Quantenfeldtheorie hat – na klar – was mit Quanten zu tun. Bevor wir ganze Quantenfelder beackern, schauen wir uns deshalb erst mal an, wie die Quantenmechanik für ein einzelnes Teilchen aussieht. Dazu habe ich vor längerer Zeit schon eine längere Serie geschrieben – für die Quantenfeldtheorie ist es aber praktischer, wenn wir die Quantenmechanik mit Hilfe so genannter “Pfadintegrale” beschreiben. (Und keine Angst, auch wenn ihr Integralrechnung in der Schule doof fandet, die Integrale beißen nicht – wir müssen nicht mal welche berechnen…)
Wir beginnen ganz “klassisch” – mit dem berühmten Doppelspaltexperiment, das ihr vermutlich alle schon mal irgendwo gesehen habt:
Ein Elektron (freigesetzt von einer Quelle Q) fliegt auf einen Detektorschirm zu, auf dem es einen Leuchtpunkt hinterläßt, so dass wir messen können, wo es sich aufhält. Auf dem Weg dorthin passiert es einen Doppelspalt, also zwei sehr schmale und eng nebeneinander liegende Löcher in einer ansonsten für Elektronen vollkommen undurchlässigen Platte (damit keine Missverständnisse aufkommen: Die Zeichnung ist nicht mal annähernd maßstabsgetreu, der Doppelspalt muss extrem eng – in der Größenordnung von einem tausendstel Millimeter – sein, damit was passiert):
(Bild gemeinfrei, modifiziert von Wikipedia.)
Auf dem Leuchtschirm hinter dem Doppelspalt detektieren wir – wenn wir das mit vielen Elektronen machen, so wie im Bild – in diesem Fall ein Muster aus hellen und dunklen Streifen, also ein Interferenzbild. Nach den Regeln der klassischen Physik lässt sich das nicht erklären, denn das Muster bildet sich auch, wenn man die Elektronen einzeln durch den Versuchsaufbau schickt: Man sollte dann erwarten, dass Elektronen (die man sich klassisch wie kleine Kügelchen vorstellt) vor allem direkt hinter der ersten und der zweiten Öffnung auftauchen.
Mit der beobachteten Interferenz kann man argumentieren, dass Elektronen sich wie Wellen verhalten, und so wird das auch in so ziemlich allen Quantenmechanikbüchern gemacht. Muss man aber nicht. Man kann auch eine andere Betrachtungsweise verwenden, und das ist genau das, was wir hier tun.
Die Quantenmechanik erlaubt ja bekanntlich nur, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen vorherzusagen (die im Grenzfall auch mal gleich 1 sein können, siehe auch hier). Unser Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, dass wir ein bei Q losgeschicktes Elektron am Ort x auf dem Schirm messen.
Die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung habe ich schon in einem ähnlichen Zusammenhang mal erklärt, ich zitiere mich einfach mal selbst:
1. Gibt es zwei unterschiedliche Wege, damit ein Ereignis eintreten kann, dann werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert. Wenn ich beim Würfelspiel mit einer 5 oder 6 gewinne, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür (1/6)+(1/6)=2/6=1/3.
2. Müssen, damit ein Ereignis passieren kann, zwei Einzel-Ereignisse nacheinander eintreten, dann werden deren Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Wenn ich beim Würfeln gewinne, wenn ich zweimal hintereinander eine 6 würfele, dann ist die Wahrscheinlichkeit (1/6)⋅(1/6)=1/36.
Diese Regeln gelten auch in der Quantenmechanik, allerdings mit einer kleinen Komplikation: Wir berechnen zunächst nicht Wahrscheinlichkeiten, sondern kleine Pfeile, die man auf ein Blatt Papier malen kann(diese Idee stammt aus dem QED-Buch von Feynman). Die Wahrscheinlichkeit berechnet man dann aus der Länge dieses Pfeils.
Vornehm heißen die Pfeile Wahrscheinlichkeitsamplituden – ist ein schicker und viel wissenschaftlicher klingender Name, aber das ist auch schon alles.
Mathematisch sind die Amplituden komplexe Zahlen mit den üblichen Rechenregeln, die Wahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat der Amplitude. Details zum Rechnen mit komplexen Zahlen habe ich vor langer Zeit hier anschaulich erklärt.
Zu jedem denkbaren Einzelereignis (wie zum Beispiel “Das Elektron fliegt bei der Quelle Q los, fliegt durch Spalt 1 und landet dann bei x auf dem Schirm”) gehört ein solcher Pfeil. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit für ein Gesamtereignis suchen, das aus mehreren Einzelereignissen bestehen kann (z.B. “Elektron fliegt von Q nach x”), dann verwenden wie die obigen Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten, nur jetzt für unsere Pfeile.
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