Und für A(2,x) geht’s genauso:
Eine Wahrscheinlichkeit kann natürlich nie den Wert 2 haben – zeichnet sich so nur einfacher und ihr müsst euch nicht mit kleinen Zahlen rumschlagen. Denkt euch einfach, die Einheit der Wahrscheinlichkeit wäre hier Prozent, dann passt’s.
Genauer gesagt braucht man das Betragsquadrat: |A(1,x)|² und |A(2,x)|²
Sind beide Spalte geöffnet, müssen wir erst die Amplituden addieren (es sind ja zwei unterschiedliche Möglichkeiten) und dann für die Wahrscheinlichkeit das Ergebnis quadrieren (quadrieren=das Quadrat zeichnen):
Falls ihr nachrechnen wollt: Die eine Amplitude ist (1+i) mit Betragsquadrat 2, die andere (i) mit Betragsquadrat 1. Die Summe (1+2i) hat das Betragsquadrat (1+2i)⋅(1-2i)=5
Die Wahrscheinlichkeit ist also nicht einfach die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten, sondern sie ist größer, weil die beiden Pfeile in ähnliche Richtungen zeigen und wir erst addieren und dann quadrieren. Das sorgt dafür, dass wir nicht einfach zwei überlagerte “Blobs” (für die beiden Einzelspalte) beobachten, sondern ein echtes Interferenzmuster wie dieses hier:
(Bild von Wikipedia)
An den Stellen, wo wir wenige Elektronen sehen, zeigen die zugehörigen Pfeile entsprechend ungefähr in entgegengesetzte Richtungen, so dass der Gesamtpfeil sehr kurz (im Extremfall sogar Null) wird.
In Formeln ergibt sich (wobei der * das Komplex-Konjugierte bezeichnet): | A(1,x) + A(2,x)|² = |A(1,x)|² + |A(2,x)|² + A(1,x) ⋅ A*(2,x) + A*(1,x) ⋅ A(2,x)
Dank unserer Pfeiltechnik können wir ziemlich schnell verstehen, wie das Ergebnis des Doppelspaltversuchs zu Stande kommt. Dazu muss man nur eins wissen: Bewegt sich ein Elektron (wie hier) auf einem geraden Pfad zwischen zwei Punkten, dann rotiert sein Amplitudenpfeil mit konstanter Geschwindigkeit. (Wie man das verstehen kann, erkläre ich ein andermal, nehmt es am besten jetzt einfach als “Gesetz”.)
Wenn wir einen Punkt in der Mitte des Schirms anschauen, dann hat das Elektron auf beiden Wegen dieselbe Wegstrecke zurückzulegen, also rotieren die Pfeile genau im Gleichtakt:
Die Gesamtamplitude ist die Summe der beiden Pfeile – und weil sie auch am Endpunkt um denselben Betrag rotiert sind, zeigen sie in die selbe Richtung und der Gesamtpfeil (in rot) wird entsprechend lang. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron hier zu finden, ist also groß.
Anders sieht die Sache aus, wenn wir einen etwas weiter oben gelegenen Punkt betrachten. Auf dem oberen Weg hat das Elektron einen etwas kürzeren Weg, auf dem unteren einen etwas längeren. Der Pfeil für den oberen Weg rotiert also etwas weniger, der für den unteren etwas mehr:
Der Gesamtpfeil wird dadurch sehr kurz, weil beide Pfeile fast in entgegengesetzte Richtungen zeigen (und wenn ich nicht so schlampig gezeichnet hätte, würden sie sich exakt aufheben). Hier werden wir das Elektron also nur mit sehr kleiner Wahrscheinlichkeit finden.
Wenn wir weiter nach oben gehen, dann erreichen wir irgendwann den Punkt, wo der Pfeil des Elektrons auf dem unteren Weg eine volle Umdrehung mehr macht als auf dem oberen, so dass beide wieder in dieselbe Richtung zeigen. Hier finden wir dann wieder ein Maximum unserer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Ihr seht also, dass man mit dieser einfachen “Pfeilmethode” das Doppelspaltexperiment leicht erklären kann. Wir brauchen dazu keine “Wellenfunktionen” und müssen auch keine Schrödingergleichung lösen – es reicht völlig, kleine Pfeile zu zeichnen.
Nun haben Elektronen sicher etwas besseres zu tun, als immer nur durch Doppelspalte zu fliegen, auch wenn man beim Lesen von Texten zur Quantenmechanik manchmal diesen Eindruck bekommt. Was dann passiert, verrät euch der nächste Teil…
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