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Eine Mathematikprüfung aus dem Jahr 1959

Von / 26. November 2018 / 95 Kommentare
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Ein befreundeter Lehrer hat mir kürzlich die Beispiele der österreichischen Matura (=Abitur) aus dem Fach Mathematik gezeigt. Sie sind denen, die ich im Jahr 1995 bei meiner eigenen Matura lösen musste, gar nicht so unähnlich. Bis auf das erste Beispiel, das mich spontan doch vor ein paar Probleme stellt. Eigentlich ja nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannte. Aber irgendwie doch kniffliger als es aussieht… ich schwanke momentan noch, ob ich die Angabe überhaupt vernünftig verstanden habe!

matheabi59

Wer möchte, kann sich im Kommentarbereich gerne mal an einer Lösung versuchen 😉 Bin gespannt, ob die versammelte Leserschaft auf dem gleichen Niveau ist, wie es 1959 die Maturanten in Österreich gewesen sind (bzw. sein sollten).

Und wer Lust hat, kann selbstverständlich auch gerne die Aufgaben aus Englisch und Deutsch bearbeiten! Die besten Aufsätze zum Thema “Come to Austria and See Our Beautiful Country!” werde ich gerne als Gastbeitrag veröffentlichen 😉

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Kommentare (95)

  1. #1 Anderland
    26. November 2018

    Andere Frage: kann jemand etwas zu dem in der Deutsch-Aufgabe genannten I.Burnham sagen? Finde (am Handy) weder zu ihm noch zu dessen Zitat etwas im Internetz.

  3. #3 woha
    26. November 2018

    Lösung von Aufgabe 1:
    Die Reihe lautet: 2.5, 10, 40, 160, …
    Die Lösungen der Gleichungen sind: 100 und 10.

  4. #4 Beobachter
    26. November 2018

    @ Anderland:

    Ja, wenn es sich um James Burnham handelt, dann ist es vermutlich der, zu dem Thilo schon verlinkt hat.

    Und bei Wikipedia:

    https://de.wikipedia.org/wiki/James_Burnham

    Überhaupt ein interessantes Thema, jedenfalls für mich als Mathe-Greenhorn viel interessanter als die beiden Gleichungen … 😉

    Ist aber hier OT, ich weiß …

  5. #5 Robert
    München
    26. November 2018

    Bei Frage 1 frage ich mich, ob den Prüflingen klar war, dass x und y ganze Zahlen sein müssen. Dann ist sie recht einfach: da die Primfaktorzerlegung von 12=2*2*3 ist, ist klar, log x=2 und log y=1, während man die zweite Gleichung leicht in x*y=1000 (was dies überprüft) umschreiben kann. Oder ob die Erfahrung der SchülerInnen nahelegte, es zunächst ueber den ganzen Zahlen zu probieren, bevor man mit log-Umformungen anfängt.

  6. #6 Harald
    26. November 2018

    Also OK, ich komme auf die Reihe x1, x2, x3 … = 2.5, 10, 40, …

    Noch jemand?

  7. #7 Gudea
    26. November 2018

    Interessant, daß die Ösies 1959 noch lernen durften, daß die kaum gebildete Masse, der Pöbel, die Demokratie zu Fall bringt, wenn er sich ihr auch nur nähert.
    Vom Einfluß des Privateigentums an Produktionsmitteln ganz zu schweigen.
    Inzwischen ist es geschehen, er hat sie in Felix Austria erfolgreich zur Ochlokratie gewandelt.

  8. #8 JB
    26. November 2018

    Es gibt 2 Loesungen. Die oben schon genannte und
    x1=5/3, x2=-10, x3=60, …

  9. #9 Hawk
    26. November 2018

    Ich verstehe die Aufgabe 2 nicht. Ist der Raum innerhalb dieser Kugel nicht immer 4/3*Pi*512? Warum sollte sich das ändern, wenn sie in einen (ja, Akkusativ…) Becher gelegt wird?

    Gruß, Hawk

  10. #10 jere
    26. November 2018

    @ Hawk:

    Vermute mal stark, es geht um das volumen zwischen kugel und becher.

  11. #11 Hawk
    26. November 2018

    Das vermute ich natürlich auch. Aber wenn man bei einer Matura-Aufgabe vermuten muss, sollte diese Aufgabe ungültig sein (korrekte Grammatik wäre auch wünschenswert). Hier geht es immerhin nicht um irgendwas.
    Oder ist das so ein sprachliches Ding zwischen österreichischem Deutsch von 1959 und deutschem Deutsch von 2018? Sowas wie innerhalb == unterhalb?

    Gruß Hawk

  12. #12 RainerO
    26. November 2018

    Aufgabe 2 habe ich spontan so interpretiert, dass der Raum unterhalb der eingelegten Kugel gemeint ist. Sonst wäre das Drumherum mit dem Drehparaboloid ja nicht nötig. Formuliert ist die Aufgabe aber tatsächlich missverständlich.

  13. #13 Gudea
    26. November 2018

    #12 unverständlich, nicht mißverständlich.
    #11 faß Dich mal an die eigene Nase

  14. #14 RainerO
    26. November 2018

    @ Gudea
    Wenn man schon als Grammar Nazi auftritt, sollte man wenigstens die neue deutsche Rechtschreibung beherrschen.

  15. #15 hmueller
    26. November 2018

    zurück zur Aufgabe 1: mit x=100 und y=10 komme ich noch klar. Als die größere Wurzel sehe ich x^0,5=100^0,5=10 an
    Als die kleinere Wurzel aber eher y^0,5=(10^0,5). Das würde ich als Wert behalten. Lauten die Reihen dann nicht:
    0,25*10^0,5; 10^0,5; 4*10^0,5 und 1/6*10^0,5; -10^0,5; 6+10^0,5?
    oder habe ich da noch was übersehen?

  16. #16 Gudea
    26. November 2018

    #14
    Soll ich jetzt philosophisch oder sprachwissenschaftlich antworten? Oder aus der Sicht der Zivilisation?

  17. #17 hmueller
    26. November 2018

    Korrektur von #15
    Der letzte Wert muss selbstverständlich 6*10^0,5 heißen statt 6+10^0,5

  18. #18 RainerO
    26. November 2018

    @ Gudea
    Am besten ist, du antwortest gar nicht und behältst deine Gehirnwi****en für dich.
    Hier geht es um eine mathematische Aufgabenstellung und nicht um die Selbstdarstellung eines vermutlich pensionierten, verbitterten Germanisten (o.ä.), der seinen Frust, keine Schüler mehr quälen zu können, hier auslebt.

  19. #19 Karl-Heinz
    26. November 2018

    Ich würde euch bitten die Lösung für die geometrische Reihe in Beispiel 1, wie folgt anzugeben.

    a1+a1*q+a1*q^2+a1*q^3+…

    Wie groß ist a1 und q?
    Es ist durchaus möglich, dass für das Paar (a1,q) zwei Lösungen existieren.

    PS: Hat jemand von euch das Gleichungssystem (x,y) in Beispiel 1 rein analytisch, also ohne probieren, gelöst?

