Wie funktionieren Feynman-Diagramme?

Feynman-Diagramme habt ihr vermutlich alle schon mal gesehen – sie veranschaulichen, wie sich Elementarteilchen verhalten. Dieses Feynman-Diagramm beispielsweise zeigt, wie sich ein Elektron und ein Positron (das Antiteilchen des Elektrons) treffen und vernichten. Dabei entsteht ein Photon, das dann in zwei weitere Teilchen zerfällt, nämlich ein Myon und ein Anti-Myon. (Myonen sind sozusagen die schweren Geschwister der Elektronen.)

Die vertikale Achse ist dabei die Ortsachse – sie symbolisiert also alle drei Raumrichtungen, horizontal ist die Zeit aufgetragen. (Manchmal geht auch die Zeit von unten nach oben, das macht jeder anders.) Mit e^– ist das Elektron gemeint, e⁺ ist das Positron, und die Myonen sind μ^– bzw. μ⁺. (Das Photon dazwischen wird oft mit nem γ abgekürzt, das tue ich hier nicht, um Verwirrung zu vermeiden – den Buchstaben γ brauchen wir nachher nämlich nochmal.) Die Pfeile der Antiteilchen sind dabei rückwärtsgewandt zu denen der Teilchen – das Positron kommt also schon von oben, aber seine Pfeilrichtung wird umgedreht. Das ist zunächst Konvention, macht das Leben später aber deutlich leichter.

Feynman-Diagramme wurden aber nicht erfunden, um Nicht-Physikern das Verständnis von Prozessen leichter zu machen. Auch physikalische Veröffentlichungen sind voll von ihnen. Sollten Physiker nicht handfeste Zahlen ausrechnen? Sollten sie nicht lieber mit Gleichungen hantieren, statt kleine Bildchen zu malen?

Tatsächlich ist es genau das, was Physiker mit Feynman-Diagrammen tun. Feynman-Diagramme sind nämlich eigentlich gar keine Bilder, sondern in Wahrheit nur hübsch dargestellte Gleichungen. In diesem post will ich versuchen zu erklären, wie sie funktionieren und wie man ein Feynman-Diagramm in eine Gleichung “übersetzt”. Aber keine Sorge, auch wenn es um Gleichungen geht – so schlimm wird die Mathematik gar nicht werden (hoffe ich zumindest). Und dann gehen wir im zweiten Teil mit Feynman-Diagrammen bewaffnet auf Elementarteilchenjagd.

Nehmen wir also unser Feynman-Diagramm von oben nochmal zur Hand. Es gehört zu einem Experiment, wie man es beispielsweise in den 80er Jahren am Speicherring Petra (Positron-Elektron-Ring-Anlage) in Hamburg gemacht hat. Da schießt man Elektronen und Positronen aufeinander und beobachtet, was alles passiert.

Beispielsweise können, wie in unserem Fall, zwei Myonen (genauer gesagt ein Myon und ein Anti-Myon) entstehen. Wenn man untersucht, wieviele Myonen wie mit welcher Geschwindigkeit entstehen, dann kann man versuchen herauszufinden, ob es vielleicht neue, unbekannte Elementarteilchen gibt. Und genau dazu braucht man Feynman-Diagramme.

Ein paar Grundregeln
Für quantenmechanische Prozesse (und um die geht es natürlich, wenn man Elementarteilchenprozesse betrachtet) kann man normalerweise nur Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. (Falls jemand spitzfindig sein will: Manchmal sind die Wahrscheinlichkeiten 1 – also: sicher – oder 0 – also: passiert nie. Das ist aber eher selten und für uns hier nicht relevant.)

Die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind ja ganz einfach:
1. Gibt es zwei unterschiedliche Wege, damit ein Ereignis eintreten kann, dann werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert. Wenn ich beim Würfelspiel mit einer 5 oder 6 gewinne, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür (1/6)+(1/6)=2/6=1/3.

