Damit wir eine Quantenfeldtheorie bauen können, brauchen wir als erstes mal ein Feld – keinen Acker, auf dem Getreide wächst, sondern ein physikalisches Feld. Bevor wir uns mit der Quantenphysik herumschlagen, machen wir das ganze im Rahmen der klassischen Physik. (Klassische Feldtheorie gilt allgemein als ziemlich schwierig, aber das, was wir hier brauchen, ist zum Glück ziemlich einfach.)
Warum wir klassische Felder brauchen? Dazu eine Rückblende zu den letzten Einträgen mit dem Pfadintegral. Dort haben wir folgendes am Beispiel eines Elektrons herausgefunden:
Um ein System quantenmechanisch zu beschreiben, rechnet man die Wahrscheinlichkeit von Prozessen aus. Das geht so: Man überlegt sich alle Möglichkeiten, wie dieser Prozess stattfinden könnte (das waren unsere Pfade). Für jede dieser Möglichkeiten berechnet man eine Größe, die “Wirkung” heißt, nach den Regeln der klassischen Physik. Aus der Wirkung bekommt man für jede Möglichkeit eine Amplitude – die ist nichts als ein Pfeil, dessen Drehwinkel durch die Wirkung (geteilt durch das Wirkungsquantum ?) gegeben ist. Alle Pfeile für alle Möglichkeiten hängt man aneinander, das gibt einen Gesamtpfeil. Man zeichnet ein Quadrat mit der Kantenlänge dieses Pfeils, und die Fläche des Quadrats gibt die Wahrscheinlichkeit des Prozesses an.
Diese Grundregel der Quantenmechanik muss nun auf Felder übertragen werden, wenn wir eine Quantenfeldtheorie bauen wollen.
Was ist also ein Feld? Mein Lieblingsbeispiel für ein klassisches Feld (in zwei Dimensionen) ist ein gespanntes Gummituch, bei dem das Gummi sich an jedem Punkt aber nur in senkrechter Richtung bewegen kann.
Der Übergang zu diskreten Gittertheorien ist dann nichts als der Übergang zu einer Federkernmatratze – die nimmt übrigens Zee in seinem Buch als Beispiel.
Solange ihr nichts mit dem Gummituch macht (also keine Kräfte wirken), ist es einfach nur gespannt und sieht überall gleich aus, es ist also ganz eben. Wenn ihr aber eine Masse auf das Tuch legt (und zwar ganz langsam), dann wird es sich ausbeulen, ungefähr so:
Wir können den Zustand des Tuchs beschreiben, in dem wir an jedem Punkt des Tuchs angeben, wie stark es dort von der Ruhelage abweicht – das gibt also eine Zahl an jedem Punkt des Tuchs. Ist die Zahl positiv, ist der betrachtete Tuchpunkt nach oben ausgelenkt, ist sie negativ, dann nach unten. Diese Auslenkung bezeichnen wir mit φ, weil sie vom Ort abhängt, können wir also φ(x) schreiben, x ist der Ort auf dem Gummituch, an dem wir gucken, φ(x) ist die Auslenkung aus der Ruhelage.
Im Bild ist die Auslenkung direkt zu sehen, zusätzlich habe ich sie noch farbig markiert (dank gnuplots schicker pm3d-Optionen).
Ich bin hier ein bisschen schlampig mit der Schreibweise – eigentlich müsste das x hier ja ein Vektor sein, weil wir zwei Koordinaten brauchen, um den Ort auf unserem Gummituch zu beschreiben – die Mühe, hier jedesmal das x fett zu drucken oder Vektorpfeile drüberzupinseln, spare ich mir, dafür ist html doch zu unhandlich, und in QFT-Büchern wird das normalerweise eh nicht gemacht. Zusätzlich hängt unser Feld φ auch noch von der Zeit ab, aber nach den Regeln der Relativitätstheorie können wir das alles in einen Vierervektor packen. Lasst euch davon nicht verwirren – auf die mathematische Notation kommt es überhaupt nicht an. φ ist einfach die Auslenkung unseres Gummituchs, und die kann sich natürlich mit dem Ort und der Zeit ändern.
Ich hoffe auch, niemand ist verwirrt, dass ich beim letzten Mal den Winkel unseres Pfeils auch φ genannt habe – beide Formelzeichen sind so üblich. Die Zahl der verfügbaren Formelzeichen ist halt begrenzt; es sei denn, man verwendet die Technik aus dem berühmten Buch von Morse & Feshbach, die Tensoren höherer Stufe ganz locker mit hebräischen Buchstaben bezeichnen.
Zurück zum Gummituchfeld: Wenn ihr jetzt ruckartig an einer Stelle am Tuch zupft, dann breitet sich eine Welle aus, ganz ähnlich wie eine Wasserwelle (eine Wasseroberfläche wäre auch ein gutes Beispiel für ein zweidimensionales Feld). Zu einem bestimmten Zeitpunkt würde das vielleicht so aussehen:
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