  20. #20 Reno M
    26. November 2018

    Heftiges Niveau damals, kein Vergleich zu den heutigen Multiple-Choice-Tests

  21. #21 hmueller
    26. November 2018

    Die reine analytische Lösung finde ich nicht (nur über die Primfaktorzerlegung der 12 siehe #5)
    Reihe 1: Summe=1/4*10^(1/2)+1/4*10^(1/2)*4+1/4*10^(1/2)*4^2+….
    A1=1/4*10^(1/2); q=4
    Reihe 2:
    Summe=1/6*10^(1/2)+1/6*10^(1/2)*(-6)+1/6*10^(1/2)*(-6)^2+…
    A1=1/6*10^(1/2); q=-6
    Immer unter der Voraussetzung ich habe die Aufgabe richtig interpretiert.

  22. #22 Karl-Heinz
    26. November 2018

    @hmueller
    Oh, danke für die Antwort.
    Da werde ich gleich mal die Probe machen.
    a1*a3=a1*a1*q^2 =10
    Lösung a) => (10/16)*16=10 ✔
    Lösung b) => (10/36)*36=10 ✔

    a2+a3= a1*q+ a1*q^2= a1*q*(1+q)=5*10^(1/2)
    Lösung a) 1/4*10^(1/2)*4*5=5*10^(1/2) ✔
    Lösung b) 1/6*10^(1/2)*(-6)*(-5)=5*10^(1/2) ✔

    Deine Lösung für die geometrische Reihe ist damit richtig. 😉

  23. #23 Jolly
    26. November 2018

    @ Karl-Heinz

    Für die erste angegeben Lösung gilt a = 0,625 (= 5/8); q = 4

    Für die von JB angegebene 2. Lösung a= 1,666… (=5/3); q = – 6

    PS: Ja

  24. #24 Karl-Heinz
    26. November 2018

    @Jolly
    q stimmt.
    a1 ist leider falsch. Teste es mal mit der Probe. 😉

  25. #25 Jolly
    26. November 2018

    @hmueller möchte noch eine Wurzel ziehen. Das wollte ich anfangs auch. Mittlerweile interpretiere ich das altösterreichische ‘Wurzel’ einfach als neudeutsch ‘Lösung’. Die kleinere Wurzel ist also entweder x oder y, je nachdem was kleiner ist.

    Generell vermute ich, dass es sich bei den Formulierungen auch weder um wortgetreue noch um vollständige Wiedergabe der gestellten Aufgaben handelt. Das wirkt für mich so, als wenn sich da einer versucht hat zu erinnern.

    PS.
    Für ausgeschlossen halte ich es sogar, dass die Aufgaben für die nächsten Tage den Schülern bereits vorab bekannt gemacht wurden und auf dem gleichen Zettel stehen, wie abgebildet.

  26. #26 Karl-Heinz
    26. November 2018

    @Jolly

    Nach mehreren Anläufen habe ich es auch geschafft die Gleichung analytisch zu lösen. 😉

  27. #27 alex
    26. November 2018

    @hmueller (#15):
    Die “Wurzel einer Gleichung” ist ein etwas altertümlicher Begriff für die Lösung einer Gleichung. D.h. die größere Wurzel ist x = 100, die kleinere y = 10. (Strenggenommen ist das eine ungenaue Formulierung. Das Gleichungssystem hat über den reellen Zahlen genau eine Lösung. Und diese Lösung hat zwei Komponenten.)

    Was eine analytische (oder vielleicht eher algebraische) Lösung des Gleichungssystems angeht: Wendet man auf beide Seiten der ersten Gleichung den Logarithmus an, so bekommt man zusammen mit der zweiten Gleichung ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Unbekannten log x und log y. Da die beiden Gleichungen linear unabhängig sind, hat dieses System genau eine Lösung. Wenn man die nicht direkt sieht, kann man sie zur Not auch mit einem der Standardverfahren bestimmen (Gauß-Algorithmus, Kramersche Regel, …). Jedenfalls bekommt man log x = 2, log y = 1.

    Alternativ kann man die zweite Gleichung nach log y umformen und in die erste Einsetzen. Mit ein bisschen Umformen ergibt das (2/3)^(log x) = (2/3)^2. Und da die Exponentialfunktion zur Basis 2/3 streng monoton ist, hat diese Gleichung genau eine Lösung log x = 2.

    Um x und y zu bestimmen muss man dann nur noch potenzieren. Vermutlich ist mit “log” hier der Logarithmus zur Basis 10 gemeint. (Das scheint die häufigste Definition zu sein; aber vor allem in der Zahlentheorie ist “log” auch oft der natürliche Logarithmus). Also x = 100 und y = 10.

  28. #28 PDP10
    26. November 2018

    @Reno M:

    Heftiges Niveau damals, kein Vergleich zu den heutigen Multiple-Choice-Tests

    Sieh’s mal so:

    Ohne die heute modernen Multiple-Choice-Tests hättest du deinen Hauptschulabschluss gar nicht geschafft.

  29. #29 Karl-Heinz
    26. November 2018

    @alex

    Das Gleichungssystem in Beispiel 1 ist kein lineares Gleichungssystem.

  30. #30 Jolly
    26. November 2018

    @Karl-Heinz

    Gut, wenn Du mich zwingst:

    Lösung 1)

    k0 = 5/8 * 4^0 = 0,625
    k1 = 5/8 * 4^1 = 2,5
    k2 = 5/8 * 4^2 = 10
    k3 = 5/8 * 4^3 = 40

    k1 * k3 = 2,5 * 40 = 100
    k2 + k3 = 10 + 40 = 50

    So weit so gut.

    Lösung 2)

    k0 = 5/3 * (- 6)^0 = 1,6667 (= 5/3)
    k1 = 5/3 * (- 6)^1 = -10
    k2 = 5/3 * (- 6)^2 = 60
    k3 = 5/3 * (- 6)^3 = -360

    Ich erkenne das Problem.

    Wenn man jetzt allerdings k0 als das erste Element ansieht, k1 als das zweite, usw., würde es wieder passen. Die Umnummerierung ergäbe:

    s1 * s3 (= k0 * k2) = 5/3 * 60 = 100
    s2 + s3 (= k1 + k2) = -10 + 60 = 50

    Geht doch.

    So hatte ich das auch zunächst geprobt. Beim einen so, beim anderen so. Was nicht passt, wird passend gemacht. Wer weiß schon, was gemeint war?

    Obwohl Deutsch ja erst übermorgen dran ist: Sprache ist in erster Linie nicht miß- oder missverständlich, sie ist nur stets ambig. Man sollte versuchen, das für sich zu nutzen, oder?

  31. #31 alex
    26. November 2018

    @Karl-Heinz:
    Bitte nochmal meinen Kommentar lesen.

  32. #32 Karl-Heinz
    26. November 2018

    @Jolly

    Ich bin dafür, dass man dem Autor des ersten Beispiels die Ohren langzieht. 😉

  33. #33 Jolly
    27. November 2018

    @Karl-Heinz

    Man könnte für Lösung 2 natürlich auch mal richtig rechnen und den korrekten Faktor angeben, z.B. a = – 5/18 (ich meine ja nur, also wenn man nicht so gut argumentieren kann)

    k0 = -5/18 * (- 6)^0 = -0,2778
    k1 = -5/18 * (- 6)^1 = 1,6667 (=5/3)
    k2 = -5/18 * (- 6)^2 = -10
    k3 = -5/18 * (- 6)^3 = 60

    Ich meine mittlerweile zu verstehen, wo die Wurzel allen Übels herkommt: es ist die Wurzel und das Ziehen derselben.

