung. Am nächsten Tag wacht er verwirrt, halbnackt und blutverschmiert mitten in den Dünen neben einer erstochenen Frau auf.
Dünen in Langeoog. Normalerweise liegen da keine Leichen rum (Bild: Karsten Keßler; CC-BY-SA 2.0=
Keiner weiß, was los war. Und vermutlich hat Florian sich in diesem Moment gewünscht, die Party am Abend davor trotz der grauenhaften Musik nicht verlassen zu haben. Dann wäre das alles nicht passiert. Vielleicht wäre es aber auch nicht passiert, wenn er schon um 21:33 losgegangen wäre. Oder erst um 21:35. Oder statt der Taschenlampe eine Kerze mitgenommen hätte. Kleine Veränderungen können oft große Auswirkungen haben. Dieses Phänomen kennt man unter dem Begriff “Schmetterlingseffekt”: Der Flügelschlag eines Schmetterlings kann einen Wirbelsturm auslösen.
Ernsthaft?
Der Schmetterlingseffekt ist sehr populär und eines der wenigen Dinge aus der Theorie nichtlinearer Systems, das sich auch in der Öffentlichkeit verbreitet hat. Allerdings so gut wie immer auf die falsche Art und Weise. Es handelt sich ganz explizit nicht um eine Beziehung zwischen Ursache und Wirkung. Der Flügelschlag eines konkreten Schmetterlings ist nicht die Ursache für einen konkreten Wirbelsturm. Es geht beim Schmetterlingseffekt um etwas ganz anderes. Und zwar um eine fundamentale Eigenschaft chaotischer Systeme: Die Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Im Normalfall ist die Beziehung zwischen Input und Output in einem dynamischen System relativ linear. Wenn ich einen Gummiball auf den Boden werfe, dann hüpft er wieder hoch. Wenn ich ihn ein bisschen stärker auf den Boden werfe, dann hüpft er ein bisschen weiter nach oben. Wenn ich ihn noch ein bisschen stärker werfe, dann hüpft er noch ein bisschen weiter nach oben. Und so weiter. Wie weit der Ball hüpft hängt direkt davon ab, wie stark ich ihn werfe. Wenn ich die Kraft mit der ich werfe langsam erhöhe, dann wird auch der Ball langsam immer höher springen. Und es ist nicht damit zu rechnen, dass er von einem Wurf auf den anderen plötzlich auf dem Boden liegen bleibt und gar nicht mehr nach oben hüpft oder 100 Meter in die Luft fliegt. Kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen, also der Stärke der Kraft mit der ich werfe, erzeugen auch immer nur kleine Änderungen im Ergebnis, also der Höhe, die der Ball erreicht. So ein System nennt man “linear”.
Egal wie viele Schmetterlinge man umbringt und sicher stellt: Am Wetter ändert das nichts! (Bild: Heimatmuseum und Naturalienkabinett Waldenburg in Sachsen, CC-BY-SA 3.0
Chaotische Systeme aber sind anders. Sie sind “nichtlinear”: hier können kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen gewaltige Änderungen im Ergebnis verursachen. Der Meteorologe Edward Lorenz hat dieses Phänomen 1960 entdeckt, als er mit einem der ersten Computermodelle das Wetter untersuchte. Er wollte einer seiner schon durchgelaufenen Simulationen nochmal testen; aber nicht wieder ganz von Anfang an beginnen. Er suchte sich aus den Ausdrucken der alten Ergebnisse also passende Werte heraus und gab sie als neue Startwerte in den Computer ein. Zu seiner Überraschung lief die Simulation völlig anders ab als beim ersten Versuch. Denn Lorenz hatte die Werte nicht exakt bis auf die letzte Kommastelle eingegeben, sondern ein klein wenig gerundet. Aber schon diese winzige Änderung in den Startwerten war ausreichend, um am Ende zu einem völlig anderen Ergebnis zu führen. Er verglich die Größe der Änderung in einem Vortrag mit dem Effekt den der Flügelschlag einer Möwe auf die Atmosphäre der Erde hat. Das wurde später zum Flügelschlag eines Schmetterlings und dann zu der falschen Aussage, dass ein Schmetterling einen Wirbelsturm verursachen kann. Tatsächlich besagt der Schmetterlingseffekt in diesem Fall nur, dass das Wetter ein nichtlineares dynamisches System ist bei dem winzige Änderungen am Anfang zu großen Unterschieden am Ende führen kann. Misst man Temperatur, Windgeschwindigkeit und andere meteorologische Parameter an einem bestimmten Tag und sieht dann nach, wie sich das Wetter verändert, dann folgt daraus nicht, dass an einem anderen Tag an dem die Parameter ähnliche Werte aufweisen auch ein ähnliches Wetter kommen muss. In einem nichtlinearen System kann es sich völlig anders entwickeln und dort wo beim ersten Mal Sonnenschein auf dem Programm stand kann beim zweiten Mal ein Wirbelsturm kommen, selbst wenn die Unterschiede so gering waren wie der Flügelschlag eines Schmetterlings…
Auf der windigen Nordseeinsel gibt es aber wahrscheinlich wenig Schmetterlinge. Und die Leiche bleibt tot. Sie war übrigens eine Künstlerin und eine, die sich auf morbide Suizidfotos spezialisiert zu haben scheint. Das findet Falkes Kollegin Lorenz in Hamburg heraus, denn natürlich hat der urlaubende Kommissar entschieden sich in den Fall einzumischen was die lokale Kollegin Brandner nicht wirklich toll findet. Florian wird auf jeden Fall erst mal eingesperrt obwohl er sich immer noch nicht an irgendwas erinnert und auch nichts erzählen will.
