Im ersten Teil dieser Serie haben wir gesehen, dass man eine gekrümmte Fläche mit geeigneten Landkarten beschreiben kann. Hier im zweiten Teil malen wir erstmal Linien, Dreiecke und Kreise in unseren gekrümmten Räumen. Damit können wir dann eine erste Idee bekommen, wie die Sonne den Raum krümmt.
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist (k)eine Gerade
Die Raumkrümmung (beschrieben durch den von Ort zu Ort wechselnden Maßstab) ist auch für ein anderes wichtiges Phänomen verantwortlich: Bestimmt habt ihr euch irgendwann mal darüber gewundert, dass Flugrouten für lange Strecken auf Karten nie gerade aussehen. Fliegt man beispielsweise von Deutschland nach Japan (so wie ich vor zwei Jahren, das war super…), so führt der kürzeste Weg nicht etwa über Kasachstan und die Mongolei, sondern eher über Sibirien:
(Bild gemacht mit dem Programm auf https://www.distancefromto.net/. Ähnlich gut ist auch der Rechner von daftlogic.)
An unserer Karte vom letzten Mal lässt sich das leicht verstehen: Da nach Norden hin die Abstände zwischen den Längengraden immer kleiner werden, führt der kürzeste Weg von West nach Ost nicht genau entlang eines Breitengrades, sondern etwas nach Norden:
Dabei muss ich zwar einen Nord-Süd-Umweg machen, aber in Ost-West-Richtung wird die Strecke reduziert, so dass ich netto etwas gewinne. Wenn ihr euren Globus zur Hand habt, dann könnt ihr das mit einem gespannten Faden ausprobieren, mit dem ihr zwei Punkte verbindet.
Normalerweise nennt man die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ja eine Gerade. Auf der Erdoberfläche ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ein Abschnitt eines Kreisbogens, der genau den Erdumfang hat. Betrachtet man den Globus im dreidimensionalen Raum, so erkennt man, dass der Kreisbogen gekrümmt ist; innerhalb unserer Kartenwelt ist aber dieser Weg (obwohl er nicht genau auf unserem Koordinatengitter verläuft) der kürzeste und damit geradeste Weg, den wir finden können. Auch hier ist es wieder so, dass man alles, was man am Globus sehen kann, auch nur mit der geeigneten Karte herausbekommen kann – die Metrik (also der verzerrte Maßstab der Karte) reicht.
Eine solche Linie, die zwei Punkte auf die kürzest-mögliche Weise verbindet, heißt Geodäte. (Auf der Kugel spricht man manchmal auch von Orthodromen.) Sie ist für alles, was jetzt kommt, extrem wichtig. Also: diesen Begriff merken.
Nachtrag: Dies ist nicht die exakte Definition einer Geodäten – jede kürzeste Verbindung ist eine Geodäte, aber nicht jede Geodäte ist automatisch eine kürzeste Verbindung. Der Weg vom Norpol über den 180sten Längengrad zum Südpol und dann nach Greewich ist eine Geodäte, aber nicht die kürzeste Verbindung (die geht direkt vom Nordpol nach Greenwich). Darauf hat mich gerade “physiker” in den Kommentaren hingewiesen.
Dreiecke
Als nächstes betrachten wir Dreiecke. Dreiecke haben bekanntlich drei Ecken (das legt der Name ja irgendwie nahe), die mit geraden Seiten verbunden werden. Auf unserer gekrümmten Fläche sind diese geraden Seiten jetzt allerdings Geodäten, keine einfachen Geraden. Aber bevor wir uns ein solches Dreieck angucken, hier erstmal ein handelsübliches Dreieck in der Ebene, ganz ohne verzerrte Maßstäbe und Ähnliches:
Eingezeichnet habe ich drei Winkel, a, b und c und ein paar Hilfslinien.
Mit denen beweisen wir jetzt den bekannten Satz “Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°”. Keine Sorge, wenn ihr keine Beweise mögt, den hier werdet ihr mögen, denn er ist wunderbar einfach. Ihr malt also ein großes Dreieck wie das oben auf den Boden. Dann stellt ihr euch in der Ecke des Winkels a genau auf das Dreieck. Vor euch tragt ihr einen Stock, der genau parallel zur Kante zeigt, die von a nach b führt. Jetzt geht ihr los, dabei achtet ihr darauf, den Stock immer genau parallel zur Kante zu lassen. (Diese Aktion heißt deshalb bei Mathematikerinnen auch “Paralleltransport”.) In der b-Ecke angekommen, dreht ihr euch jetzt, bis der Stock parallel zur Kante b-c liegt. Der Drehwinkel, den ihr braucht, ist dabei 180°-b. (Falls das nicht offensichtlich erscheint, dreht euch erst um 180° zurück, dann um b wieder vorwärts.)
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