  34. #34 Karl Mistelberger
    27. November 2018

    > das erste Beispiel, das mich spontan doch vor ein paar Probleme stellt. Eigentlich ja nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannte. Aber irgendwie doch kniffliger als es aussieht…

    Es sieht kniffliger aus als es ist. Der Logarithmus ist eine Nebelkerze. Mit X = log x und Y = log y ergibt sich:

    2^X * 3^Y = 12
    X + Y = 3

    > ich schwanke momentan noch, ob ich die Angabe überhaupt vernünftig verstanden habe!

    Spielraum für das Verstehen gibt es gar keinen.

  35. #35 Karl-Heinz
    27. November 2018

    @Karl Mistelberger

    2^X * 3^Y = 12
    X + Y = 3

    Sehr schön. Und wie geht’s dann weiter? 😉

  36. #36 Karl-Heinz
    27. November 2018

    @Karl Mistelberger
    Nachtrag.
    Ich meinte jetzt, dass man die Lösung ohne Probieren findet. Wenn das Probieren erlaubt sein sollte, ist es ein sehr guter Ansatz. 😉

  37. #37 hmueller
    27. November 2018

    @ Alex #27

    Die analytische Lösung ist mit dem einsetzen kein Problem da brauchte ich nur etwas Zeit zum nachdenken. Dein erster Vorschlag mit der Logarithmusfunktion ist mit der Summe in Gleichung 1 nicht so einfach wie du behauptest.

    Und das mit dem altdeutschen mit Wurzel für Lösung war mir unbekannt… bin halt noch nicht annähernd so alt wie die Aufgabe.

  38. #38 Karl-Heinz
    27. November 2018

    Mit X = log x und Y = log y ergibt sich:
    2^X * 3^Y = 12
    X + Y = 3

    Ich muss natürlich dazusagen, dass durch die Substituierung (siehe Karl Mistelberger #34) von x durch X und y durch Y die Gleichung sehr viel anschaulicher wird. So kann man im Kopf X mit 2 und Y mit 1 bestimmen.
    Daraus folgt das x=100 und y=10 ist. Was man sich aber dennoch überlegen muss ist, ob diese durch Probieren gefundene Lösung eindeutig ist. Ich würde wie folg argumentieren. In der X-Y Ebene schneidet eine Gerade eine (streng) monotone Funktion. Die gefundene Lösung ist eindeutig. Auch die Umkehrfunktion für die Rücksubstitution ist eindeutig (streng monoton). Damit gibt es nur eine Lösung für das Gleichungssystem mit x=100, y=10

  39. #39 Leser
    27. November 2018

    @ Karl-Heinz

    “Damit gibt es nur eine Lösung für das Gleichungssystem mit x=100, y=10”

    Also, wenn probieren erlaubt ist, gibt es meines Erachtens noch mehr einfache Lösungen des Gleichungssystems z.B.:

    X=1 und Y=2 bzw. x=10 und y=100

    Daß muß ja auch sein, wenn eine Reihe definiert werden soll. Sehr anspruchsvolle Mathematikaufgaben !

  40. #40 Karl-Heinz
    27. November 2018

    @Leser
    Wenn X=1 und Y=2 dann erfüllt die Lösung nicht die Bedingung in Gleichung I: 2^X * 3^Y = 12.

    2^X * 3^Y = 2*9 =18 ≠ 12.
    Daher ist X=1 und Y=2 keine Lösung!

  41. #41 Leser
    27. November 2018

    @ Karl-Heinz

    Entschuldigung. Mein Kaffee war noch nicht alle, und da habe ich irgend wie schief geschaut. Dein Einwand stimmt natürlich.

  42. #42 Karl-Heinz
    27. November 2018

    @Leser

    Versuch doch mal dieses Gleichungssystem rein durch Umformung zu lösen. Viel Spaß dabei. 😉

  43. #43 alex
    27. November 2018

    @hmueller:

    Dein erster Vorschlag mit der Logarithmusfunktion ist mit der Summe in Gleichung 1 nicht so einfach wie du behauptest.

    Doch, ist er. log(a b) = log a + log b sollte jedem Abiturienten bekannt sein.

  44. #44 Rene Grothmann
    Eichstätt
    27. November 2018

    Soviel steht fest: Die Aufgabe wären heute juristisch anzufechten.

    Zu 1:

    Die Lösung soll man wahrscheinlich im Kopf finden, also (angenommen log ist der dekadische Logarithmus) x=100 und y=10. Anonsten logarithmiert man die erste Gleichung und löst das lineare System. Es ist dann noch eine echte Herausforderung, die Lösung zu finden. Übrigens ist der Punkt kein Malpunkt.

    Die Glieder einer geometrischen Reihe heißen vermutlich per Vereinbarung k, kp, kp^2, kp^3 etc. Dann ist die Lösung p=4 und k=10/4 relativ leicht zu ermitteln. Kann aber auch sein, dass die Reihe irgendwie anders heißt. Klar ist das jedenfalls nicht.

    Zu 2:

    Das macht gar keinen Sinn (abgesehen von der Grammatik). Es ist vermutlich “unterhalb” gemeint. Dann ist das eine lösbare, aber üble Rechnerei. Ich keinen keinen Trick dafür.

    Zu 3:

    Eine Standardaufgabe der Trigonometrie, die vermutlich ähnlich geübt wurde, allerdings wieder verquer formuliert.

    Zu 4:

    Das ist ausnahmsweise mal nicht so schwer, wenn man gut rechnen kann und die Aufgabe verstanden hat.

  45. #45 schlappohr
    27. November 2018

    Ich gebe zu, dass ich keine dieser Aufgaben so wirklich auf Anhieb lösen könnte. Liegt vermutlich auch daran, dass mir Logarithmusgesetze und geometrische Reihen in den letzten Jahren nur relativ selten begegnet sind.
    Wenn ich an mein Mathe-Abitur denke (LK, 1990, Rheinland-Pfalz), dann erinnere ich mich an Integrale über gebrochen rationale Funktionen, an einfache Differentialgleichungen, Lineare Algebra (Hesse’sche Normalform usw) und komplexe Zahlen. Vielleicht täusche ich mich, aber ich habe den Eindruck, dass die Anforderungen seit den 50ern doch irgendwie gestiegen sind. Stimmt das, oder ist das ein subjektiver Eindruck von mir? Keine Ahnung, wie das heute aussieht.

  46. #46 Lutz Donnerhacke
    Jena
    27. November 2018

    Für Frage 2 hier mal ein hilfreiches Bild

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%5B+x%5E2+%3D+8+y+,+(y-10)%C2%B2+%2B+x%C2%B2+%3D+64+%5D

  47. #47 alex
    27. November 2018

    @Rene Grothmann:

    Zu 2: […] Dann ist das eine lösbare, aber üble Rechnerei.

