Und was sollen wir aufaddieren? Die Amplituden A(W) für jeden einzelnen Pfad. Das sähe also so aus:

Dabei brauche ich in die Klammer vom A den Ursprung Q und das Ziel x nicht mit reinzuschreiben, weil ja alle Pfade von Q nach x gehen. Wenn wir wollen, können wir das aber ans Integral mit dranschreiben:

Da steht also: Summiere (oder integriere) die Amplitude über alle möglichen Pfade von Q nach x.

Diese Amplituden sind ja, wie beim letzten Mal erklärt, Pfeile, die wir in der schicken mathematischen Schreibweise mit dem kleinen e schreiben können. Wir können also schreiben

L(W) ist die Länge des Pfeiles zum Weg W, S(W) sagt uns den Winkel.

Netterweise ist hier aber L(W) immer gleich 1 – die Pfeile haben alle die Länge 1. Warum? Stellt euch vor, wir würden das Elektron dazu zwingen, einen bestimmten Pfad W* zu gehen – alle anderen Pfade versperren wir. (Im Bild mit den vielen Schirmen und Spalten oben bekommt dann jeder Schirm genau einen Spalt, und irgendwie zwingen wir das Elektron auch noch zu einer bestimmten Geschwindigkeit.) Dann kann das Elektron nur genau diesen Weg gehen und keinen anderen. Die Wahrscheinlichkeit (nicht die Amplitude, sondern die echte Wahrscheinlichkeit), dass es dann am Ziel ankommt, ist wie groß?

Genau, sie ist gleich 1 – wenn das Elektron nur eine Möglichkeit hat, dann muss es die eben nehmen, wir sind also sicher, dass es diese Möglichkeit nimmt, also ist die Wahrscheinlichkeit 1.

Wenn wir jetzt die anderen Möglichkeiten wieder dazunehmen, dann hat sich aber an der Amplitude für den Pfad W* nichts geändert – der war vorher möglich und ist es jetzt immer noch. Weil das Argument für jeden beliebigen Pfad W* gilt, ist also L(W)=1, für jeden Pfad.

Damit bleibt übrig


Wenn man die Formel so Stück für Stück zusammensetzt, ist sie gar nicht so schlimm, oder? Es steht dasselbe drin, was ich hier auch in Worten erklärt habe, nur ein bisschen kompakter.

Diese Formel ist das berühmte Feynmansche Pfadintegral. Wenn man die Naturkonstanten wieder einbaut, bekommt der Winkel noch einen zusätzlichen Faktor:

S(W) hat also dieselbe Einheit wie ħ. Da das das Plancksche Wirkungsquantum (geteilt durch 2 π) ist, hat es die Einheit einer Wirkung – Energie mal Zeit. Die Größe S(W) heißt auch tatsächlich die Wirkung. Sie war in der klassischen Physik schon lange bekannt, spielt aber hier auch in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle.

Damit haben wir die Theorie des Pfadintegrals eigentlich abgehandelt. Bevor wir den Sprung zur Quantenfeldtheorie machen, wollen wir aber zumindest eine Idee bekommen, was denn bei so einem Pfadintegral herauskommt. Das gibt mir außerdem die Gelegenheit, ein uraltes Versprechen einzulösen.

Doch davon wollen wir im nächsten Teil erzählen…

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Kommentare (32)

  1. #1 typ42
    17. Oktober 2011

    Vielen Dank fuer die Muehe! sehr verstaendlich!

  2. #2 KommentarAbo
    17. Oktober 2011

  3. #3 MartinB
    17. Oktober 2011

    @typ42
    Freut mich, danke.

  4. #4 Bjoern
    17. Oktober 2011

    Mal eine dumme Frage am Rande: warum heisst h eigentlich das Wirkungsquantum? Die Wirkung ist doch gar nicht quantisiert? Wenn’s nur darum gehen würde, dass h eben die Einheit einer Wirkung hat – genausogut könnte man dann sagen, h hat die Einheit eines Drehimpulses, also nennen wir das Ding “Drehimpulsquantum”… (mit mehr Berechtigung, denn der Drehimpuls ist ja tatsächlich quantisiert!)

    Das einzige, was ich mal dazu gefunden habe, war die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung: das Integral p dq (mit generalisierten Koordinaten q und generalisierten Impulsen p dazu) soll immer ein Vielfaches von h sein, da ist also tatsächlich eine Quantisierung. Aber das Integral p dq ist doch auch keine Wirkung, sondern hat nur dieselbe Einheit…?

