Die Kurve ist jetzt ein genaues Spiegelbild des ersten Wellenberges, nur eben nach unten. Wenn man sie also noch weiter zusammenschiebt (also E und damit die Krümmung noch weiter erhöht), dann ist sie am rechten Rand wieder Null:
Wir haben eine zweite Lösung der SGL gefunden, allerdings bei höherer Energie.
Wir können sogar leicht berechnen, um wieviel die Energie höher ist: Im ersten Teil hatten wir ja gesehen, dass man bei der Berechnung der Krümmung durch δx2 teilen muss, wobei δx der Abstand der Punkte war. Wenn wir die Kurve auf die Hälfte stauchen wollen (der erste Berg muss jetzt in den halben Kasten passen statt in den ganzen), dann halbieren wir quasi das δx, also muss die Krümmung den vierfachen Wert bekommen. Also steigt die Energie E auf das Vierfache.
(Anmerkung für die MathematInnen: Das ist natürlich so nicht ganz sauber argumentiert, weil man am Ende ja einen Grenzübergang δx gegen Null machen muss. Wer’s mathematisch sauber haben will, der berechnet die zweite Ableitung von ψ(x/2) mit Kettenregel – das führe ich aber nicht vor.)
Und eigentlich ist jetzt ja klar, dass wir noch mehr Lösungen finden können, bei denen die Wellen immer schmaler sind:
Die entsprechenden Energiewerte für den Zustand mit der Nummer n verhalten sich wie n2. Deshalb sind hier die Wellenfunktionen in entsprechender Höhe eingezeichnet – dieser grafische Mischmasch, bei dem die Energie und der Wert von ψ beide in einem Diagramm eingezeichnet sind, ist bei PhysikerInnen so üblich.
Hat das erste Energieniveau also einen Wert von E1, dann gilt
En=E1 n2
Wer’s genau wissen will, mit allen Vorfaktoren lautet die Formel
En=h2 n2 / (8 m L2)
In unserem Kasten ist die Energie also immer quantisiert. Wer sich noch einmal die Überlegungen oben anschaut, sieht, dass das daran lag, dass es einen Bereich gab, wo die Wellenfunktion verschwinden musste. Tatsächlich gilt ganz allgemein, dass die Energie nur für Zustände quantisiert ist, die gebunden sind, bei denen das Elektron also auf einen begrenzten Raumbereich beschränkt ist.
Natürlich sind nicht alle Potentiale so einfach wie unser simpler Kasten. Was würde beispielsweise passieren, wenn der Kasten eine Stufe hätte, wenn das Elektron also rechts etwas mehr Energie bräuchte als links?
Im Bereich rechts ist jetzt V(x)>0. Wir formen unsere SGL wieder so um, dass die Krümmung auf der linken Seite steht:
Solange (E-V(x)) größer als Null ist, tut sich nicht viel – die Krümmung ist immer noch proportional zum negativen Funktionswert. Wenn aber (E-V(x)) kleiner als Null ist, dann ist plötzlich die Krümmung proportional zum Funktionswert selbst, die Funktion muss dann also aufwärts gekrümmt sein. Natürlich kann die Funktion nicht überall aufwärts gekrümmt sein (dann würde ψ ja irgendwann unendlich werden), in einem kleineren Bereich aber schon.
Dankenswerterweise muss ich diesen Fall nicht zeichnen – zum Rumspielen mit der SGL gibt es nämlich auch sehr schöne Programme im Internet, z.B. javapsi-light
Damit kann man Potentiale zeichnen und sich die passenden Wellenfunktionen ausrechnen lassen:
Oben ist unser Kastenpotential zu sehen, unten die zugehörige Wellenfunktion für das 5. Energieniveau. Rechts kann man alles mögliche einstellen, für uns hier ist nur der Schalter “Mouse=” relevant, wenn man den anklickt, dann kann man oben im Bild im Potential rummalen. Ich zeichne hier mal einen Kasten mit Stufe ein: (dazu den Haken “symmetric edit” ausschalten)
Fängt man von links an, so sieht zunächst alles aus wie gehabt, es bildet sich ein Wellenberg. Da wo die Stufe ist, ist er aber nicht ganz auf Null abgefallen, sondern ändert nur seine Krümmung – im rechten Teil ist die Funktion aufwärts gekrümmt. Eine Funktion mit einer Krümmung proportional zum Funktionswert ist eine Exponentialfunktion – die Wellenfunktion nimmt also nach rechts hin exponentiell ab.
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