    Wirklich? “Üble Rechnerei” ist das meiner Ansicht nach wirklich nicht. Zuerst muss man bestimmen, wo der Mittelpunkt der Kugel liegt. Aus Symmetriegründen ist klar, dass er auf der Achse des Paraboloids liegt. Und die Bedingung, dass sich Kugel und Paraboloid berühren, führt dann schnell auf zwei ziemlich einfache Gleichungen (der Abstand eines Punktes P der Parabel zu einem Punkt Q auf der y-Achse ist gleich r, und der Tangentialvektor an die Parabel in diesem Punkt ist orthogonal zum Vektor von P nach Q). Es sollte für einen Abiturienten kein Problem sein, diese beiden Gleichungen zu lösen. Und dann kann man das Volumen mit einem nicht besonders schwierigen Integral bestimmen.

    @schlappohr:
    Diesen Eindruck habe ich auch. Ich habe vor gut 15 Jahren in BW Abitur gemacht, und wenn ich mich richtig erinnere waren die Aufgaben da deutlich schwieriger und man hat “mehr Mathematik” gebraucht.

  48. #48 Fluffy
    27. November 2018

    Durch Logarithmieren beider Seiten der ersten Gleichung erhält man ein lineares Gleichungssystem:
    siehe schon in #27 von Alex

    Was eine analytische (oder vielleicht eher algebraische) Lösung des Gleichungssystems angeht: Wendet man auf beide Seiten der ersten Gleichung den Logarithmus an, so bekommt man zusammen mit der zweiten Gleichung ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Unbekannten log x und log y.

    Man verwendet also
    ln(a*b) = ln(a)*log(b)
    Aber jetzt:
    a = -1 && b=-1
    ln( (-1)*(-1) ) = ln(-1) +ln(-1) = 2*ln(-1) = ln(1) =0
    also: ln(-1) = 0; nach Exponieren
    Exp[ ln(-1)] = Exp[0]
    -1 = 0
    ? ? ?

  49. #49 alex
    27. November 2018

    @Fluffy:
    Wie so oft ist es auch hier wichtig zu beachten, ob die “Rechenregeln” die man anwenden will auch tatsächlich anwendbar sind. log (a b) = log a + log b gilt in den reellen Zahlen immer dann wenn beide Seiten definiert sind. In anderen algebraischen Strukturen ist das nicht notwendigerweise der Fall. Und z.B. in den komplexen Zahlen müsste man auch noch erwähnen, welche Zweige des komplexen Logarithmus gemeint sind.

    Im Aufgabentext wird nicht erwähnt, in welcher algebraischen Struktur zu rechnen ist. Deshalb ist es meiner Ansicht nach plausibel, von den reellen Zahlen auszugehen. (Die komplexen Zahlen sind schon allein deshalb ausgeschlossen, weil von einer “größeren” und einer “kleineren” Wurzel die Rede ist, und die komplexen Zahlen bekanntlich kein geordneter Körper sind.)

  50. #50 Karl-Heinz
    27. November 2018

    @Fluffy

    Man verwendet also
    ln(a*b) = ln(a)*log(b)
    Aber jetzt:
    a = -1 && b=-1
    ln( (-1)*(-1) ) = ln(-1) +ln(-1) = 2*ln(-1) = ln(1) =0
    also: ln(-1) = 0; nach Exponieren
    Exp[ ln(-1)] = Exp[0]
    -1 = 0
    ? ? ?

    Hi Fluffy was machst denn da?
    1) ln(a*b) = ln(a)+ln(b)
    2) ln(a/b) = ln(a)-ln(b)
    3) ein Logarithmus über einen negativen Wert ist nicht definiert!

  51. #51 alex
    27. November 2018

    @Karl-Heinz:

    ein Logarithmus über einen negativen Wert ist nicht definiert!

    So allgemein stimmt das natürlich auch nicht.

  52. #52 Karl-Heinz
    27. November 2018

    @alex

    Der Definitionsbereich umfasst nur die positiven reellen Zahlen. Dies hängt mit der Definition des Logarithmus zusammen, der über die folgende Beziehung definiert ist.
    log_{b}x =y \Leftrightarrow b^y=x

    Es kann sein, dass du den Wertebereich mit dem Definitionsbereich verwechselst. 😉

  53. #53 alex
    27. November 2018

    @Karl-Heinz:
    In den komplexen Zahlen lässt sich ein sinnvoller Logarithmus für alle Zahlen außer 0 definieren. Aber der ist dann wegen der Periodizität der e-Funktion nicht mehr eindeutig. Eine häufig verwendete Definition hat ln(-1) = i π. Aber dann gilt ln(a b) = ln a + ln b im Allgemeinen nur noch modulo 2 π i (und das löst Fluffys “Widerspruch”).

    Es kann sein, dass du den Wertebereich mit dem Definitionsbereich verwechselst.

    Vielleicht solltest du ein bisschen weniger arrogant sein. Es ist ziemlich offensichtlich, dass dein mathematisches Wissen recht beschränkt ist.

  54. #54 Karl-Heinz
    27. November 2018

    @alex

    Sorry ich wusste nicht, dass ihr schon im komplexen Zahlenbereich operiert.
    Lieber alex, dann löse mal Fluffys “Widerspruch” mathematisch sauber auf. 😉

    n( (-1)*(-1) ) = ln(-1) +ln(-1) = 2*ln(-1) = ln(1) =0
    also: ln(-1) = 0; nach Exponieren
    Exp[ ln(-1)] = Exp[0]
    -1 = 0
    ? ? ?

  55. #55 alex
    27. November 2018

    @Karl-Heinz:

    Sorry ich wusste nicht, dass ihr schon im komplexen Zahlenbereich operiert.

    Siehe meinen Kommentar #49.

    Lieber alex, dann löse mal Fluffys “Widerspruch” mathematisch sauber auf.

    Wie ich bereits in Kommentar #53 sagte, gilt im Komplexen ln(a b) = ln a + ln b nur noch modulo 2 π i. Wenn man z.B. eine Logarithmusfunktion verwendet, für die ln(-1) = i π und ln(1) = 0 ist, dann ist ln(-1) + ln(-1) = 2 π i und das ist modulo 2 π i das selbe wie ln(1) = 0.

    Wie groß die Differenz zwischen ln(a b) und ln a + ln b genau ist (also welches ganzzahlige Vielfache von 2 π i es ist), hängt davon ab, wie man den ln definiert und um welche Zahlen a und b es sich handelt.

  56. #56 Markus
    Graz
    27. November 2018

    Also ich komme auf x = 100 und y = 10 und dann auf eine geometrische Reihe a + ab + ab^2 + ab^3 … mit a = 5/2 und b = 4.

    Das Gleichungssystem geht easy zu lösen, wenn man eine Transformation u = lg(x) und v = lg(y) einführt.

  57. #57 Jolly
    27. November 2018

    @Fluffy

    Exp[ ln(-1)] = Exp[0]
    -1 = 0
    ? ? ?

    Ein Fragezeichen kann auch ich lösen: Exp[0] ist in der Regel nicht 0 (Ausnahmen lassen sich sicher in ein paar Matheprüfungen und gelegentlich im Internet finden)

  58. #58 Bbr1960
    29. November 2018

    @Alex, #47. Ich glaube nicht, dass das der Lösungsweg ist, den man von Schülern erwartet. Es gab ja damals auch noch keine Mathe-Leistungskurse.