2. Müssen zwei Ereignisse nacheinander eintreten, dann werden deren Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Wenn ich beim Würfeln gewinne, wenn ich zweimal hintereinander eine 6 würfele, dann ist die Wahrscheinlichkeit (1/6)⋅(1/6)=1/36.

Diese Regeln gelten auch für unsere Elementarteilchenprozesse, allerdings mit einer kleinen Komplikation: Wir berechnen zunächst nicht Wahrscheinlichkeiten, sondern sogenannte Wahrscheinlichkeitsamplituden. Für diese Amplituden gelten obige Regeln. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis herauszufinden, wird die Amplitude quadriert.
(Genaugenommen ist die Amplitude eine komplexe Zahl und wird betragsquadriert, aber das ist jetzt wieder nur für die Spezis relevant.)

Wir zerlegen ein Feynman-Diagramm
Und jetzt nehmen wir uns nochmal das Feynman-Diagramm von oben vor.
Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass dieser Prozess stattfindet, zerlegen wir ihn in lauter Einzelprozesse, die wir dann alle nach den Regeln von oben passend addieren und multiplizieren.

Fangen wir ganz links an und betrachten die erste Hälfte des Diagramms: Ein Elektron kommt (aus einer Elektronenquelle) angeflogen und findet sich zu einer bestimmten Zeit t an einem bestimmten Ort x wieder. Dort trifft es ein Positron, das aus einer Positronenquelle kommt. Die beiden vernichten sich und erzeugen ein Photon.

Hier ist das Diagramm nochmal mit eingezeichneten Orts- und Zeit-Koordinaten:

Damit wir das Photon bekommen, müssen alle drei Prozesse stattfinden. Wir müssen die Wahrscheinlichkeitsamplituden also miteinander multiplizieren. Damit ich keinen Tippkrampf bekomme, spreche ich ab jetzt nur noch von Amplituden und schreibe Amplitude(Peng) für die Wahrscheinlichkeitsamplitude des Ereignisses “Peng”

Amplitude(Entstehung des Photons am Ort x zur Zeit t)=
Amplitude(Elektron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) ⋅
Amplitude(Positron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) ⋅
Amplitude(Elektron und Positron erzeugen Photon)

Im zweiten Schritt fliegt das Photon vom Ort x zur Zeit t zu einem anderen Ort x’ zur Zeit t’. Auch dafür gibt es eine Amplitude:
Amplitude(Photon fliegt von x,t nach x’,t’)

Und schließlich soll am Ort x’ zur Zeit t’ aus dem Photon ein Myon-Antimyon-Paar werden, das dann im Detektor landet:
Amplitude(Photon wird zum Myon-Paar, das im Detektor landet)=
Amplitude(Photon erzeugt Myon-Antimyon-Paar) ⋅
Amplitude(Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor) ⋅
Amplitude(Anti-Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor)

Und damit unser gesamter Prozess stattfinden kann, müssen diese 7 Ereignisse alle passieren, also
Amplitude(Elektron-Positron-Paar bildet Myon-Anti-Myon-Paar)=
Amplitude(Elektron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) ⋅
Amplitude(Positron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) ⋅
Amplitude(Elektron und Positron erzeugen Photon) ⋅
Amplitude(Photon fliegt von x,t nach x’,t’)
Amplitude(Photon erzeugt Myon-Antimyon-Paar) ⋅
Amplitude(Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor) ⋅
Amplitude(Anti-Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor)

Aber Moment! Da wir ja nicht sehen können, was genau im Inneren unseres Teilchenbeschleunigers passiert, wissen wir nicht, wo und wann die Orte und Zeiten x, x’, t, t’ waren. x könnte “hier” sein oder “dort” oder “dahinten”. Jeder Ort von x wäre ja erstmal denkbar. Unterschiedliche Orte entsprechen aber unterschiedlichen Möglichkeiten (wenn ich in meinem Garten oder auf der Straße ausrutschen kann, dann ist die gesamte Ausrutschwahrscheinlichkeit die Summe der beiden). Also muss ich über alle möglichen Orte und Zeiten x, x’, t, t’ summieren.

