Bisher haben wir in dieser Serie Krümmungen angeguckt, die analog zur Krümmung der Erdoberfläche waren: Winkelsummen im Dreieck waren größer als 180°, Kreise hatten einen Überschussradius. Es gibt aber auch eine andere Möglichkeit: Die negative Krümmung.
Falls Euch die genauen Details der Krümmung nicht so schrecklich interessieren, könnt ihr euch damit begnügen, kurz die Bilder anzugucken (damit bekommt ihr eine Idee, was negative Krümmung ist) und dann direkt unten zum Warnhinweis springen.
Wieder mal ein Dreieck
Als erstes werfen wir noch einmal einen Blick auf das Dreieck aus dem letzten Teil:
Der Abstand zwischen zwei Breitengraden (hier für jeweils 15° aufgetragen), also in senkrechter Richtung im Bild, war dabei immer gleich, der zwischen zwei Längengraden änderte sich, je weiter man nach Norden kam, aber war wiederum nicht vom Breitengrad abhängig (alle horizontalen Linien auf derselben Höhe haben denselben Wert).
Als nächstes machen wir jetzt die Sache ein bisschen komplizierter: Wir ändern auch den Abstand zwischen den Breitengraden, je weiter wir nach Norden gehen, aber so, dass der Abstand immer größer wird:
Je weiter ihr im Bild nach “Norden” geht, desto enger rücken nach wie vor die Längengrade zusammen; doch gleichzeitig vergrößert sich der Abstand zwischen den Breitengraden immer mehr. Auch hier sind beim selben Wert des Breitengrades jeweils alle Abstände gleich groß, das ganze ist also immer noch recht gleichmäßig.
Auch in diesem Fall kann man, genauso wie beim letzten Mal, die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten suchen. Verbindet man beispielsweise (wie im Dreieck auf der Landkarte der Erde oben) zwei Punkte auf dem gleichen Breitengrad, dann ist der kürzeste Weg wiederum nicht der, der auf dem Breitengrad läuft. Gehen wir etwas nach Norden, dann verkürzt sich der Abstand wieder, auf der anderen Seite ist der Umweg nach Norden aber auch “teurer”, weil sich die vertikalen Abstände im Bild nach Norden hin immer weiter vergrößern. Dankenswerterweise gibt es aber Formeln für die Geodäten in dieser Situation (siehe unten), so dass es mir (mit ein bisschen Spielerei mit gnuplot) schließlich gelungen ist, ein ähnliches Dreieck wie für die Erdkugel auch in diese neue Landkarte einzuzeichnen:
Auf den ersten Blick sieht es ganz ähnlich aus wie das Dreieck auf der Erdkugel, aber die Winkel sind alle etwas spitzer geworden. Misst man die Winkelsumme korrekt nach, so stellt man fest, dass sie kleiner als 180° ist.
Der Raum dieser Landkarte ist also auch gekrümmt, aber anders als die Kugel. Man spricht auch von einer negativen Krümmung. Dabei ist die Winkelsumme kleiner als 180°, nicht größer. Zu einer Geodäten gibt es durch einen benachbarten Punkt nicht bloß eine Parallele, sondern gleich unendlich viele.
Aber ich geb’s zu: Das ist etwas unanschaulich, wenn man nur auf die Karte schaut. Die durch die Karte dargestellte gekrümmte Fläche lässt sich allerdings (mit einigen Hindernissen) als Fläche im dreidimensionalen Raum darstellen. So sieht diese Fläche aus:
Es handelt sich um die berühmte Pseudosphäre, über die unser Topologie-Experte Thilo schon mehrfach berichtet hat, nämlich in seiner Topologie-Serie Folge IL, Folge LIV und Folge LV, weil sie eine Darstellung der sogenannten hyperbolischen Geometrie erlaubt.
