Reale Elektronen sitzen natürlich nicht unbedingt in Kästen – sie können ja auch frei in der Gegend herumfliegen. Auch für freie Elektronen gibt es wieder stationäre Zustände, also solche, bei denen sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit der Zeit nicht ändert. Diese Zustände sind komplexe ebene Wellen. Mathematisch haben sie die Form
exp(i (kx – E t/ħ )
wobei E=ħ2 k2 / 2m ist, mit k als der sogenannten “Wellenzahl”. So sieht eine solche ebene Welle aus:
Sie erinnert an einen sich drehenden Korkenzieher. Die Wellenzahl k hängt dabei mit der Wellenlänge zusammen, also dem Abstand zweier Windungen. Ist diese Wellenlänge λ, dann ist k=2π/λ.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist an allen Orten gleich – unsere ebene Welle ist also gar nicht im Raum lokalisiert. (Es gibt hier eine kleine Schwierigkeit, weil man solche ebenen Wellen eigentlich so normieren müsste, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo zu finden, gleich 1 ist, aber mit geeigneten mathematischen Tricks kann man diese Probleme umgehen.)
Auch das entspricht natürlich nicht so ganz unserer Vorstellung eines durch den Raum fliegenden Elektrons. Was wäre denn, wenn ich mit einem Elektron anfange, das in einem Bereich des Raumes lokalisiert ist und von dort wegfliegt?
Um so ein Elektron zu bekommen, muss man viele ebene Wellen überlagern. Die Formel dafür ist ziemlich lang, deswegen schreibe ich sie hier nicht hin (wer will, findet sie im Morrison “Understanding Quantum Physics”). Stattdessen zeige ich lieber, wie die Wellenfunktion aussieht:
Anfänglich ist die Korkenzieherwindung auf einen kleinen Bereich beschränkt, aber sie breitet sich in eine Richtung aus und “zerläuft” dabei. Die Aufenthaltswahrscheinlchkeit sieht dabei so aus:
Das Maximum der Kurve bewegt sich dabei mit konstanter Geschwindigkeit nach rechts, gleichzeitig wird die Position des Elektrons immer unbestimmter, weil die Wellenfunktion (man spricht auch gern vom “Wellenpaket”) immer weiter zerläuft.
Nachdem wir nun gesehen haben, wie Lösungen der zeitabhängigen SGL aussehen, wird es aber doch Zeit, dass wir uns die Gleichung selbst noch einmal angucken. Das tun wir dann im nächsten Teil.
Gesamte Serie zur Schrödingergleichung:
Teil I: die Gleichung
Teil II: Warum die Energie quantisiert ist
Teil III: Jetzt wird’s komplex
Teil IV: Alles im Kasten
Teil V: Alles zu seiner Zeit
Teil VI: Alles unscharf?
Teil VII: Mit dem Kopf durch die Wand
Das Ende der Schrödingergleichung
Kommentare (21)