Weil das unendlich dicht liegende Punkte sind, ist das mathematisch gesehen ein Integral (wer Integrale nicht so mag, der denkt einfach nur an die Summe – keine Sorge, wie man das Integral am Ende löst, rechne ich nicht vor…). Da der Raum drei Dimensionen hat, schreibt man die Summe über alle Raumpunkte als ∫d³x. Unsere Formel sieht jetzt so aus:

Amplitude(Elektron-Positron-Paar bildet Myon-Anti-Myon-Paar)=
∫d³x ∫ dt ∫d³x’ ∫ dt’ Amplitude(Elektron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) ⋅
Amplitude(Positron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) ⋅
Amplitude(Elektron und Positron erzeugen Photon) ⋅
Amplitude(Photon fliegt von x,t nach x’,t’)
Amplitude(Photon erzeugt Myon-Antimyon-Paar) ⋅
Amplitude(Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor) ⋅
Amplitude(Anti-Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor)

Das ist natürlich eine ziemliche Schreiberei. Physiker sind ja bekanntermaßen faul und verwenden deshalb Kurzschreibweisen für diese ganzen Amplituden. Die sehen so aus:

Amplitude(Elektron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) : ψ(x,t)
Amplitude(Positron fliegt von der Quelle zum Ort x zur Zeit t) : ψ*(x,t)
Amplitude(Elektron und Positron erzeugen Photon) : ieγ^μ
Amplitude(Photon fliegt von x,t nach x’,t’) : D^μν(x,t,x’,t’)
Amplitude(Photon erzeugt Myon-Antimyon-Paar) : ieγ^ν
Amplitude(Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor) : φ*(x’,t’)
Amplitude(Anti-Myon fliegt von x’,t’ in den Detektor) φ(x’,t’)

Jedes dieser Kürzel hat natürlich eine genaue mathematische Bedeutung. Um die kümmern wir uns gleich. Erstmal schreibe ich unsere Gesamtformel nochmal hin, weil’s so schön beeindruckend aussieht:
Amplitude(Elektron-Positron-Paar bildet Myon-Anti-Myon-Paar)=
∫d³x ∫ dt ∫d³x’ ∫ dt’ ψ(x,t) ieγ^μ ψ*(x,t) D^μν(x,t,x’,t’) φ*(x’,t’)ieγ^νφ(x’,t’)

Dabei habe ich die Ausdrücke mit den γs zwischen die ψs und φs geschoben, weil das so Konvention ist. Im Übrigen verwende ich die Lieblingseinheiten der theoretischen Physiker, bei denen h-quer (Plancksches Wirkungsquantum) und die Lichtgeschwindigkeit gleich 1 gesetzt werden.

Die ganze Formel nützt einem natürlich nur dann etwas, wenn man weiß, was sich hinter den mathematischen Kürzen verbirgt. Dann kann man das Integral ausrechnen und beispielsweise herausbekommen, wieviele Myonen-Antimyonen-Paare durch diesen Prozess entstehen sollten. Wenn man dann im Experiment plötzlich viel mehr Myonen findet, dann kann das ein Hinweis darauf sein, dass man etwas Neues entdeckt hat.

Die Formel wird mit Leben erfüllt
Die Wellenfunktionen
ψ(x,t) ist nichts als die Wellenfunktion des einfliegenden Elektrons am Ort x zur Zeit t. Die Wellenfunktion ist ja die zentrale Größe in der Quantenmechanik und beschreibt das Verhalten von Teilchen. In der Quantenmechanik geht das mit der berühmten Schrödingergleichung, hier in unserem Fall brauchen wir eine ähnliche Gleichung, die Dirac-Gleichung, die auch bei sehr hohen Geschwindigkeiten des Elektrons noch gilt, wenn es fast mit Lichtgeschwindigkeit fliegt.
Genau genommen habe ich hier etwas gelogen, denn ψ(x,t) ist eigentlich ein etwas komplizierteres Gebilde, ein sogenannter Spinor. Das ist eine “aufgemotzte” Wellenfunktion, in die auch noch der “Spin”, also die Rotation des Elektrons eingebaut ist. (Genau genommen der Drehimpuls – um seine Achse drehen kann sich ein Punktteilchen wie ein Elektron nicht, aber einen Drehimpuls kann es trotzdem haben.) Spielt aber für das Verständnis der Ideen keine Rolle.