    Die Gleichungen im Beitrag darüber zeigen eigentlich den Lösungsweg:

    Gleichung des Kreises um den Punkt (0,a):

    X^2+(y-a)^2=64
    Da setzt man x^2 aus der anderen Gleichung ein. Dann hat man eine quadratische Gleichung in y. Damit sich die beiden Kurven berühren, muss diese Gleichung genau eine Lösung haben. Das hat sie, wenn die Determinante 0 ist. Damit bekommt man a=10.

    Außerdem gehe ich von aus, dass den Schülern die Formeln für das Volumen eines Kugelsegments und eines Rotationsparaboloiden aus dem Unterricht bekannt waren. Sie mussten also keine Volumenintegrale berechnen, das wäre dann doch etwas heftig gewesen.

  59. #59 Rene Grothmann
    29. November 2018

    Das ist eine gute Lösung! Der Trick könnte in der Tat bekannt sein. Damals gab es schließlich noch kein Zentralabitur (oder doch?).

  60. #60 Jolly
    29. November 2018

    @alex

    Zur zweiten Aufgabe.

    Es sollte für einen Abiturienten kein Problem sein, diese beiden Gleichungen zu lösen.

    Na ja, da wir von 3 Unbekannten ausgehen müssen, reichen 2 Gleichungen ja erst mal nicht. Also ein bisschen mehr war da schon zu rechnen. (Oder hattest Du P schon genau bestimmt? Wenn ja wie?)

    Gesucht für die Punkte P und Q sind m, x und y.
    P( 0; m)
    Q( x; y)

    x² = 8y
    x²+(m-y)² = 64
    y = -4 + m

    Und dann kann man das Volumen mit einem nicht besonders schwierigen Integral bestimmen.

    Hier würde ich mal auf eine Formelsammlung tippen, die benutzt werden durfte. Dass Abiturienten dann eine Differenz aus den Volumen von Rotationsparaboloid und Kugelsegment bestimmen können, darf man hoffen.

    @Lutz Donnerhacke

    Danke für den Plot.

    Von wegen, früher, also vor WolframAlpha, wäre alles besser gewesen.

    @Bbr1960

    Dass mit der Determinante ist natürlich auch schlau. (Was ist eine Determinante?)

  61. #61 Karl-Heinz
    29. November 2018

    @Bbr1960

    Komisch …
    Kommt die Determinante nicht bei linearen Gleichungssystemen vor? In unserem Fall ist das Gleichungssystem in Beispiel 2 aber nicht linear.
    Außerdem habe ich noch in Erinnerung, dass das lineare Gleichungssystem genau dann eine einzige Lösung besitzt, wenn die Determinante ≠ 0 ist.

  62. #62 alex
    29. November 2018

    @Bbr1960:

    Ich glaube nicht, dass das der Lösungsweg ist, den man von Schülern erwartet. Es gab ja damals auch noch keine Mathe-Leistungskurse.

    Naja, wenn mich Google und Wikipedia nicht fehlgeleitet haben, gibt es auch heute in Österreich keine Leistungskurse in Mathematik (oder anderen Fächern). Aber für den von mir skizzierten Lösungsweg braucht man auch keinen Mathe-LK. Infinitesimalrechnung sollte auch im GK gelehrt werden. Und wenn ich mich an meine Schulzeit richtig erinnere, hatten wir zumindest Ableitungen auch schon vor der Kursstufe (und laut dem aktuellen Bildungsplan aus BW ist das auch immer noch so).

    Die Lösung über die Diskriminante (nicht Determinante) ist auch sehr schön. Aber ich weiß nicht, ob ich im “Eifer des Gefechts” einer Prüfung auf die Idee gekommen wäre. Klar, das hängt alles davon ab, wie (und ob) derartige Probleme im Unterricht behandelt wurden.

    Außerdem gehe ich von aus, dass den Schülern die Formeln für das Volumen eines Kugelsegments und eines Rotationsparaboloiden aus dem Unterricht bekannt waren. Sie mussten also keine Volumenintegrale berechnen, das wäre dann doch etwas heftig gewesen.

    Hm. Auch das hängt wohl davon ab, worauf im Unterricht Wert gelegt wurde. Eine Methode zur Berechnung der Volumina von Rotationskörpern mittels Integration wurde bei uns gelehrt (ist ja auch nicht schwer wenn man integrieren kann). Und die Kenntnis einer solchen allgemeinen Methode halte ich persönlich für wichtiger als das Auswendiglernen von Formeln für viele Spezialfälle. Aus dem Stehgreif könnte ich dir beispielsweise weder das Volumen eines Kugelsegments noch das eines Rotationsparaboloids nennen. Aber ich hätte keine Schwierigkeiten diese Formeln herzuleiten.

    Mir ging es in Kommentar #47 auch nur darum, Rene Grothmanns “üble[r] Rechnerei” zu widersprechen. Mein Lösungsweg mag ein wenig technischer sein als deiner (aber dafür IMHO einfacher zu sehen), aber auch er ist meiner Meinung nach keine “üble Rechnerei”.

    @Jolly:

    Na ja, da wir von 3 Unbekannten ausgehen müssen, reichen 2 Gleichungen ja erst mal nicht.

    Den Zusammenhang zwischen x- und y-Koordinate des Berührpunkts habe ich als implizit gegeben angesehen. Daher nur zwei Unbekannte und zwei Gleichungen.

  63. #63 Daniel Rehbein
    Dortmund
    29. November 2018

    Ich verstehe die Ausgabe 1 nicht. Was ist denn gemeint mit “größere Wurzel der Gleichungen”? Wie kann ich denn aus einer Gleichung eine Wurzel ziehen?

    Um zu den zwei Gleichungen zwei Wurzeln zu erhalten, müsste ich ja eine Funktion “Wurzel” definieren, die von der Menge aller Gleichungen zu irgendeiner Zielmenge geht. Ich müsste also erst mal die Menge aller Gleichungen als mathematischen Raum definieren. Für die Mengendefinition ist die wesentliche Frage: Wann sind zwei Gleichungen verschieden und wann sind sie identisch?

    Eine Gleichung kann ja lediglich zwei Werte haben: “wahr” oder “falsch”. Alle falschen Gleichungen lassen sich über Äquivalenzumformungen ineinander umwandeln, alle wahren Gleichungen ebenso. Also besteht die Menge aller Gleichungen nur aus zwei Elementen, den Werten “wahr” und “falsch”. Das sind aber beides keine Objekte, zu denen es eine allgemein anerkannte Definition einer “Wurzel” genannten Funktion gibt.

    In diesem Fall hängt der Wert der Gleichungen (“wahr” bzw. “falsch”) dann auch noch von der Wahl der Variablen x und y ab. Über diese beiden Variablen wird aber gar nichts ausgesagt.

