Alternativ kann man eine negative Krümmung auch als Sattel darstellen, wie dieses Bild hier veranschaulicht:

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Anders als bei der Kugel kann man eine negativ gekrümmte Fläche aber nicht vollständig in den dreidimensionalen Raum einbetten – Details dazu findet Ihr bei Thilos “Topologie von Flächen” (siehe die Links oben).

Der “Überschussradius” auf der Pseudosphäre
Bei der Kugeloberfläche hatten wir ja gesehen, dass der gemessene Radius eines Kreises größer ist, als der gemessene Umfang erwarten lässt. Auch das ist bei einem Kreis in einem negativ gekrümmten Raum anders: Hier ist der Umfang größer, als der Radius erwarten lassen würde. Man sieht das häufig bei Kartoffelchips: Die haben eine sattelförmige Form, sind also auch negativ gekrümmt. Das liegt wohl daran, dass sie sich, wenn man sie frittiert, außen schneller dehnen als innen, so dass der Radius beim Ausdehnen mit dem Umfang nicht hinterher kommt.

Man kann das auch ausnutzen, wenn man zum Beispiel Pizza isst (den trick habe ich von Wikipedia): Schneidet man ein Stück aus einer Pizza, hängt das ja gern nach unten durch und führt zu einer Sauerei. Das kann man mit einem Trick verhindern:

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Hier seht ihr oben ein Pizzastück mit Koordinatensystem (die meisten Pizzabäckerinnen servieren ihre Pizza seltsamerweise ohne…). Biegt man die Seiten hoch, wie im zweiten Bild, so ist das Stück zwar gebogen (wie ein Zylinder), hat aber keine echte (“innere”) Krümmung, denn man kann es wieder auf den Teller ablagen, ohne dass sich irgendetwas auf der Pizza verzerrt. (Das ist auch der Grund, warum die Spitze überhaupt herunterhängen kann, dazu muss kein Pizzamaterial gedehnt oder gestaucht werden.)

Sind die Seiten der Pizza nach oben gebogen, dann müsste die Pizza zum Durchhängen an der Spitze sich aber negativ (wie ein Sattel oder die Pseudosphäre) krümmen, wie ihr im dritten Bild seht. Dabei würden sich Längen und Winkel im Pizzastück ändern, und dazu müsste sich das Material verformen.

Man kann eine negativ gekrümmte Fläche auch häkeln oder stricken, wie dieses Bild hier zeigt:

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Warnhinweis
Nach allem, was ich bisher geschrieben habe, könnte jetzt jemand auf folgende Idee kommen: “Es ist ganz einfach, herauszufinden, ob ein Raum gekrümmt ist: Man zeichnet ein paar Geodäten in ein Koordinatensystem ein, wenn die (oder zumindest einige davon) krumm sind, dann ist der Raum gekrümmt.”

Das wird ja vielleicht durch die Landkartenbilder, wie ich sie bisher verwendet habe, suggeriert. Es ist aber falsch. Davon könnt ihr euch leicht mit diesem Bild überzeugen:

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Hier habe ich links ein Koordinatennetz in der Ebene gezeichnet, das so aussieht wie die Längen- und Breitengrade am Nordpol (sogenannte Polarkoordinaten – obwohl die nach dem Bild oben genausogut Pizzakoordinaten heißen könnten). Aber hier ist das Bild wirklich in die Ebene gezeichnet, es gibt also keine Krümmung.

Wenn ich aber die Linien mit gleichen Werten (rot und blau) rauszeichne (orangener Kasten) und geradeziehe, so wie rechts im Bild, dann wird aus der ursprünglich geraden grünen Linie eine “gekrümmte” Linie. Das hat aber nichts mit der Krümmung der zugrundeliegenden Fläche zu tun – die Ebene ist nicht gekrümmt. Es liegt nur an einer “ungeschickten” Wahl der Koordinaten. Durch bloße Wahl eines Koordinatensystems kann man natürlich nicht aus einer ungekrümmten Fläche eine gekrümmte machen.