Die Ermittlungen bringen nichts Neues; alles deutet auf Florian als Täter hin. Einen ersten Durchbruch bringt ein weiteres nichtlineares System: Der Rauch einer Zigarette. Sieht man mal von den gesundheitlichen Aspekten ab, ist das ja ein sehr schöner und ästhetischer Anblick. Der Rauch, der sich langsam kräuselt, aufsteigt, verwirbelt und verweht. Die Physik die hinter solchen turbulenten Strömungen steht ist zwar bekannt – nur vorhersagen lässt sich die Entwicklung des Rauchs in der Luft deswegen noch lange nicht.
Es ist zwar schwierig, mit nichtlinearen Systemen zu arbeiten, aber die Wissenschaftler haben sich im Laufe der Zeit einige Tricks ausgedacht. Einer davon nennt sich “Störungsrechnung” und wird sehr erfolgreich angewandt. Das Grundprinzip ist simpel: Man betrachtet zuerst ein System, das nicht chaotisch ist und das man versteht und lösen kann. Ein Beispiel dafür ist die Bewegung der Himmelskörper in unserem Sonnensystem. Auch dabei handelt es sich um ein nichtlineares System in dem man auf chaotisches Verhalten treffen kann. Wenn aber nur zwei Körper beteiligt sind, dann verstehen wir das Problem komplett und können es auch komplett lösen. Das Zweikörperproblem ist komplett vorhersagbar und kein bisschen chaotisch. Die Bewegung eines einzelnen Planeten um einen Stern lässt sich also problemlos beschreiben – zum Beispiel durch die Keplerschen Gesetze, die ja nur eine andere Formulierung der konkreten mathematischen Lösung sind. Das Sonnensystem besteht aber nicht aus nur der Sonne und einem Planeten sondern aus einem Stern, acht Planeten und sehr, sehr vielen kleinen Himmelskörpern. Um die Bewegungen in diesem System zu beschreiben nimmt man nun die simple Lösung des Zweikörperproblems und fügt ihr eine kleine Störung hinzu. Da, wo im Zweikörperproblem die Bahn des Planeten laut Kepler immer und unveränderlich auf der gleichen Ellipse stattfindet, sagt uns das gestörte Zweikörperproblem, dass sich diese Ellipse im Laufe der Zeit ein wenig verändert. Sie wird größer und kleiner; sie wird mehr und weniger elliptisch und sie wackelt hin und her. Die Stärke dieser Effekte wird durch die Stärke der Störung beschrieben und die hängt in diesem Fall von der Gravitationsanziehung der anderen Planeten ab.
