Im ersten Teil dieser kleinen Reihe haben wir die fundamentale Gleichung der Quantenmechanik hingeschrieben. Hier wollen wir die Gleichung (grafisch) lösen – dabei werden wir sehen, warum die Schrödingergleichung dafür sorgt, dass die Energie (zumindest manchmal) quantisiert ist.
Hier zur Erinnerung nochmal die Schrödingergleichung:
In Worten:
Krümmung der Wellenfunktion + potentielle Energie mal Wellenfunktion = Gesamtenergie mal Wellenfunktion.
Wir lösen sie jetzt für einen der einfachsten Fälle: Ein Teilchen in einem Kasten.
Die Schrödingergleichung für’s Kastenpotential
Wir bleiben noch in einer Dimension, damit das Leben einfacher ist. Jetzt stellen wir uns vor, dass wir unser Elektron in einen Kasten einsperren. (Ein “eindimensionaler Kasten” bedeutet also, dass wir unser Elektron auf einem Stück einer Linie halten, so dass es nicht nach rechts und links abhauen kann.)
Der Kasten erstreckt sich auf unserer x-Achse, sagen wir von x=0 bis hin zu x=L; also ist L die Kastenlänge. Da das Elektron aus dem Kasten nicht heraus kann, ist seine potentielle Energie außerhalb des Kastens unendlich hoch – dann ist es zuverlässig eingesperrt. Im Inneren des Kastens merkt das Elektron vom Kasten nichts, seine potentielle Energie ist also Null.
In brauchbarer Näherung ist übrigens schon ein Stück Metall für die darin befindlichen Elektronen ein solcher Kasten, weil die von den Ionenrümpfen angezogen werden und deshalb drinnen eine kleinere Energie haben als draußen. Reale Kästen sind aber natürlich nicht unendlich hoch.
Und so sieht unser Kasten aus, in den wir gleich das Elektron reinsetzen:
Die senkrechte schwarze Linie symbolisiert das Potential, das rechts und links unseres “Kastens” unendlich hoch ist.
Wie können wir die SGL für diesen Fall lösen?
Zunächst mal ist ziemlich klar, dass ψ außerhalb des Kastens auch Null sein sollte. Wir haben zwar immer noch nicht geklärt, welche Größe ψ nun eigentlich beschreibt, aber da es außerhalb des Kastens unendlich viel Energie benötigen würde, das Elektron dort zu haben, sollte seine Wellenfunktion dort sicher verschwinden, denn dort kann das Elektron mit Sicherheit niemals sein.
Am linken Rand des Kastens ist die Wellenfunktion also schon mal Null.
Dorthin setzen wir unseren ersten Datenpunkt (in rot):
Ein Stück rechts davon sollte die Wellenfunktion nicht immer noch Null sein – das wäre zu langweilig. Also setzen wir einen zweiten Datenpunkt irgendwo nach oben:
Und jetzt ziehen wir unsere Schrödingergleichung zu Rate. Im Inneren des Kastens (nur da gucken wir im Moment) ist ja V(x)=0, also kann ich die Gleichung so umschreiben:
Um die ganzen Vorfaktoren kümmern wir uns nicht, aber die Gleichung sagt ja, dass die negative Krümmung proportional zum Wert von ψ selbst ist. Am Ort unseres zweiten Datenpunktes ist ψ größer als Null, also muss die Kurve dort nach unten gekrümmt sein. Der dritte Datenpunkt muss also so liegen, dass eine Verbindung vom ersten zum dritten Punkt unterhalb des zweiten liegt (denn im ersten Teil hatten wir gesehen, dass eine Funktion nur dann eine Krümmung hat, wenn sie nicht gerade ist):
Wo genau der Punkt liegen muss, das hängt von den ganzen Vorfaktoren ab, die wir erst Mal nicht angucken wollten.
Jetzt suchen wir den nächsten Wert. Die Krümmung am Ort des dritten Datenpunktes muss jetzt (betragsmäßig) größer sein als die beim zweiten Punkt, weil ja der Funktionswert auch größer ist. Der vierte Datenpunkt muss jetzt (weil die Krümmung ja stärker sein muss) so liegen, dass die blaue Linie, die ihn mit dem zweiten Punkt verbindet, weiter unterhalb des dritten Punktes liegt:
Die Krümmung am Ort des vierten Punktes muss jetzt (weil der Funktionswert noch größer geworden ist) noch stärker sein. Das geht nur noch, wenn die Funktion jetzt wieder abnimmt:
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