  5. #5 Johannes K.
    17. Oktober 2011

    Ich find die Reihe bisher durchweg sehr gut. Alles wirklich sehr einfach erklärt und das ganze macht Laune darauf sich das mal richtig anzugucken.

  6. #6 MartinB
    17. Oktober 2011

    @Bjoern
    Ich dachte, das käme direkt von Planck und der Annahme, das E=hf sein muss, damit die UV-Katastrophe vermieden wird. Es gibt die Größe der Energiequanten an und heißt deshalb selbst Quantum. Semantisch nicht 100% sauber, aber das waren Physiker noch nie, oder?

    @Johannes
    Freut mich – für’s “richtig” angucken empfehle ich wie gesagt das Buch von Zee.

  7. #7 Bjoern
    17. Oktober 2011

    @Martin:

    Es gibt die Größe der Energiequanten an und heißt deshalb selbst Quantum. Semantisch nicht 100% sauber, aber das waren Physiker noch nie, oder?

    Hm, könnte sein. *grummel, grummel* – können die sich nicht klar ausdrücken? Ja, o.k., eigentlich “können wir uns nicht klar ausdrücken?” 😉

  8. #8 MartinB
    17. Oktober 2011

    @Bjoern
    Klar können wir uns klar ausdrücken:
    E=hf
    A=int_W DW exp(iS(W))
    usw.

    Wenn wir uns sprachlich gut ausdrücken könnten, hätten wir ja nicht Physik studieren müssen 😉

  9. #9 Alex
    17. Oktober 2011

    Echt eine super Serie.
    Die Balance zwischen mathematischem Formalismus und anschaulicher Erklärung ist perfekt. Ich frag mich wie verdaulich dieser Stoff sein wird, wenn ich ihn in einigen Semestern im Elektrotechnikstudium antreffe ^^.

  10. #10 MartinB
    18. Oktober 2011

    @Alex
    Wenn du das Pfadintegral im E-Technik-Studium antriffst, dann wäre das eine ziemliche Überraschung; das bekommen nicht mal Physik-Studis ausführlich erklärt.

  11. #11 Thomas Wolkanowski
    19. Oktober 2011

    Würde ich auch sehr verwunderlich finden 🙂 . In welchem Kontext könnte/sollte/würde das denn geschehen?

  12. #12 Thomas Wolkanowski
    19. Oktober 2011

    @Bjoern: Zu deiner Frage findest du vielleicht hier etwas:

    https://www2.hu-berlin.de/leibniz-sozietaet/download/planck.pdf

  13. #13 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Thomas
    Guter Link

    @Bjoern
    Wenn man h=E/f schreibt, kann man doch eigentlich schon sagen, dass h direkt die Wirkung pro Photon angibt, also ist der Name doch gerechtfertigt.

  14. #14 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB:

    Wenn man h=E/f schreibt, kann man doch eigentlich schon sagen, dass h direkt die Wirkung pro Photon angibt, also ist der Name doch gerechtfertigt.

    Also, für mich heißt “eine Größe ist quantisiert” (also: es gibt ein “Quantum” dieser Größe) eigentlich, dass die Messwerte dieser Größe nur diskrete Vielfache eines Grundwerts annehmen können. Und das ist bei der Wirkung ja eindeutig nicht der Fall.

    @Thomas: Danke für den Link, finde ich für die Frage aber auch nicht gerade hilfreich.

    Das Plancksche Wirkungsquantum ist eine definierte Menge an Wirkung, eben ein Quantum.

    Bitte was? Genausogut könnte man ja dann z. B. sagen, die Lichtgeschwindigkeit ist eine bestimmte Geschwindigkeit, also bezeichnen wir die ab jetzt als Geschwindigkeitsquantum!

  15. #15 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Bjoern
    Verwirrt-bin: Berechne E/f für ein Photon. Es kommt immer derselbe Wert raus. Der hat die Einheit einer Wirkung. Ergo Wirkungsquantum. Alle Messungen der Wirkung eines Photons haben dieses wert – man könnte auch sagen, alle Messungen der Wirkung von Licht geben dann ein Vielfaches dieses Wertes (wenn wir mal Zustände mit unscharfer Photonenzahl ignorieren, auf solche Ideen konnte man 190x ja nun echt nicht kommen).

    Nicht *jede* Wirkung ist quantisiert, aber die von jedem Photon.
    Klar ist das unsauber – aber ich sag’s ja: Wenn wir uns sauber sprachlich ausdrücken könnten…

  16. #16 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB:

    Nicht *jede* Wirkung ist quantisiert, aber die von jedem Photon.

