Und was sollen wir aufaddieren? Die Amplituden A(W) für jeden einzelnen Pfad. Das sähe also so aus:
Dabei brauche ich in die Klammer vom A den Ursprung Q und das Ziel x nicht mit reinzuschreiben, weil ja alle Pfade von Q nach x gehen. Wenn wir wollen, können wir das aber ans Integral mit dranschreiben:
Da steht also: Summiere (oder integriere) die Amplitude über alle möglichen Pfade von Q nach x.
Diese Amplituden sind ja, wie beim letzten Mal erklärt, Pfeile, die wir in der schicken mathematischen Schreibweise mit dem kleinen e schreiben können. Wir können also schreiben
L(W) ist die Länge des Pfeiles zum Weg W, S(W) sagt uns den Winkel.
Netterweise ist hier aber L(W) immer gleich 1 – die Pfeile haben alle die Länge 1. Warum? Stellt euch vor, wir würden das Elektron dazu zwingen, einen bestimmten Pfad W* zu gehen – alle anderen Pfade versperren wir. (Im Bild mit den vielen Schirmen und Spalten oben bekommt dann jeder Schirm genau einen Spalt, und irgendwie zwingen wir das Elektron auch noch zu einer bestimmten Geschwindigkeit.) Dann kann das Elektron nur genau diesen Weg gehen und keinen anderen. Die Wahrscheinlichkeit (nicht die Amplitude, sondern die echte Wahrscheinlichkeit), dass es dann am Ziel ankommt, ist wie groß?
Genau, sie ist gleich 1 – wenn das Elektron nur eine Möglichkeit hat, dann muss es die eben nehmen, wir sind also sicher, dass es diese Möglichkeit nimmt, also ist die Wahrscheinlichkeit 1.
Wenn wir jetzt die anderen Möglichkeiten wieder dazunehmen, dann hat sich aber an der Amplitude für den Pfad W* nichts geändert – der war vorher möglich und ist es jetzt immer noch. Weil das Argument für jeden beliebigen Pfad W* gilt, ist also L(W)=1, für jeden Pfad.
Damit bleibt übrig
Wenn man die Formel so Stück für Stück zusammensetzt, ist sie gar nicht so schlimm, oder? Es steht dasselbe drin, was ich hier auch in Worten erklärt habe, nur ein bisschen kompakter.
Diese Formel ist das berühmte Feynmansche Pfadintegral. Wenn man die Naturkonstanten wieder einbaut, bekommt der Winkel noch einen zusätzlichen Faktor:
S(W) hat also dieselbe Einheit wie ħ. Da das das Plancksche Wirkungsquantum (geteilt durch 2 π) ist, hat es die Einheit einer Wirkung – Energie mal Zeit. Die Größe S(W) heißt auch tatsächlich die Wirkung. Sie war in der klassischen Physik schon lange bekannt, spielt aber hier auch in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle.
Damit haben wir die Theorie des Pfadintegrals eigentlich abgehandelt. Bevor wir den Sprung zur Quantenfeldtheorie machen, wollen wir aber zumindest eine Idee bekommen, was denn bei so einem Pfadintegral herauskommt. Das gibt mir außerdem die Gelegenheit, ein uraltes Versprechen einzulösen.
Doch davon wollen wir im nächsten Teil erzählen…
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