In einem gekrümmten Raum ist die Sache komplizierter. Da die Geodäten selbst (die ja das Geradeste sind, was man im gekrümmten Raum finden kann) schon gekrümmt sind, gibt es keine optimale Wahl der Koordinaten – selbst wenn man die Geodäten nehmen würde, würde die Krümmung ja nicht plötzlich verschwinden. Die mathematischen Regeln der Geometrie stellen sicher, dass man jedes Koordinatensystem verwenden kann, solange es gewisse Bedingungen (Stetigkeit etc.) erfüllt.

Der richtige Weg, um die Krümmung eines Raums festzustellen, ist, eine der folgenden Methoden anzuwenden:

  • Berechne den “Überschussradius” eines Kreises (der bei negativer Krümmung dann auch negativ ist), so wie wir es im letzten Teil für die Sonne gemacht haben, oder
  • Messe die Winkelsumme eines Dreiecks oder
  • Zeichne ein “Quadrat” wie im ersten Teil: erst a Einheiten in die eine, dann b in die andere Koordinatenrichtung, dann umgekehrt und messt die Abweichung zwischen beiden Routen (ihr erinnert euch an das verpatzte Rendezvous mit eurer besseren Hälfte?) oder
  • Zeichne zwei eng benachbarte Geodäten, die “anfänglich parallel” laufen, d.h. die durch eine Geodäte verbunden werden, mit der sie jeweils einen rechten Winkel einschließen. Wenn die beiden Geodäten sich annähern oder entfernen, dann ist der Raum gekrümmt. Diese Methode werden wir vermutlich demnächst noch ausführlich benutzen…

In allen diesen Fällen stellt man fest, dass die Abweichungen (Überschussradius, Abweichung der Winkelsumme von 180°, Diskrepanz zwischen den beiden Endpunkten, Auseinanderlaufen der Geodäten) um so größer werden, je größer die eingeschlossene Fläche ist. Macht man die nur klein genug, dann sieht auch der gekrümmteste Raum flach aus – so wie die Erdoberfläche ja lokal auch immer flach erscheint; von der Krümmung merkt man auf einem Fußballfeld nichts.

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Kommentare (12)

  1. #1 Christian A.
    30. Januar 2011

    Eh-hehehe. “Wenn man was verstehen will, ein Buch darüber schreiben oder eine Vorlesung halten”. Hast du selber irgendwo geschrieben, und ist doch cool! Zack, auf einmal ergibt das Verständnis wieder Stoff für mehr. Schöne Serie!

  2. #2 MartinB
    30. Januar 2011

    @ChristianA
    Ja, so ist das – wie oft habe ich schon gedacht, ich hätte irgendwas verstanden, und dann beim Erklären gemerkt, dass es doch noch irgendwo hakt. Beim Erklären merkt man halt am besten, wo man ins Schleudern kommt.

  3. #3 binE
    30. Januar 2011

    Ich will mich ja nicht beschweren, aber Pizzabäckerinnen? Soll das andeuten, daß die meisten Pizzabäcker ihre Pizza MIT Koordinatensystem servieren 😉

    Hihi, danke für die wunderbar anschauliche Lehrstunde!

  4. #4 MartinB
    30. Januar 2011

    @binE
    Mal die weibliche Form zu wählen, ist halt so eine Marotte von mir…

  5. #5 binE
    30. Januar 2011

    Stimmt! Bei dir kommen ja auch mal Physikerinnen vor. Hatte ich ganz vergessen…

  6. #6 erik
    31. Januar 2011

    @MB
    „Der richtige Weg, um die Krümmung eines Raums festzustellen, ist, eine der folgenden Methoden anzuwenden: . . . „
    und
    als Überschrift von Teil III.“Wie man RaumZeit krümmt.“

    Ich warte auf die Fortsetzung! Bald müssten wir auf folgendes stossen:
    RaumZeit-Krümmung
    „Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch jede Form von Energie, wie etwa Masse, Strahlung oder Druck, verursacht. Diese Größen bilden zusammen den Energie-Impuls-Tensor und gehen in die Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang von Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben – in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c2 beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.“ (wikipedia)

    Dann müsste folgen:
    “Wie man RaumZeit krümmt.“: Indem „WIR“ Einfluss auf den Energie-Impuls-Tensor nehmen und somit das Gravitationsfeld verändern.
    Warum nur fällt mir folgendes dazu ein?: Lasst uns Nachdenken, wie wir Einfluss auf den Energie-Impuls-Tensor nehmen und das Gravitationsfeld beinflussen können?
    Ist das nicht verantwortungsloses Denken? Schwub-di-wub und Materie ist einfach so weg! Aber nur wenn ich die RaumZeit-Krümmung wieder glattbügle.
    Solch ein Bügeleisen hat aber keiner, nicht war?

