Elektronen am Doppelspalt sind seltsam: Statt brav durch einen der beiden Spalte zu fliegen, fliegen sie irgendwie durch beide gleichzeitig und wechselwirken quasi mit sich selbst, das haben wir letztes Mal gesehen. Noch seltsamer dürfte es also werden, wenn man den Elektronen ein paar mehr Freiheiten lässt, statt sie durch einen ollen Doppelspalt zu zwingen.
Machen wir das Leben unseres Elektrons also ein bisschen interessanter. Was passiert zum Beispiel, wenn wir einen dritten Spalt dazunehmen? Dann müssen wir entsprechend die drei Amplituden addieren: A(1,x)+A(2,x)+A(3,x), und dann quadrieren (und es ergeben sich mehr Inteferenzterme).1 Und wenn wir einen vierten, fünften, sechsten, hundertsten oder tausendsten Spalt öffnen? Dann müssen wir die Amplitude für alle Spalten nehmen und die alle erst addieren und dann quadrieren.
1Dass das tatsächlich genauso funktioniert und nicht irgendwelche komplizierteren Dinge passieren, hat man letztes Jahr experimentell noch einmal geprüft; Details hat Jörg (ziemlich unterhaltsam) beschrieben.
Und wenn wir einen zweiten Schirm hinter den ersten stellen und in den auch Löcher bohren? Dazu nummeriere ich jetzt die Spalten auf den Schirmen durch, der erste Schirm bekommt den Namen S und hat die Spalte S1, S2 usw., der zweite T1, T2 usw. Das sieht dann so aus (ich habe nicht alle Möglichkeiten eingezeichnet, sonst erkennt man überhaupt nix mehr):
(Upps, da ist eine gestrichelte Linie von S3 nach S4 – die hat da nichts zu suchen, denkt sie euch bitte weg.)
Damit wir jetzt nicht den Faden verlieren, schreibe ich die bisherige Amplitude A(1,x) etwas anders: Das Elektron startet an unserer Quelle Q (da, wo es ausgesandt wird), fliegt von da zum Spalt S1 und dann weiter nach x. Es gibt also einen Pfeil für das erste Wegstück, genannt A(Q,S1), und einen für das zweite Wegstück, der heißt entsprechend A(S1,x).
Wenn das Elektron erst von Q nach S1 fliegt und dann von S1 nach x, dann müssen beide Ereignisse passieren, damit das Elektron auch am Ende ankommt. Nach unseren Regeln heißt das, dass ich die beiden Pfeile multiplizieren muss:
A(1,x) = A(Q,S1) A(S1,x)
Ich male das nicht nochmal mit Pfeilen hin – ich hoffe einfach, dass nach dem letzten Mal klar ist, wie das geht (sonst guckt noch mal nach).
Mit zwei Schirmen hintereinander gibt es jetzt eine Amplitude
A(Q,S1)A(S1,T1)A(T1,x)
dafür, dass das Elektron von der Quelle erst durch den Schlitz S1 fliegt, dann durch T1, und dann nach x. Weil die drei Ereignisse nacheinander passieren müssen, werden die einzelnen Amplituden wieder multipliziert.
Für jede andere Kombination von Spaltdurchflügen (erst S3, dann T117) gibt es einen entsprechenden Term. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass das Elektron bei der Quelle Q losfliegt und bei x ankommt, ist die Summe über alle Möglichkeiten (Das schreibe ich jetzt aber mit LaTeX):
Sieht beängstigend aus? Ist es eigentlich gar nicht. Ihr könnt es so lesen:
“Um von Q nach x zu kommen, muss das Elektron entweder von Q nach S1 nach T1 nach x fliegen oder von Q nach S2 nach T1 nach x oder … oder von Q nach S1 nach T2 nach x oder …”
Pluszeichen stehen ja für “oder” – denn unterschiedliche Möglichkeiten werden addiert – Malzeichen für erst … dann ….
Also: Wir addieren alle Möglichkeiten, bei denen das Elektron durch den Spalt T1 geht (mit allen Möglichkeiten für S), dann alle, bei denen es durch T2 geht und so weiter. Das ergibt dann die gesamte Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, von Q nach x zu kommen.
Diesen Ausdruck müssen wir jetzt quadrieren (das gibt natürlich einen ziemlichen Wust), um die Wahrscheinlichkeit zu bekommen.
Und wenn wir einen dritten Schirm dazunehmen? Dann müssen wir über alle Möglichkeiten addieren, erst von der Quelle zum ersten zu kommen, dann vom ersten zum zweiten, dann vom zweiten zum dritten, dann vom dritten zum Ziel.
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