Dass die Quantenmechanik schwer zu verstehen ist, ist ja allgemein bekannt. Auch über ihre Interpretation wird ja viel und gern diskutiert. Vielleicht ist es ja ganz hilfreich, einmal die Grundlagen der Quantenmechanik ein bisschen näher zu betrachten.
Anfangen will ich mit der Schrödingergleichung. Sie ist ein zentraler Bestandteil der Quantenmechanik – viele Physiker würden vielleicht sogar sagen, der zentrale Bestandteil überhaupt. Und sie ist erfreulicherweise gar nicht so schwer zu verstehen.
Die Schrödingergleichung beschreibt, wie sich die sogenannte Wellenfunktion eines Teilchens (meist betrachtet man Elektronen) verhält. Was die Wellenfunktion genau ist, diskutieren wir später – sie beschreibt in irgendeiner Weise das Elektron, das wir betrachten. (Auch Schrödinger wusste nicht genau, was die Wellenfunktion eigentlich beschreibt, als er die Gleichung aufstellte – wie sowas angehen kann, sehen wir nachher.)
Für den Anfang machen wir uns das Leben leicht: Wir beschränken uns auf eine Dimension (stellen uns also beispielsweise vor, unser Elektron könne sich nur entlang eines sehr dünnen Drahtes bewegen) und betrachten zunächst nur solche Zustände des Elektrons, die sich mit der Zeit nicht ändern, das heißt, wir betrachten die zeitunabhängige Schrödingergleichung.
In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine einfache Funktion, die jedem Punkt des Drahtes einen Zahlenwert zuordnet. (Genauer gesagt ist es ihr zeitunabhängiger Anteil, aber um den Unterschied kümmern wir uns später)
Ähnlich wie bei den Maxwellgleichungen brauchen wir ein bisschen mathematisches Vorgeplänkel, wir müssen nämlich den Begriff der Krümmung einer Funktion verstehen.
Die Krümmung einer Funktion
Eine Funktion kann man sich ja leicht als eine gezeichnete Linie vorstellen, die jedem x-Wert einen Funktionswert zuordnet. Traditionell heißt eine Wellenfunktion immer ψ (“psi”) und könnte vielleicht so aussehen:
Wann ist eine Funktion gekrümmt? Die Antwort ist ziemlich banal: Genau dann, wenn sie nicht gerade ist. Wer hätte das gedacht…? Aber diese ziemlich albern erscheinende Antwort ist tatsächlich der Schlüssel zum mathematischen Krümmungsbegriff.
Natürlich kann eine Funktion an einem Ort anders gekrümmt sein als ein einem anderen, die Krümmung hängt also vom Ort ab. Betrachten wir ein kleines Stück einer Funktion:
Rechts ist die Funktion gekrümmt, links nicht. Wir sehen das mit dem bloßen Auge daran, dass wir links eine Gerade durch dieses Funktionsstück legen können, rechts aber nicht. Um zu sehen, wie stark eine Funktion gekrümmt ist, ziehen wir eine Gerade von einem Ende unserens kleinen Stückchens zum anderen – je stärker der echte Funktionswert (mit einem Kringel gekennzeichnet) von dem Wert auf der Geraden abweicht, desto größer ist die Krümmung. (Wer keine Formeln mag, der kann die genaue Berechung einfach überspringen und unten beim (*) wieder einsteigen.)
Um zu sehen, ob eine Funktion gekrümmt ist, müssen wir die Funktion an drei Punkten kennen: An dem, wo wir die Krümmung wissen wollen, sowie an einem Punkt links und an einem Punkt rechts davon. Nennen wir den aktuellen Punkt einfach x, den linken Punkt xl und den rechten Punkt xr. Der Punkt auf der Geraden genau am Ort x ist der Mittelwert von ψ(xl) und ψ(xr):
(ψ(xl)+ψ(xr)) /2.
Die Abweichung unserer Funktion bekommen wir, wenn wir davon den Funktionswert abziehen, also
(ψ(xl)+ψ(xr)) /2 -ψ(x)
oder, anders geschrieben
(ψ(xl)+ψ(xr)-2ψ(x)) /2.
Anmerkung: Eigentlich habe ich hier ein bisschen gelogen – mathematisch wird die Krümmung einer Funktion etwas anders definiert, sie wird nämlich noch mit dem Wert der ersten Ableitung der Funktion normiert. Was wir hier betrachten, ist direkt die zweite Ableitung der Funktion, die man auch als Krümmung relativ zur horizontalen Achse ansehen kann.
Bisher habe ich nichts darüber ausgesagt, wie weit die beiden Nachbarpunkte xl und xr nun eigentlich von x entfernt sind – das hat natürlich einen Einfluss auf den Zahlenwert, den man herausbekommt. Eigentlich muss man die beiden Punkte immer dichter an x heranrücken lassen. Dabei wird natürlich auch die Abweichung immer kleiner werden (die Funktion lässt sich immer besser durch eine Gerade annähern). Damit man einen sinnvollen Wert herausbekommt, muss man deshalb noch durch das Quadrat des Abstands teilen.
Definieren wir δx= x-xl, dann ist die richtige Formel für unsere Krümmung (wir schreiben jetzt x-δx für xl):
(ψ(x-δx) + ψ(x+ δx) -2&psi(x)) / (2 δx2).
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