    Man könnte natürlich die beiden Gleichungen auch als Funktionen ansehen, die abhängig von den Werten x und y jeweils das Ergebnis “wahr” oder “falsch” liefern. Dann müsste “Wurzel” irgendetwas sein, was auf dem Raum aller Funktionen mit zwei Argumenten und der Zielmenge {wahr,falsch} definiert ist. Aber das bringt mich auch nicht weiter. Was soll die Wurzel einer Funktion sein?

    Im zweiten Teil der Aufgabe 1 geht es dann nicht mehr um Wurzeln der Gleichungen, sondern um die Wurzeln des ganzen Gleichungssystems. Wie kann ich denn einem Gleichungssystem Wurzeln zuordnen? Und wieso dann gleich mehrere? Es wird ja von “kleinerer Wurzel” gesprochen, demnach müsste es mehrere Wurzeln des Gleichungssystems geben, und diese Wurzeln müssten einer Ordnungsrelation unterliegen.

    Selbst, wenn ich eine sinnvolle Definition finde, was die Funktion “Wurzel” auf einem Gleichungssystem sein soll, so würde sie doch nur ein Ergebnis liefern, sonst wäre sie nicht wohldefiniert, oder?

    Die anderen Kommentare lassen darauf schließen, daß alle anderen sich unter dem Begriff “Wurzel einer Gleichung” oder “Wurzeln eines Gleichungssystems” irgendetwas vorstellen, und das wohl aus selbstverständnis annehmen. Was ist das?

  64. #64 alex
    29. November 2018

    @Daniel Rehbein:

    Die anderen Kommentare lassen darauf schließen, daß alle anderen sich unter dem Begriff “Wurzel einer Gleichung” oder “Wurzeln eines Gleichungssystems” irgendetwas vorstellen, und das wohl aus selbstverständnis annehmen. Was ist das?

    Die Lösung(en) der Gleichung bzw. des Gleichungssystems. Siehe z.B. die Kommentare #25 und #27.

    Im Englischen hat sich diese Bedeutung ja gehalten. Dort bedeutet “root” neben der Quadrat-(Kubik-, etc.)-wurzel einer Zahl auch die Lösung einer Gleichung und sogar die Nullstelle einer Funktion.

    Und es würde mich nicht wundern, wenn “Lösung einer Gleichung” die ursprüngliche Bedeutung von “Wurzel” in der Mathematik gewesen wäre. Die Quadratwurzel einer reellen Zahl a wäre dann die Wurzel der Gleichung x² = a.

  65. #65 Karl-Heinz
    29. November 2018

    Die Formulierung der Aufgabenstellung in Beispiel 1 ist etwas unglücklich gewählt.
    Gemeint ist, dass man das Gleichungssystem zuerst lösen soll. Als Lösung herhält man x=100 und y=10. 100 wäre dann der grösserer Wert und 10 der kleinerer Wert. Weiter gerechnet wird dann mit √(100)=10 und √(10)

  66. #66 Karl-Heinz
    30. November 2018

    @Bbr1960

    Gleichung des Kreises um den Punkt (0,a):

    X^2+(y-a)^2=64
    Da setzt man x^2 aus der anderen Gleichung ein. Dann hat man eine quadratische Gleichung in y. Damit sich die beiden Kurven berühren, muss diese Gleichung genau eine Lösung haben. Das hat sie, wenn die Determinante Diskriminante 0 ist. Damit bekommt man a=10.

    Dieser Ansatz funktioniert leider nicht. Genau eine Lösung bedeutet, dass der Kreis im Ursprung um seinen Radius nach unten rutscht. Genau dann und nur dann gibt es eine Lösung, nämlich den Schnitt oder besser den Berührungspunkt im Ursprung zwischen Parabel und Kreis. 😉

  67. #67 Karl-Heinz
    30. November 2018

    @Bbr1960

    Hier die Position des Kreises, wenn Diskriminante 0 ist. Gib es zu, du hast gedacht a könnte 10 sein, ohne dass du selber gerechnet hast. 😉

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%5B+x%5E2+%3D+8+y+,+(y%2B8)²+%2B+x²+%3D+64+%5D

  68. #68 alex
    30. November 2018

    @Karl-Heinz:

    Weiter gerechnet wird dann mit √(100)=10 und √(10)

    Nein.

    Genau eine Lösung bedeutet, dass der Kreis im Ursprung um seinen Radius nach unten rutscht. Genau dann und nur dann gibt es eine Lösung, nämlich den Schnitt oder besser den Berührungspunkt im Ursprung zwischen Parabel und Kreis.

    Nein. Man ersetzt x² durch 8y. Jede Lösung y ungleich 0 der Gleichung die man so erhält (also 8y + (y-a)²=64) entspricht dann zwei Punkten in der Ebene, nämlich (√(y/8), y) und (-√(y/8), y).

    Wenn man also zwei unterschiedliche Lösungen für y findet und beide ungleich 0 sind, dann haben Kreis und Parabel vier Punkte gemeinsam. Dann können sie sich nicht berühren. Das ist anschaulich klar, aber das zu beweisen ist nicht ganz trivial.

    Wenn man zwei unterschiedliche Lösungen für y findet und eine davon gleich 0 ist, dann haben Kreis und Parabel drei Punkte gemeinsam. Auch dann können sie sich nicht berühren.

    Wenn man genau eine Lösung für y findet und diese Lösung ungleich 0 ist, dann haben Kreis und Parabel zwei Punkte gemeinsam, und diese Punkte liegen symmetrisch zur y-Achse. Dass sie sich in diesem Fall tatsächlich berühren ist wieder anschaulich klar, aber nicht ganz trivial zu beweisen.

    Und wenn man genau eine Lösung für y findet und diese gleich 0 ist (was nicht der Fall ist), dann würde die Kugel auf den Boden des Bechers fallen. D.h. dann gäbe es keinen unterhalb der Kugel frei bleibenden Raum und die Aufgabe wäre nicht sinnvoll.

    Hier die Position des Kreises, wenn Diskriminante 0 ist.

    Da hast du dich wohl verrechnet. Die Diskriminante der Gleichung ist 320 – 32 a.

  69. #69 Karl-Heinz
    30. November 2018

    @alex

    Zu Beispiel 2.
    Du hast recht. Ich hatte ganz übersehen, dass man sich schon überlegen sollte, von welcher Lösung man eigentlich spricht. Es gibt die
    • Punktlösung P(x,y)
    • y-Lösung
    • x-Lösung
    • a-Lösung

    Mein Fehler war, dass ich bei der Gleichung 8y + (y-a)²=64 die a-Lösung statt der y-Lösung ermittelt habe und im gleichen Atemzug mit der Punktlösung P(x,y) argumentiert habe.

    @alex: Danke für den Hinweis
    @Bbr1960: toller Anzatz die Diskriminante für die y-Lösung auf 0 zu setzen. Damit ergibt sich a =10.

  70. #70 Jolly
    30. November 2018

    @alex

    Dass sie sich in diesem Fall [genau eine Lösung für y] tatsächlich berühren ist wieder anschaulich klar, aber nicht ganz trivial zu beweisen.

    Es sollte reichen, die ersten Ableitungen beider Funktionen zu bilden, und zu schauen, ob die am ermittelten Punkt gleich sind.

    Das Gleichsetzen der Ableitungen war mein erster Gedanke um überhaupt auf die Lösung zu kommen. Mit der Kreisgleichung sah mir das aber nach “übler Rechnerei” aus. Dann kam dein Tipp mit der Steigung, was die Gleichungen doch übersichtlicher gestaltet. Die Überlegung von @Bbr1960 bezüglich der Diskriminante vereinfacht die Rechnung noch weiter.

    Da wir nun doch wieder bei der Ableitung desselben gelandet sind, schließt sich für mich hiermit der Kreis.

  71. #71 Jolly
    30. November 2018

    Zur ersten Aufgabe treibt mich noch etwas um, und zu:

    Spielraum für das Verstehen gibt es gar keinen.
    (@Karl Mistelberger)

    Das Glied a₁ einer Reihe, also das mit dem Index 1, ist das wirklich schon das zweite Glied der Reihe?

    Vergleiche einerseits:
    “Das Objekt mit der Nummer i, man sagt hier auch: mit dem Index i, wird i-tes Glied oder i-te Komponente der Folge genannt.” (Wikipedia)

    Andererseits habe ich dort nirgends gelesen, was daraus folgen würde, dass a₀ als nulltes Glied bezeichnet wird. – Würde ich aber so machen.

  72. #72 alex
    30. November 2018

    @Jolly (#70):
    Naja, es handelt sich hier ja nur um eine Matura-Prüfung. Ganz perfekt muss die Lösung deshalb nicht sein und der Beweis ist vermutlich nicht erwartet worden.

    @Jolly (#71):
    Ich gehe davon aus, dass sich der Aufgabentext hier auf Bezeichnungen bezieht, die im Unterricht eingeführt wurden. Z.B. ob hier tatsächlich das gesucht ist, was man heute in der Mathematik unter einer Reihe versteht (d.h. eine Summe über die Glieder einer Folge bzw. die Partialsummenfolge einer solchen Summe), oder vielleicht doch nur eine Folge. Und ob man die Folgenindizes bei 0 oder bei 1 starten lässt, spielt ja letztlich keine Rolle.

  73. #73 Jolly
    30. November 2018

    Kommen wir zu Aufgabe 3.

    Ich rate mal, der Obelisk ist 10 m hoch.

  74. #74 Karl-Heinz
    30. November 2018

    Bestimmung der Lage vom Kreis
    und den Berührungspunkten zwischen Parabel und Kreis im Beispiel 2

    Die Kugel kommt im Paraboloid zu liegen. Dort wo sich Paraboloid und Kugel berühren sind die lokalen Ebenen gleich. Das führt zu der Idee die Steigung der Kurven zu ermitteln und die Ableitung der beiden Funktionen gleich zu setzten.
    (I): x² = 8y (Parabel)
    (II) : x²+(y-a)²=64 (Kreisgleichung)
    1-te Ableitung der Gleichungen nach x
    (I’): 2x=8y’ => x=4y’ => y’=x/4
    (II’): 2x+2(y-a)y’=0 => x+(y-a)y’=0 => y’=x/(a-y)
    Die Ableitungen y’_Parabel = y’_Kugel
    damit erhält man die Gleichung (III): x/4=x/(a-y) => 4=a-y
    Wir ersetzen y-a in Gleichung (II) durch 4
    x²+16=64 => x²=48
    Wir ersetzen x² in Gleichung (I) durch 48
    48=8y => y=6
    Wir berechnen a in Gleichung (III)
    4=a-6 => a=10
    Lösung:
    Parabel und Kreis berühren sich im Punkt S(x=±√(48), y=6)
    Der Kreis ist vom Zentrum um a=10 noch oben verschoben.

    PS: Das ist eine sehr elegante Methode um die Schüler als Deppen hinzustellen, die einfach zu kompliziert denken. 😉

  75. #75 Karl-Heinz
    30. November 2018

    @Jolly

    Was meint der ulkige Mathe Professor im Beispiel 3?
    Ich würde das mal so interpretieren.
    Auf einem Abhang steht ein Obelisk. Vom Fußpunkt des Obelisk gehe ich 7,6 Meter den Abhang hinunter und messe den Winkel α. zwischen Horizont und Spitze des Obelisken. Dann gehe ich 6 Meter weiter den Abhang hinunter und messe den Winkel β nach dem gleichen Verfahren.
    Habe ich das so richtig verstanden?

  76. #76 Rene Grothmann
    30. November 2018

    Hast du richtig verstanden. Gibt nur so einen Sinn. Der Obelisk erscheint weiter weg in einem kleineren Winkel. In dem zweiten Dreick (mit einer Seite 6m) kann man desn Sinussatz anwenden, und dann im ersten (mit einer Seite 7.6m) den Kosinussatz.

  77. #77 alex
    30. November 2018

    @Karl-Heinz(#74):
    Herzlichen Glückwunsch. Das ist bis auf eine unwesentliche Kleinigkeit (und die unnötige Beleidigung am Schluss) genau der Lösungsweg, den ich in Kommentar #47 skizziert habe.

    @Karl-Heinz(#75):
    Laut Aufgabenstellung ist α der Winkel zwischen der Strecke zwischen Fußpunkt des Obelisken und dem Punkt 7.6m den Abhang hinunter, und der Linie von diesem Punkt zur Spitze des Obelisken. Vom Horizont ist nie die Rede.

  78. #78 Jolly
    30. November 2018

    @alex

    eine unwesentliche Kleinigkeit

    Na ja. Zumindest ich bin auf die 3. Gleichung gekommen, nachdem ich deine #47 gelesen hatte, indem ich die x² = 8y abgeleitet habe, dann die orthogonale Steigung (noch von x abhängig) durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit -1 ermittelt habe. Das x kürzt sich dann beim Einsetzen in die Geradengleichung y = (-4/x) x + m.

    Nach meinem Empfinden ist das schon etwas wesentlich anderes als auch die Kreisgleichung abzuleiten mittels Kettenregel, in dieser Form, bei der (a-y) passend stehenbleibt, und dann die zwei Ableitungen gleichzusetzen. Von daher bin ich @Karl-Heinz dankbar (Dir sowieso), dass er das nochmal auf diese Art demonstriert hat.

    Dass dann am Ende das Selbe rauskommt, durfte erwartet werden. Alle Wege führen zur Wurzel.

  79. #79 Karl-Heinz
    1. Dezember 2018

    @alex

    Hast du Beispiel 3 schon gerechnet?
    Höhe des Obelisken?
    Hangneigung?
    Habe es versucht zu rechnen, aber irgendwo ist noch ein Fisch drinnen. 😉

  80. #80 alex
    1. Dezember 2018

    @Jolly:
    Etwas ausführlicher hätte dieser Teil meiner Rechnung in etwa so ausgesehen:

    Die Tangente an die Parabel im Punkt (x,y) = (x,x²/8) hat den Richtungsvektor (1, x/4). (Das ist Karl-Heinz’ Gleichung (I’).) Aus der Elementargeometrie ist bekannt, dass die Tangente an einen Kreis senkrecht auf dem Vektor vom Mittelpunkt des Kreises zum Aufpunkt der Tangente steht, und dieser zweite Vektor ist (x,y-a). (Das ist Karl-Heinz’ Gleichung (II’)). Damit die beiden Tangenten übereinstimmen, muss also das Skalarprodukt (1, x/4) . (x,y-a) gleich 0 sein. (Das liefert Karl-Heinz’ Gleichung (III).)

