Betrachtet man die ebenen Wellen als Lösung der Wellengleichung, dann sieht man, dass eine Welle mit sehr großer Wellenlänge eine sehr kleine Energie bekommt (die Energie ist umgekehrt proportional zur Wellenlänge). Das bedeutet, dass es gar keine Energie kostet, das gesamte Gummituch überall (und zwar unendlich langsam, wegen der zeitlichen Änderung) um den gleichen Betrag zu verschieben. Das ist wenig überraschend: Wir haben einen Beitrag der räumlichen und einen Beitrag der zeitlichen Änderung in unserer Lagrangefunktion. Wenn sich weder räumlich noch zeitlich was ändert, dann sind beide Beiträge zur Lagrangefunktion Null. Da diese beiden Terme aber Energieterme sind, ist auch die Energie Null.
Für das Gummituch ist das vielleicht sinnvoll – nicht aber für ein Feld, das irgendwann einmal ein Elementarteilchen wie ein Elektron beschreiben soll. Ein Elektron kann nicht einfach so aus dem Nichts entstehen, weil das Energie kostet, denn ein Elektron hat eine Masse, und Masse ist bekanntlich Energie. (Beim Elektron kommen noch Dinge wie Ladungserhaltung usw. hinzu, aber das spielt hier keine Rolle.) Also sollte auch unser Elektronenfeld nicht einfach von Null verschieden sein können, ohne dass das Energie kostet.
Bei einem masselosen Feld, wie zum Beispiel dem Feld der Photonen, ist das anders. Das sieht man auch daran, dass die zugehörige Gleichung eine Gleichung für Potentiale ist – auch in der klassischen Physik darf man deren Nullpunkt ja frei wählen.
Wir sollten also zu unserer Energie noch einen Term hinzunehmen, der dafür sorgt, dass die Energie nur dann gleich Null ist, wenn unser Feld Null ist. Ich nenne ihn erstmal den “Extra-Term”. Der Extra-Term enthält einen Parameter m – wir werden später sehen, dass wir ihn physikalisch tatsächlich mit einer Masse identifizieren können, allerdings erst in der Quantenfeldtheorie. Hier dient er nur dazu, das Feld eindeutig auf “Null” zu setzen. (Kommt euch diese Gleichungs-Bastelei seltsam vor? Alles ein bisschen willkürlich, hier nen Term addiert, da noch was drangepappt, und so weiter. Tatsächlich aber wurden viele zentrale Gleichungen in der Physik zunächst auf diese intuitive Weise gefunden – Schrödinger hat’s so gemacht und Dirac auch. Wie man sich seine Gleichungen bastelt, ist erstmal egal – wichtig ist, dass sie den Vergleich mit der Realität bestehen.)
Der “Extra-Term” sorgt dafür, dass unser klassisches Problem eine eindeutige Lösung mit kleinster Energie hat, nämlich φ=0. Er verändert die ebenen Wellen als Lösung nicht sichtbar (obwohl sich intern ein paar Zahlen ändern), aber wenn man sich ansieht, was passiert, wenn man am Gummituch mit “Extraterm” zupft, dann sieht man schon einen deutlichen Unterschied:
Ohne Extra-Term breitet sich die anfängliche Störung mit gleichbleibender Geschwindigkeit nach außen aus, mit Extra-Term dagegen ist unser Gummituch etwas “träger” und die Anregung lässt eine Störung zurück, die nur langsam abklingt.
Damit bekommen wir für die Lagrange-Funktion
Wobei ich das φ quadriert habe, damit der Term immer positiv ist.
Weil das eine Art “potentielle Energie” ist, bekommt der Term in der Lagrangefunktion ein Minus-Zeichen. (Wer’s nicht glaubt, kann mit ein bisschen Mechanik-Kenntnissen von der Lagrange- zur Hamilton-Funktion übergehen und sich davon überzeugen, dass alles passt.)
Die Größe m ist zunächst mal ein Parameter – noch können wir sie eigentlich nicht mit der Masse identifizieren, weil das von den Einheiten her nicht passt. Ich habe hier mal wieder ?=c=1 gesetzt – wenn man die wieder reinnimmt, dann ist der Term ?² c²m² φ², wenn m die Einheit einer Masse bekommen soll. Da steckt aber ein ? drin, und da wir noch in einer klassischen Theorie sind, dürfen wir das nicht benutzen. (Sagte ich oben schon, dass ich ein bisschen schlampig mit Einheiten umgehe?)
So oder so ergibt sich die Bewegungsgleichung
oft geschrieben als
Für die Lösungen gilt
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