Ein Dreikörperproblem ist schwer zu bewältigen.. (Bild: xkcd, CC-BY-NC 2.5)
Im Vergleich zur Gravitationskraft der Sonne ist die Störung durch die Gravitationskraft der anderen Planeten tatsächlich klein. Aber es handelt sich immer noch um ein nichtlineares System und es ist nicht sichergestellt, dass die Auswirkungen der kleinen Störungen für alle Zeiten klein bleiben. Genau das war das Ergebnis, zum der große Mathematiker Henri Poincaré im 19. Jahrhundert kam. Er war der erste der mathematisch beweisen konnte, das es unmöglich ist ein Dreikörperproblem exakt zu lösen. Mit der Technik der Störungsrechnung klappt das nicht, denn dabei wird vorausgesetzt das die Effekte der Störungen immer klein sind und Poincaré bewies, dass das nicht der Fall sein muss (ich habe das in meiner Artikel-Serie über Störungsrechnung ausführlich erklärt: Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4). In der Praxis wird die Störungsrechnung heute meist durch umfassende Computersimulationen ersetzt; es gibt aber immer noch Anwendungsbereiche in denen sie eine wichtige Rolle spielt – zum Beispiel der theoretischen Chemie.
Und die Chemie taucht auch im Tatort auf. Der turbulente Rauch von weiter oben kam aus dem Mund einer Köchin in dem Betrieb, in dem auch Florian ab und zu arbeitet. Und die erzählt Kommissar Falke in ihrer Zigarettenpause von dem, was sich in Florians Arbeitsspind befindet: Drogen. K.O. Tropfen die benutzt werden, um mit Frauen Sex zu haben, die das nicht wollen. Und sie stammen von einem Dealer namens “Gegge”, der – wie eine Befragung zeigt – sich in der Tatnacht ebenfalls in den Dünen herum getrieben hat. Das ändert aber nichts daran, dass Florian erstmal per Schiff ins Gefängnis auf dem Festland verfrachtet werden soll. Wenn man schon nen Tatort auf ner Insel macht, dann reicht es nicht, wenn die Leicher malerisch in den Dünen liegt! Dann reichen nichtmal die exzessiv zur Schau gestellten selbstgestrickten Inselpullis. Dann muss mindestens noch eine Seefahrt stattfinden und die nutzt Florian um über Bord zu springen und abzuhauen.
Und in der Zwischenzeit schlägt die Chaostheorie ein drittes Mal zu! In Florians Zimmer findet sich ein USB-Stick mit jeder Fotos. Fotos, die zeigen, dass er eine enge Liebesbeziehung zum Mordopfer hatte. Fotos, deren Seitenverhältnis vermutlich sehr nahe am sogenannten “Goldenen Schnitt” liegt – ein Seitenverhältnis, das wir Menschen als besonders ästhetisch empfinden. Kein Wunder; diese Zahl findet man überall in der Natur und in der Chaostheorie spielt sie eine fundamentale Rolle.
Ein wichtiger Punkt bei der Untersuchung chaotischer Systeme ist die Frage, wie gut man das reale System durch andere Systeme approximieren kann. Je einfacher das ist, desto eher können sich Störungen auswirken. Das klingt ein wenig seltsam und ist nicht ganz so einfach zu erklären, weil man hier mit abstrakten Dingen wie “Phasenraumorbits” hantieren muss. Ein Phasenraum ist ein abstrakter Raum, der sämtliche mögliche Zustände eines Systems beinhaltet. Ein leicht vorstellbarer Phasenraum ist zum Beispiel der, der meine Situation in der Warteschlange einer Supermarktkasse beschreibt. Die wird durch zwei Werte beschrieben: Mein Abstand von der Kasse und die Geschwindigkeit mit der ich mich bewege. Ich kann zum Beispiel noch weit weg sein und still stehen, weil vor mir nichts weiter geht und erst mal das Papier in der Kasse gewechselt werden muss. Oder ich bin schon nahe dran und flott unterwegs weil niemand sonst da ist. Zu jedem Zeitpunkt kann ich meinen Abstand von der Kasse und meine Geschwindigkeit angeben und in ein entsprechendes Diagramm eintragen. Verbinde ich dann alle diese Punkte, erhalte ich einen “Phasenraumorbit”, der genau anzeigt, wie sich das System “Warten an der Kasse” verhalten hat.
Die Realität ist natürlich komplizierter. Will man zum Beispiel die Bewegung eines Asteroiden beschreiben, dann brauche ich dazu schon sechs Zahlen: Die x,y und z-Koordinate die seine Position im Raum angibt und dazu noch drei weitere Zahlen die angeben, mit welcher Geschwindigkeit er sich jeweils in die drei Richtungen bewegt. Und dann ist der Asteroid ja nicht allein sondern wird von Planeten und der Sonne beeinflusst, deren Zustand ebenfalls durch sechs Zahlen beschrieben wird. Der Phasenraum so eines dynamischen Systems kann also 18 oder mehr Dimensionen haben – das Prinzip bleibt aber gleich: Ein Phasenraumorbit in einem egal wie hoch dimensionalen Phasenraum ist eine Linie, die uns zu jedem Zeitpunkt genau sagt, wie sich das System verhält. Was uns nun aus chaostheoretischer Sicht interessiert ist: Was passiert mit dieser Linie, wenn eine Störung auf das System einwirkt.