ψ*(x,t) ist die entsprechende Funktion für das einfliegende Positron, der * kennzeichnet das Antiteilchen. Die φs gehören zu den beiden Myonen – bei wegfliegenden Teilchen ist die Regel für die Sternchen umgekehrt, da ist φ* für das Myon und φ für das Anti-Myon zuständig. Wie man die ψ und φ tatsächlich mathematisch ausrechnet, sehen wir weiter unten.

Die Ladung
Dann haben wir zwei Ausdrücke der Art ieγ.
Dabei ist e etwas ganz vertrautes, denn -e ist die Ladung des Elektrons (oder des Myons). Das γ (mit seinem oberen Index) ist mathematisch gesehen eine Matrix – die sorgt dafür, dass der Spin in der Wellenfunktion des Elektrons sauber zu unserem Photon passt. i ist die komplexe Einheit, die Wurzel aus -1. (Keine Sorge, am Ende wird ja die Amplitude nochmal quadriert, dann werden alle Ergebnisse brave reelle Zahlen.)

Die elektrische Ladung ist also genau ein Maß für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Elektron-Positron-Paar sich annihilieren. Sie hat aber natürlich auch etwas mit der elektrischen Abstoßung bzw. Anziehung zwischen Teilchen zu tun. Um das zu sehen vertauschen wir in unserem Diagramm die Orts- und die Zeitrichtung:

Jetzt sendet das Elektron ein Photon aus, das vom Myon aufgenommen wird. Das Diagram selbst sieht genauso aus wie vorher, aber die Linie links oben gehört jetzt zu einem Elektron, nicht zu einem Positron, denn das Elektron wird ja nicht plötzlich sein eigenes Antiteilchen. (Das ist auch genau der Grund, warum man Antiteilchen-Pfeile immer umdreht.) Der Ausdruck ieγ bleibt dabei unverändert. Das Elektron überträgt dabei Energie an das Myon – das ist nichts anderes als die elektrische Abstoßung.

Der Photon-Propagator
Als letztes nun die Größe D^μν(x,t,x’,t’). Die nennt man auch den Photon-Propagator, weil das Photon von x,t nach x’,t’ fliegt, also von einem Ort zum anderen weiterläuft oder vornehm eben “propagiert”.

Der Photon-Propagator hat ziemlich überraschende Eigenschaften. Zunächst mal sollte man ja denken, dass Photonen mit Lichtgeschwindigkeit fliegen. In der Zeit (t’-t) kann ein Photon mit Lichtgeschwindigkeit eine Strecke c(t’-t) zurücklegen. Man sollte also meinen, dass der Abstand zwischen x und x’ gerade diesen Wert haben muss, damit der Propagator nicht Null ist. Das stimmt aber nicht. Das Photon hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, auch dann von (x,t) nach (x’,t’) zu gelangen, wenn der Abstand und die Zeitdifferenz nicht zusammenpassen. Photonen fliegen also nicht immer mit Lichtgeschwindigkeit. (Wenn man anfängt zu rechnen stellt man aber fest, dass dieser Effekt für makroskopische Distanzen verschwindet – die Wahrscheinlichkeit, sich mit Lichtgeschwindigkeit zu bewegen, ist am größten und dominiert dann völlig.)