    O.k., wenn du’s so sehen willst… 😉

  17. #17 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Bjoern
    Wenn *ich* das so sehen will?
    Bin *ich* maßgeblich für die Nomenklatur der Physik?
    Toll, da verfalle ich gleich dem Größenwahn :-))

  18. #18 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB: Hast du’s noch gar nicht mitbekommen? Letzte Woche hat dich die Geheime Vollversammlung der Anonymen Physiker zum Großen Nomenklator gewählt… 😉

  19. #19 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB: Hm, warum soll eigentlich E/f die *Wirkung* pro Photon angeben? Klar, E/f hat die Dimension einer Wirkung – aber die hat, wie oben schon erwähnt, der Drehimpuls auch Was hat E/f bei einem Photon mit dem Zeitintegral über die Lagrangefunktion zu tun?

  20. #20 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Bjoern
    Muss denn jede Wirkung ein Zeitintegral über eine Lagrangefunktion sein?
    Ich glaube ein bisschen, du liest zu viel in einen Namen hinein. Oder ich sehe irgendwinen Punkt nicht, das kann auch sein.

  21. #21 MartinB
    19. Oktober 2011

    Oh, den anderen Kommentar hatte ich gar nicht gesehen.

    Dann schaffen wir sofort die Namen “Quarks” und “Gluonen” ab und ersetzen sie durch irgendwas schickes altgriechisches.

    Und als Nomenklator setze ich jetzt ne Sonnenbrille auf und sage “Ich komme wieder…”

  22. #22 rolak
    19. Oktober 2011

    Das würde ich nochmals überdenken – immerhin war der Satz jenes Protagonisten schon 1/17 von allem, was er in dieser Inkarnation sagte 😉

  23. #23 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB:

    Muss denn jede Wirkung ein Zeitintegral über eine Lagrangefunktion sein?

    Wie würdest du “Wirkung” denn sonst definieren? Ich kenn’s nur so. (hm, sehe gerade, bei Wiki behaupten die, auch das Integral p dq wäre eine Wirkung…)

  24. #24 MartinB
    20. Oktober 2011

    @Bjoern
    Ich denke, es gibt einfach zwei Wirkungsbegriffe. Einmal den über die Mechanik und einmal den über die physikalische Dimension.

  25. #25 Tom
    20. Oktober 2011

    Super beschrieben – danke weiter so!

  26. #26 Bjoern
    20. Oktober 2011

    @MartinB:

    Ich denke, es gibt einfach zwei Wirkungsbegriffe. Einmal den über die Mechanik und einmal den über die physikalische Dimension.

    Und wie genau soll der Begriff über die physikalische Dimension definiert sein? Vor allem so, dass nicht auch der Drehimpuls eine Wirkung ist?

  27. #27 MartinB
    20. Oktober 2011

    @Bjoern
    Einheitentechnisch ist der Drehimpuls ne Wirkung.
    Irgendwie sehe ich dein Problem nicht – es ist doch gelegentlich so, dass Begriffe schwammig gewählt oder unzulässig erweitert werden.

    Das Wirkungsquantum gibt an, wie dinge quantisiert werden und hat als einheit Wirkung. Finde ich wesentlich weniger blödsinning als “Farbladungen”, “flavors” oder “strangeness”.

  28. #28 roel
    25. Oktober 2011

    @MartinB Etwas spät, aber besser spät als nie und um das alles richtig zu verarbeiten brauche ich meine Zeit.

    Super Artikel und sehr verständlich, auch für Laien!

  29. #29 MartinB
    25. Oktober 2011

    @roel
    Danke, gut zu wissen, dass nicht nur Physiker mitlesen.

  30. #30 Stefan
    Los Angeles
    24. Juli 2016

    Irgendwas fehlt hier doch noch. Wenn ich zwei komplexe Zahlen mit ähnlichem Winkel addiere, bekomme ich eine komplexe Zahl, deren Betragsquadrat größer ist als Eins. Dann kann sie aber nicht für eine Wahrscheinlichkeit stehen.

  31. #31 Stefan
    24. Juli 2016

    Nachtrag: Ich meine natürlich zwei komplexe Zahlen mit einem Betragsquadrat von Eins ergeben unter den obigen Bedingungen addiert eine komplexe Zahl mit einem Betragsquadrat größer eins.

  32. #32 MartinB
    2. August 2016

    @Stefan
    Jede der einzelnen Möglichkeiten hat aber eine Wahrscheinlichkeitsamplitude kleiner als 1, so dass am Ende die Summe immer stimmt. Dass sie das immer tut, ist allerdings zugegebenermaßen in dem Bild der Pfeile nicht einsichtig – wenn man das Ganze mathematisch durchrechnet, aber schon.