In einem Phasenraum sind die “normalen” und stabilen Orbits immer die, die periodisch sind, sich also nach einer gewissen Zeit exakt wiederholen. Hier ist das System vorhersagbar. Wenn aber eine Störung auf das System einwirkt, dann werden diese periodischen Orbits zerstört und durch komplexere Orbits ersetzt, die nicht mehr periodisch sind. Das (sehr komplizierte) “KAM-Theorem” ist eines der grundlegenden Theoreme der Chaostheorie und beschreibt mathematisch genau, wie und unter welchen Umständen der Zerfall der periodischen Orbits abläuft. Und dabei zeigt sich, dass die Orbits umso resistenter gegen äußere Störungen sind, je schlechter sie approximierbar sind. Man kann das Verhältnis der Umlaufzeiten von Jupiter und Saturn zum Beispiel durch die Zahl 5/2 beschreiben. Fünf Umläufe des Jupiters um die Sonne entsprechen ziemlich genau zwei Umläufen des Saturns. Das bedeutet aber auch, dass alle 5 Jupiterjahre (bzw. alle 2 Saturnjahre) die beiden Planeten wieder genau in der gleichen Position zueinander stehen wie zuvor. Die gravitativen Störungen die zwischen ihnen wirken, können sich also in regelmäßigen Abständen aufschaukeln und verstärken. Das nennt man eine “Resonanz” (siehe hier für Details) und kann zu großen Bahnänderungen führen. Wären die Umlaufzeiten von Jupiter und Saturn schlechter durch eine Zahl approximierbar, dann wären auch die Auswirkungen der Störungen kleiner. Eine 5000/1999-Resonanz ist zum Beispiel deutlich schwächer als eine 5/2-Resonanz weil sich hier die Positionen der Planeten nur alle 5000 Jupiterjahre wiederholen.
Intakte und kaputte Phasenraumorbits
Und hier kommt nun der berühmte “Goldene Schnitt” ins Spiel. Diese Zahl ist von allen Zahlen am schlechtesten approximierbar (ich hab das hier sehr ausführlich erklärt). Deswegen findet man die Zahl des goldenen Schnitts (die ungefähr 1,618… entspricht) auch überall in der Natur.
Auch der bisher beschauliche Inseltatort und die bisher ziemlich eindeutige Mordtheorie wird nun langsam ein wenig gestört. Kommissarin Lorenz findet Hinweise auf einen früheren Frauenmord der nie zufriedenstellend aufgeklärt worden ist. Bei ihren Nachforschungen gerät sie an den örtlichen Kneipenwirt, der früher Kapitän war. Kein guter allerdings und weil er sein Schiff versenkt hatte, musste er sich ne Zeit lang am Festland verstecken. Dort traf er eine Bekannte von der Insel, die aber nicht so viel von ihm wollte wie er von ihr und am Ende damit drohte, den Verlust seines Kapitänpatents auf der Insel herum zu erzählen. Also hat er sie abgemurkst und weil das so schön geklappt hat, hat er das auch beim aktuellen Mordopfer gemacht. Denn bei ihr hatte er Schulden, die er nicht zurück zahlen wollte. Am Ende erschießt er sich mit einer Signalpistole an Bord seines Schiffes; Florian wird entlassen und alle sind zufrieden. Auf Langeoog herrscht wieder Ordnung! Aber das Chaos lauert überall…
Zur Abwechslung war das wieder mal ein ganz netter Tatort. Ein ausreichend spannender Fall; nicht zu viele Privatprobleme der Kommissare und keine der nervigen “Schaut euch an wie schlecht die Welt in Wahrheit ist”-Moralpredigten die den Drehbuchschreibern des Tatorts so zu gefallen scheint. Die dürfte nächsten Sonntag wieder auf uns warten, wenn es in Stuttgart um Sozialghettos, kriminelle Jugendliche und böse reiche Menschen geht. Aber auch das werden wir überstehen und bis es soweit ist verweise ich noch auf meine ausführliche Serie über Chaostheorie (Einleitung, Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4).
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