Ein Photon wie dieses hier, das nicht direkt beobachtet wird, sondern im Inneren eines Feynman-Diagramms auftaucht, nennt man auch virtuelles Photon. Es hat noch eine andere seltsame Eigenschaft: Normalerweise gilt für Photonen, dass ihre Energie E und ihr Impuls p über die Gleichung E=pc zusammenhängen. Für unser virtuelles Photon ist das aber nicht der Fall, das würde nämlich gar nicht gehen. Dazu muss man sich nur vorstellen, man säße im Beschleuniger genau da, wo Elektron und Positron sich treffen. Wenn die beiden genau entgegengesetzte Geschwindigkeiten haben, dann ist ihr Gesamtimpuls Null, aber sie haben natürlich eine ziemlich hohe Energie. Das Photon muss diese Energie mitnehmen, aber sein Impuls muss ja Null sein.

Die Buchstaben μ und ν hier sagen etwas über die Polarisation des virtuellen Photons. Reale elektromagnetische Wellen sind ja immer senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung polarisiert. Virtuelle Photonen kümmern sich um solche Regeln nicht, sie können auch in Ausbreitungsrichtung oder sogar in “Zeitrichtung” polarisiert sein. (Nein, das kann man sich nicht so sehr gut anschaulich vorstellen.) D^μν ist eine Größe mit zwei Indices μ und ν, der erste sagt, mit welcher Polarisation das Photon losfliegt, der zweite, mit welcher es ankommt. Normalerweise sind die beiden gleich (das Photon kann seine Polarisation unterwegs nicht ändern, das dürfen nicht mal virtuelle Photonen), man schreibt es trotzdem mit zwei Indices, für den Fall, dass zwischendrin noch was passiert.

Wie man die Gleichung löst
Ich will euch zumindest eine Idee geben, wie man diese komplizierte Gleichung oben lösen kann – die mathematischen Details erspare ich mir und konzentriere mich auf die Physik. (Die mitlesenden Physiker können das im Schmüser nachlesen, s.u.) Wem das jetzt doch zu abgehoben ist, der kann im zweiten Teil dieses Posts wieder einsteigen, der schon wieder viel länger wird als ich dachte…

Das Hauptproblem, über das man erstmal nachdenken muss, sind die ganzen Wellenfunktionen. Für den Photon-Propagator gibt es fertige Formeln, die e’s und γ’s sind auch kein Problem, aber was ist mit den Wellenfunktionen? Woher soll man die kennen?

Überlegen wir einmal, was physikalisch in unserem Teilchenbeschleuniger passiert: Ein Elektron und ein Positron werden auf irrsinnige Werte beschleunigt und treffen dann mit extrem hoher Geschwindigkeit aufeinander. Wir wissen ziemlich genau, wieviel Energie sie dabei aufnehmen, denn die sehen wir am Ende auf unserer Stromrechnung (und ein Teilchenbeschleuiniger hat ne ziemlich hohe Stromrechnung…). Da wir wissen, wie wir sie beschleunigen, kennen wir ihre Geschwindigkeit und damit ihren Impuls einigermaßen genau.

Jetzt verhalten wir uns wie echte Physiker und machen eine gute Näherung: Wir tun so, als würden wir den Impuls exakt kennen. Die Wellenfunktion (oder der Spinor) eines Elektrons mit genau bekannter Energie ist bekannt – es ist eine ebene Welle. Für die beiden ψ’s schreiben wir also ebene Wellen hin.

Für die rausfliegenden Myonen argumentieren wir genauso: Wir messen deren Energie (und damit indirekt auch den Impuls) ja in unserem Detektor, also nehmen wir an, dass auch die sich durch ebene Wellen beschreiben lassen. (Der Fehler, den man mit dieser Annahme macht, ist so klein, dass er keine Rolle spielt.)