  7. #7 LeChiffre
    Düsseldorf Germany
    21. Februar 2019

    @ erik
    Zu ” die Krümmung von Raum u Zeit (das ist schonmal falsch. Das gehört zusammen; Raumzeit, heisst es) wird durch jedwede Form von Energie wie Masse, Strahlung od. Druck verursacht” (druck ist falsch. Druck kann die Raumzeit nicht krümmen. Es ist eig. eine Gegenkraft zu Gravitation. Es kann wie im Sternen aber der Gravitation entgegenwirken so dass der Stern stabilität Gewinnt und nicht unter sein eigenes Gewicht kollabiert.)Das was danach folgt ergibt keinen sinn! Du bringst einiges durcheinander.Eine Geodäte ist die linie in einer Kugel, die 2 punkte verbindet.

  8. #8 MartinB
    22. Februar 2019

    @LeChiffre
    “druck ist falsch. Druck kann die Raumzeit nicht krümmen”
    Doch, natürlich. Das ist ein ganz wichtiger Effekt:
    https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2018/12/31/warum-schwarze-loecher-unausweichlich-sind/

    Ansonsten ergeben Eriks Texte nie einen Sinn…

  9. #9 Quanteder
    22. Februar 2019

    . . . .. ach die guten alten Zeiten (seufz)

    Es war und ist immer noch schwer meine Kommentare richtig zu dechiffrieren 🙂
    Manchmal denke ich („Nachdenken“ in #6), das ich in einer Geodätischen Kuppel sitze und meine Blicke den Geodäten auf der Kuppeloberfläche folgen.
    Siehe auch https://de.m.wikipedia.org/wiki/Geodätische_Kuppel

    . . . .. Könnte auch sein ich befinde mich in meinem Denken in einer Geodätischen Sphäre. Plötzlich erscheinst du, lieber LeChiffre, irgendwo auf der Oberfläche meiner Geodätischen Sphäre und aktivierst meine Sinne irgendwo im Inneren dieses Raumes. Du fällst irgendwie aus der Zeit und setzt eine [1] auf die GeoSphäre und ich muss einem inneren Zwang folgen und dieser Erschütterung der Dunklen Macht ein Gleiches entgegensetzen . . . .. eine [1]

    Wundere dich nicht, wenn meine [1] andere Eigenschaften besitzt als die deinige . . . .. und beide zu addieren bringt mir Erkenntnis und dir Nichts 🙂

    L||NL
    1||1

  10. #10 Quanteder
    22. Februar 2019

    #8
    Gilt ihre Aussage auch für einen Quanteder?
    Wenn ja, dann biete ich ihnen und allen „Zuhörerern“ auf diesem Blog einen „Macht Sinn – macht keinen Sinn“ – Wettbewerb an.
    Thema: Warum – Wieso – Wahrscheinlichkeitsamplitude 1 ???

    Zum Beispiel: Nimmt eine Wahrscheinlichkeitsamplitude 1 Bezug auf Lokaliät || Nichtlokalität ? . . . .. L||NL . . . .. 1||1 ??
    • macht Sinn?
    • macht keinen Sinn?

    Das führen wir solange fort, bis „WIR“ eine wissenschaftliche Aussage formuliert haben!

  11. #11 MartinB
    22. Februar 2019

    @Quanteder
    Nein, das tun “wir” nicht. Das könnt ihr gern irgendwo anders tun, wenn ihr das wollt, aber nicht auf meinem Blog.

    Im übrigen gibt es hier keine alten Kommentare von dir, es sei denn, du hast den Nickname gewechselt – was von mir generell nicht so gern gesehen ist.

  12. #12 Quanteder
    22. Februar 2019

    . . . .. so soll es sein