Hier habe ich ein ähnliches Dreieck wie oben auf meiner Landkarte in das Pseudosphärenbild von Wikipedia eingezeichnet:
Basierend auf einem Bild von Claudio Rocchini – Own work, CC BY 2.5, Link
Falls jemand wissen will, wie ich das Bild oben berechnet habe: Auf Wolfram Alpha findet man eine Formel sowohl für die Metrik der Pseudosphäre als auch für die Geodäte. Der Abstand auf einer Linie oben entspricht der Wurzel aus der Metrik, da ja ds2=gμνdxμdxν ist. Die angegebene Formel für die Geodäte habe ich genutzt, um für zwei gegebene Koordinatensätze (u1, v1) und (u2, v2) die Konstanen c und k in der Geodätenformel auszurechnen und habe das Ergebnis in gnuplot dargestellt. Als letztes habe ich noch die Koordinaten wie folgt umdefiniert: Eigentlich verbindet das Dreieck die Punkte (1.5, 0) (1.5, 1) und (1,1) im Koordinatensystem von Wolfram Alpha. Ich habe die Abstände mit 1000 multipliziert und als letztes die Achsbeschriftungen so geändert, dass auf der horizontalen Achse aus der 1 eine 45 wird, auf der vertikalen Achse aus der 1 eine 0 und aus der 1.5 eine 45, damit es besser zur Landkarte der Erde passt.
Alternativ kann man eine negative Krümmung auch als Sattel darstellen, wie dieses Bild hier veranschaulicht:
Anders als bei der Kugel kann man eine negativ gekrümmte Fläche aber nicht vollständig in den dreidimensionalen Raum einbetten – Details dazu findet Ihr bei Thilos “Topologie von Flächen” (siehe die Links oben).
Der “Überschussradius” auf der Pseudosphäre
Bei der Kugeloberfläche hatten wir ja gesehen, dass der gemessene Radius eines Kreises größer ist, als der gemessene Umfang erwarten lässt. Auch das ist bei einem Kreis in einem negativ gekrümmten Raum anders: Hier ist der Umfang größer, als der Radius erwarten lassen würde. Man sieht das häufig bei Kartoffelchips: Die haben eine sattelförmige Form, sind also auch negativ gekrümmt. Das liegt wohl daran, dass sie sich, wenn man sie frittiert, außen schneller dehnen als innen, so dass der Radius beim Ausdehnen mit dem Umfang nicht hinterher kommt.
Man kann das auch ausnutzen, wenn man zum Beispiel Pizza isst (den trick habe ich von Wikipedia): Schneidet man ein Stück aus einer Pizza, hängt das ja gern nach unten durch und führt zu einer Sauerei. Das kann man mit einem Trick verhindern:
Hier seht ihr oben ein Pizzastück mit Koordinatensystem (die meisten Pizzabäckerinnen servieren ihre Pizza seltsamerweise ohne…). Biegt man die Seiten hoch, wie im zweiten Bild, so ist das Stück zwar gebogen (wie ein Zylinder), hat aber keine echte (“innere”) Krümmung, denn man kann es wieder auf den Teller ablagen, ohne dass sich irgendetwas auf der Pizza verzerrt. (Das ist auch der Grund, warum die Spitze überhaupt herunterhängen kann, dazu muss kein Pizzamaterial gedehnt oder gestaucht werden.)
Sind die Seiten der Pizza nach oben gebogen, dann müsste die Pizza zum Durchhängen an der Spitze sich aber negativ (wie ein Sattel oder die Pseudosphäre) krümmen, wie ihr im dritten Bild seht. Dabei würden sich Längen und Winkel im Pizzastück ändern, und dazu müsste sich das Material verformen.
Man kann eine negativ gekrümmte Fläche auch häkeln oder stricken, wie dieses Bild hier zeigt:
Warnhinweis
Nach allem, was ich bisher geschrieben habe, könnte jetzt jemand auf folgende Idee kommen: “Es ist ganz einfach, herauszufinden, ob ein Raum gekrümmt ist: Man zeichnet ein paar Geodäten in ein Koordinatensystem ein, wenn die (oder zumindest einige davon) krumm sind, dann ist der Raum gekrümmt.”
Das wird ja vielleicht durch die Landkartenbilder, wie ich sie bisher verwendet habe, suggeriert. Es ist aber falsch. Davon könnt ihr euch leicht mit diesem Bild überzeugen:
Hier habe ich links ein Koordinatennetz in der Ebene gezeichnet, das so aussieht wie die Längen- und Breitengrade am Nordpol (sogenannte Polarkoordinaten – obwohl die nach dem Bild oben genausogut Pizzakoordinaten heißen könnten). Aber hier ist das Bild wirklich in die Ebene gezeichnet, es gibt also keine Krümmung.