Mathematisch ist die Formel für eine ebene Welle mit Energie E und Impuls p
e^i(px-Et)

Diese Formel müssen wir jetzt oben (mit etwas Vorsicht, weil die Wellenfunktionen ja eigentlich Spinoren sind) einsetzen. Dabei geschieht etwas extrem praktisches: Das Integral ist nämlich leicht zu lösen (wer mathematisch versiert ist, erkennt eine Fouriertransformation) und es ergibt sich

Amplitude(Elektron-Positron-Paar bildet Myon-Anti-Myon-Paar)=
-i (2π)⁴ u*(E_pos,p_pos) eγ^μ u(E_el,p_el) (g^μ/(E_phot²-p_phot²)) u*(E_μ,p_μ) eγ^μ u(E_antiμ,p_antiμ)

Wie man sieht, sind die Integrale verschwunden. Die p’s mit dem Index sind jeweils die Impulse der Teilchen, die E’s sind ihre Energien, u und u* sind einfache Funktionen, die man leicht berechnen kann (die schreibe ich aber nicht hin, denn dafür braucht man wieder die bösen Spinoren…). Der Bruch in der Mitte ist das, was vom Photon-Propagator übrig geblieben ist. g^μ ist entweder einfach +1 oder -1, das hängt von μ ab. Man erkennt, dass der Wert für den Photon-Propagator unendlich groß werden würde, wenn E_phot=p_phot wäre (wobei ich wie meist das c weglasse – ansonsten wäre es E_phot=p_photc). Wegen der Energie- und Impulserhaltung kann das aber nicht passieren, wie ich ja oben schon erklärt habe.

Alle Größen, die hier stehen, kann man direkt berechnen – lediglich über den Spin der Elektronen und Positronen, die reinfliegen, müsste man noch etwas wissen. Da man das normalerweise nicht tut, wird einfach statistisch über alle denkbaren Spins gemittelt.

Zusätzlich gilt noch Energie- und Impulserhaltung: Die Summe der reinkommenden und der rausfliegenden Energien und Impulse sind gleich, also
p_pos +p_el = p_phot = p_μ+p_antiμ.
E_pos +E_el = E_phot = E_μ+E_antiμ

Die so berechnete Amplitude wird also dann entsprechend quadriert, um die Wahrscheinlichkeit des Prozesses zu berechnen. Man kann dann beispielsweise ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Myonen unter einem bestimmten Winkel θ wegfliegen, wenn Elektron und Positron frontal aufeinanderprallen. (Achtung: Das Bild hier ist kein Feynman-Diagramm, sondern wirklich als Zeichnung der Bahnen der fliegenden Teilchen zu verstehen – beide Richtungen sind Raumrichtungen.)

Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zu (1+cos²θ). Meist wird die Wahrscheinlichkeit in Form eines sogenannten “Wirkungsquerschnitts” geschrieben, der so normiert ist, dass man ihn leichter mit einem Experiment vergleichen kann. Es gilt
Wirkungsquerschnitt= e⁴(1+cos²θ) / (256π²E²)

Die Elektronladung e geht jetzt hoch Vier ein, weil sie oben in der Amplitudenformel zweimal drinsteckte (einmal für jede Kopplung des Photons an ein Teilchen-Antiteilchen-Paar) und wir die Amplitude dann ja nochmal quadrieren mussten. E ist die Gesamtenergie der einfliegenden Elektronen und Positronen (gemessen im Laborsystem).

Man erkennt also, dass die Erzeugung eines Myon-Anti-Myon-Paares mit zunehmender Energie immer unwahrscheinlicher wird. Das liegt daran, dass der Nenner im Term des Photonpropagators immer größer wird, weil die Beziehung E=pc immer stärker verletzt wird, je höher die Energie ist.

Und wie vergleicht sich das nun mit dem Experiment? Und wie genau findet man mit solchen Rechnungen neue Elementarteilchen? Das schauen wir uns im zweiten Teil an.

Warnhinweis: Mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit habe ich in den Formeln den einen oder anderen Vorfaktor oder ein Vorzeichen verschlampt. Wer die Gleichungen ernsthaft verwenden will, schaut lieber in ein gutes Buch.

Meine Hauptquelle war der Schmüser, ein Buch, in dem die Physik nicht im mathematischen Formalismus ertränkt wird:
Peter Schmüser, “Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker”