Im letzten Teil haben wir die ersten beiden Maxwellgleichungen im Vakuum hingeschrieben. In diesem Teil schauen wir, was wir damit anfangen können: Wir bauen eine elektromagnetische Welle.
Zur Erinnerung hier nochmal die beiden Maxwellgleichungen (es gibt insgesamt vier, die beiden anderen kommen später):
rot E =- dB/dt
In Worten: Die Rotation des elektrischen Feldes E ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des Magnetfeldes.
rot B =a dE/dt
In Worten: Die Rotation des magnetischen Feldes B ist gleich der zeitlichen Änderung des elektrischen Feldes, multipliziert mit einem Faktor a.
Wenn wir irgendwoher ein elektrisches Feld bekommen könnten, dessen Rotation nicht Null ist, dann würde ein Magnetfeld entstehen. Wenn dieses Magnetfeld, das da entsteht, selbst eine Rotation hat, die nicht Null ist, dann würde es wiederum ein elektrisches Feld erzeugen – das elektrische Feld, das wir schon haben, würde sich entsprechend verändern. Das ist die Grundidee, mit der wir jetzt eine Welle bauen wollen.
Bevor wir versuchen, eine Welle zu bauen, noch ein Hinweis: Damit die Zeichnerei mit den dreidimensionalen Vektorfeldern nicht zu kompliziert ist, denken wir uns, dass unsere Felder sich nur in einer Richtung ändern dürfen, nämlich in der z-Richtung. Für einen bestimmten z-Wert sehen die Felder also immer gleich aus, egal bei welchen Werten von x und y wir gerade sind. In allen Zeichnungen, die jetzt kommen, geht die z-Richtung nach rechts. Wir brauchen dann die Felder nur entlang einer Linie zu zeichnen, nicht überall im Raum (das kriege ich nämlich nicht so hin, dass man irgendetwas erkennt).
Der erste Versuch
Im zweiten Teil hatten wir ja schon ein Vektorfeld gezeichnet, dessen Pfeile von links nach rechts immer um denselben Betrag länger werden. Dieses Feld hatte eine räumlich konstante Rotation.
Nehmen wir an, wir hätten so ein Feld als elektrisches Feld. Was würde passieren?
Ich zeichne hier das Feld in x-Richtung, also nach hinten:
Nachtrag: Upps, hier ist ein kleiner Fehler passiert: Der linke Pfeil bei rot B müsste nach hinten zeigen, nicht nach vorn, denneinmal springt das Feld von 0 auf B, dann zurück von B auf 0, das gibt das entgegengesetzte Vorzeichen.
Da sich das Feld nur nach rechts (in z-Richtung) ändert und selbst in x-Richtung zeigt, müssen wir die Schleife zur Bestimmung der Rotation in die x-z-Ebene legen.
Da wo das Feld nicht Null ist, ist die Rotation räumlich konstant und zeigt nach oben (Korkenzieherregel!). Die zeitliche Änderung des Magnetfeldes ist das Negative der Rotation, also zeigt sie nach unten. Da das Magnetfeld vorher Null war, ist es anschließend gleich der zeitlichen Änderung. Es entsteht also ein konstantes Magnetfeld, das nach unten zeigt, überall da, wo das elektrische Feld nicht Null ist.
Ändert sich jetzt das elektrische Feld durch dieses Magnetfeld? Da das Magnetfeld nahezu überall konstant ist, ist seine Rotation auch nahezu überall Null. rot B ist nur an zwei Punkten nicht Null, also ändert sich das elektrische Feld nur an zwei Punkten. Eine Welle gibt es so nicht.
Was ist schiefgelaufen? Das entstehende Magnetfeld war räumlich konstant, das ist schlecht, weil seine Rotation dann Null ist. Wir müssen ein nicht-konstantes Magnetfeld erzeugen, eins, das sich von links nach rechts ändert. Deshalb darf die Rotation unseres elektrischen Feldes nicht konstant sein.
Der zweite Versuch
Das können wir erreichen, wenn sich das elektrische Feld von links nach rechts ändert, aber nicht immer um denselben Betrag. Ändert es sich ganz links sehr stark, so muss die Änderung, wenn man nach rechts geht, immer weiter abnehmen oder sogar negativ werden, so dass die Feldstärke wieder kleiner wird. Das sieht dann so aus:
Die Rotation von E ist jetzt überall anders – links ist sie am größten, in der Mitte (am Punkt, wo die Feldstärke am größten ist) nimmt das Feld plötzlich nicht mehr zu, sondern ab, die Rotation ist hier also Null.
Berechnet man daraus dB/dt, so sieht man, dass ein Magnetfeld entsteht, das sich auch von Ort zu Ort ändert. Es sieht auch schon ein bisschen wellenartig aus – wir sind auf dem richtigen Weg!
Jetzt berechnen wir wieder die Änderung des elektrischen Feldes. (In der Formel in der Skizze habe ich den Vorfaktor a weggelassen, der spielt hier keine Rolle, weil wir ja nur zeichnen und nicht rechnen. Es ist ein beliebtes Hobby von Physikern, solche Vorfaktoren erstmal wegzulassen und dann später verzweifelt zu versuchen, sie wieder einzubauen…)
Die Änderung sieht eigentlich genauso aus wie das ursprüngliche Feld, nur in die entgegengesetzte Richtung. Das elektrische Feld wird also kleiner, aber es entsteht noch keine Welle.
Trotzdem, wir sind noch dichter dran.
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