    @Karl-Heinz:
    Ja. Das funktioniert genau so, wie es Rene Grothmann in Kommentar #76 beschrieben hat, und man bekommt (im Rahmen der Messgenauigkeit) das Ergebnis von Jolly aus Kommentar #73.

    Interessant wäre vielleicht, wie die Schüler die Werte der Winkelfunktionen berechnen sollten. Immerhin sind die Winkel bis auf Bogensekunden angegeben. Und ich glaube nicht, dass man entsprechend genaue Werte direkt von einem Rechenschieber oder aus einem Tabellenwerk ablesen kann. Vielleicht mit linearer Interpolation zwischen den Werten bei den nächsten ganzzahligen Gradwerten?

    Oder die präzisen Angaben der Winkel dienen nur zur Verwirrung. Da die Längen nur mit einer oder zwei signifikanten Stellen angegeben sind, macht es physikalisch keinen Sinn, die Höhe des Obelisken deutlich genauer berechnen zu wollen. Aber auch das hängt wieder davon ab, wie solche Aufgaben im Unterricht behandelt wurden.

  81. #81 Karl-Heinz
    1. Dezember 2018

    Hat jemand schon Beispiel 3 gerechnet?

  82. #82 Jolly
    1. Dezember 2018

    Ja, @alex, siehe den Kommentar vor deinem.

    Was schätzt Du, wie groß ist die Neigung des Obelisken?

  83. #83 Karl-Heinz
    1. Dezember 2018

    Ich gehe davon aus, dass die da den Obelisken senkrecht aufgestellt haben. Echt schwierig bei einem Hang. 😉

  84. #84 rolak
    1. Dezember 2018

    Zu der ObelixAufgabe fällt mir auf die Schnelle nur eine brachiale Lösung ein, gibt sicherlich etwas deutlich Eleganteres…

  85. #85 Karl-Heinz
    1. Dezember 2018

    @rolak

    Danke Rolak.
    Dank deiner Hilfe gibt es jetzt eine Zeichnung und Lösung zur Aufgabe 3.
    Man muss sich das gesamte Bild so weit gedreht denken, dass h (Obelisk) senkrecht steht, damit dieser nicht einem auf dem Kopf fällt. 😉

  86. #86 rolak
    1. Dezember 2018

    gedreht denken

    Ja sicher doch, Karl-Heinz, sonst wäre der Abhang ausnehmend flach – doch so skribbelte es sich wesentlich flotter und unkrickeliger.

    auf dem Kopf

    Das war der Himmel, beim Asterix!

  87. #87 Rene Grothmann
    1. Dezember 2018

    https://i.imgur.com/b0vMdi2.png

    Sollten so ca. 10m sein.

  88. #88 rolak
    1. Dezember 2018

    so

    Sorry, Rene, doch diese Bauweise ist nicht nur völlig unrealistisch, sondern ließe die Aufgabe nicht einmal in die Oberstufen-Schwierigkeitsklasse aufsteigen.
    Türme und Obelisken wachsen gemeinhin längs eines Radius’ vom Erdmittelpunkt weg, nicht senkrecht zum Untergrund.

  89. #89 Jolly
    1. Dezember 2018

    @Karl-Heinz

    Ich hab übrigens rechnen lassen, hier
    und hier. Anderes als bei meiner Raterei kam dann aber auch nicht raus.

    Wenn Du nicht schummeln willst, Tafeln für die ‘goniometrischen Functionen’ (den Begriff kannte ich noch nicht) findest Du auch als kostenloses eBook, wie z.B. (mit Google-Account) jenes . Wenn du weißt, wie man mit Proportionalteilen (P.P.) umgehen muss, kannst du damit sogar Sekundengenau rechnen. Vielleicht war das auch der einzige Zweck der genauen Angaben, prüfen, ob die Prüflinge das können.

  90. #90 Jolly
    1. Dezember 2018

    (Ein Kommentar ist noch in der mod)

    @rolak

    Deine ‘brachiale Lösung’ könnte sicher helfen, wenn die Seiten für Sinus- oder Kosinuswerte in einer Sammlung trigonometrischer Tafeln nicht mehr zu lesen wären.

    (und bei H’ = unterste Zeile fehlt hinter (A-B) ein Geteilt-Zeichen, meine ich)

    Ansonsten würde ich doch den von @Rene Grothmann in #76 skizzierten Weg bevorzugen. Zunächst aus 2 Winkeln und eingeschlossener Strecke mittels Sinussatz die Länge der Seite ermitteln, die beiden Dreiecken gemeinsam ist. Dann mit 2 Seiten und eingeschlossenem Winkel per Kosinussatz auf die gesuchte Höhe schließen.

  91. #91 rolak
    1. Dezember 2018

    fehlt .. Geteilt

    Eindeutig, Jolly, wohl beim Ranschieben des Nenners überdeckt worden :·/

    Und der Kommentar mit dem Sin-Kos-Satz ist mir irgendwie durchgeflutscht, der Ansatz ist blöderweise (weil eben nicht drauf gekommen) sehr naheliegend. Und deutlich eleganter.

  92. #92 rolak
    1. Dezember 2018

    Wären übrigens grotesk exakt 10m Höhe, dann ist wohl nur Renes Skizze gräßlich irreführend – und das Geheimnis der ultrakrummen Winkel geklärt. Die ergeben sich fast zwangsläufig bei relativ glatten Streckenlängen.

  93. #93 Karl-Heinz
    2. Dezember 2018

    Zum Abschluss für das Beispiel 3 wäre noch interessant zu ermitteln, wie groß die Hangneigung in Grad bzw. die Steigung des Hanges in % ist, auf dem der Obelisk steht? 😉

  94. #94 rolak
    2. Dezember 2018

    Hangneigung

    Da bin ich geneigt zu sagen, daß die irrelevant ware, Karl-Heinz. Und außerdem nach der Lösung der eigentlichen Aufgabe schon feststeht (und sogar dasteht bei Verwendung der online-Rechner): reinkrakel.
    Insgesamt kommt auch schön zum Ausdruck, daß die Kerndaten der Fragestellung A-B-H-γ glatt gewählt sind, der Rest ausgerechnet ist. Entspricht den Produktionsvorgaben einer ~technischen Zeichnung von technisch Unbedarften, die bzgl der Längen von einem Muster gemessen, bzgl der Winkel vom CAD berechnet wurde: Hier bitte auf 75,021° abkanten.

    Und ja, ein paar Einheiten fehlen in der Skizze – sind mir wohl in den Kaffee gefallen.

  95. #95 Karl-Heinz
    2. Dezember 2018

    @Rolak

    Sehe es schon aus der Zeichnung.
    Hangneigung ist 5° oder die Steigung ist 8,75%.
    Ist sehr wichtig für mich, da ich wissen will, ob ich Schneeketten an meinem Auto auflegen muss oder vielleicht wollte ich nur prüfen, ob derjenige, der die Aufgabe zur Klausur gegeben hat, sich was dabei gedacht hat. 😉