Wenn ich aber die Linien mit gleichen Werten (rot und blau) rauszeichne (orangener Kasten) und geradeziehe, so wie rechts im Bild, dann wird aus der ursprünglich geraden grünen Linie eine “gekrümmte” Linie. Das hat aber nichts mit der Krümmung der zugrundeliegenden Fläche zu tun – die Ebene ist nicht gekrümmt. Es liegt nur an einer “ungeschickten” Wahl der Koordinaten. Durch bloße Wahl eines Koordinatensystems kann man natürlich nicht aus einer ungekrümmten Fläche eine gekrümmte machen.
In einem gekrümmten Raum ist die Sache komplizierter. Da die Geodäten selbst (die ja das Geradeste sind, was man im gekrümmten Raum finden kann) schon gekrümmt sind, gibt es keine optimale Wahl der Koordinaten – selbst wenn man die Geodäten nehmen würde, würde die Krümmung ja nicht plötzlich verschwinden. Die mathematischen Regeln der Geometrie stellen sicher, dass man jedes Koordinatensystem verwenden kann, solange es gewisse Bedingungen (Stetigkeit etc.) erfüllt.
Der richtige Weg, um die Krümmung eines Raums festzustellen, ist, eine der folgenden Methoden anzuwenden:
- Berechne den “Überschussradius” eines Kreises (der bei negativer Krümmung dann auch negativ ist), so wie wir es im letzten Teil für die Sonne gemacht haben, oder
- Messe die Winkelsumme eines Dreiecks oder
- Zeichne ein “Quadrat” wie im ersten Teil: erst a Einheiten in die eine, dann b in die andere Koordinatenrichtung, dann umgekehrt und messt die Abweichung zwischen beiden Routen (ihr erinnert euch an das verpatzte Rendezvous mit eurer besseren Hälfte?) oder
- Zeichne zwei eng benachbarte Geodäten, die “anfänglich parallel” laufen, d.h. die durch eine Geodäte verbunden werden, mit der sie jeweils einen rechten Winkel einschließen. Wenn die beiden Geodäten sich annähern oder entfernen, dann ist der Raum gekrümmt. Diese Methode werden wir vermutlich demnächst noch ausführlich benutzen…
In allen diesen Fällen stellt man fest, dass die Abweichungen (Überschussradius, Abweichung der Winkelsumme von 180°, Diskrepanz zwischen den beiden Endpunkten, Auseinanderlaufen der Geodäten) um so größer werden, je größer die eingeschlossene Fläche ist. Macht man die nur klein genug, dann sieht auch der gekrümmteste Raum flach aus – so wie die Erdoberfläche ja lokal auch immer flach erscheint; von der Krümmung merkt man auf einem Fußballfeld nichts.
Dahinter steckt ein Geheimnis der Relativitätstheorie: Egal wie kompliziert die Schwerefelder (und damit die Raumkrümmung) an einem Raumzeitpunkt sind, für hinreichend kleine Abstände und hinreichend kurze Zeiten sieht man von der Krümmung nichts und die Umgebung des aktuellen Raumzeitpunktes erscheint flach, genau so, wie man auf einem Stadtplan nichts von der Krümmung der Erdoberfläche merkt.
Eigentlich wollte ich in dieser Miniserie ja nur die Krümmung erklären und warum man einen gekrümmten Raum nicht unbedingt in einen Hyperraum einbetten muss, sondern ihn vollständig mit einer Metrik (den Landkarten) beschreiben kann. Aber nachdem ich in den letzten Tagen noch einiges gelesen und verstanden habe, wird es wohl noch einen vierten (und fünften??) Teil geben…
Hier ein Überblick über die ganze Serie:
Wie man die Raumzeit krümmt. Teil I: Spielereien mit Landkarten
Wie man die Raumzeit krümmt. Teil II: Warum der Sonnenradius “zu groß” ist
Wie man die Raumzeit krümmt. Teil III Negative Krümmung und ein Tipp zum Pizza-Essen
Wie man die Raumzeit krümmt. Teil IV: Raumzeit – was ist das eigentlich?
Wie man die Raumzeit krümmt. Teil V Warum es keine Schwerkraft gibt
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