(Den Trick habe ich von meinem Doktorvater, der den Mathe-Vorkurs für Studienanfänger damit begann, einen Haufen Minuszeichen an die Tafel zu schreiben…)
Damit man sich bei den Vorzeichen nicht verheddert, verwendet man oft die Schreibweise mit ko- und kontravarianten Vektoren – dann schreibt man das Produkt als
mit
Man merkt sich das am besten mit der schönen η-Matrix
Mit der kann man die Indices von oben nach unten ziehen. Damit ist dann
Für η gilt
Wer mit Ko’s und Kontra’s durcheinander kommt, kann sich den politischen Satz merken “Die Kontras sind oben.”
Aber keine Sorge, so im Detail werde ich mit ko- und kontravarianten Vektoren nicht rumrechnen (ich bin Weltmeister im Verheddern bei solchen Rechnungen) – ich schreibe das hier nur der Vollständigkeit halber hin. Ausführlicher erklärt das beispielsweise die Wikipedia oder das Gravitations-Buch von Misner, Thorne, Wheeler.
So, hier geht’s jetzt wirklich für alle weiter:
Bastelt man sich nun so eine unabhängige Größe aus Vierervektoren, so hat das einen großen Vorteil: Man kann sich jeweils in das Bezugssystem setzen, in dem die Rechnung besonders einfach ist (beispielsweise in das Ruhesystem eines Teilchens). Wenn eine solche unabhängige (man sagt auch “invariante”) Größe dort einen bestimmten Wert hat, dann hat sie ihn überall. Man rechnet also erst im “einfachsten” Bezugssystem, und danach geht man in das, das einen eigentlich interessiert.
Diesen Trick werde ich öfters mal verwenden – er spielt zum Beispiel eine zentrale Rolle bei der Frage, warum sich gleiche elektrische Ladungen abstoßen, aber Massen immer anziehen.
Und damit haben wir auch alles zusammengesammelt, was wir über Relativitätstheorie wissen müssen, um eine relativistische Quantenfeldtheorie basteln zu können. Als nächstes kümmern wir uns um Quanten.
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