Und die Verwirrung wird all jene verwirren, die nicht wissen, mmhh… und niemand wird wirklich genau wissen, wo diese kleinen Dinge zu finden sind, die verknüpft sind mit einer Art von Handarbeitszeug, das durch die Verknüpfung verknüpft ist. Und zu der Zeit soll ein Freund seines Freundes Hammer verlieren. Und die Jungen sollen nicht wissen, wo die Dinge, die jene Väter erst um acht Uhr am vorhergehenden Abend dort hingelegt hatten, kurz vor Glockenschlag…
Am Ende des letzten Teils waren wir über eine seltsame Begriffsverwirrung gestolpert – Wir haben eine Wellengleichung gefunden, die aus der klassischen Physik kam, aber auch für Quantentheorien verwendet wurde. Haben wir es nun mit klassischen Feldern zu tun oder mit quantenmechanischen Wellen? Oder mit beidem?
Verwirrend oder?
Dies ist tatsächlich eine der zahlreichen Verwirr-Quellen in der Quantenfeldtheorie. Die Klein-Gordon-Gleichung für unser φ sieht ganz ähnlich aus wie die Schrödingergleichung für die Wellenfunktion ψ (Wenn ihr nicht wisst, was das ist: Erklär ich gleich). Ursprünglich hat man die beiden Gleichungen auch ganz ähnlich behandelt, aber tatsächlich sind es – so wie wir sie hier verwenden – zwei ganz unterschiedliche Dinge.
Bevor ich das noch etwas ausführlicher erkläre, muss ich wohl ein paar Worte zur Wellenfunktion verlieren – in unserer Pfadintegralformulierung gab es so ein Gebilde ja gar nicht.
Die Wellenfunktion
Implizit gibt es sie aber schon. Wir hatten ja gesehen, dass wir – für eine bestimmte Situation wie den Doppelspalt – die Amplitude (also die kleinen Pfeile) dafür ausrechnen können, das Elektron am Ort x zu finden. (Und die Wahrscheinlichkeit war das Quadrat der Amplitude.) Diese Größe hatte ich z.B. A(Q,x) genannt – die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass das Elektron von der Quelle Q am Ort x ankommt (und zwar auch zu einer bestimmten Zeit, die steckte in unseren Pfaden ja immer mit drin).
Stellt euch nun vor, dass ihr ganz sicher wisst, dass das Elektron die Quelle Q zu einer bestimmten Zeit t0 verlässt. Dann könnt ihr A(Q,x) für alle späteren Zeitpunkte mit unserer Pfadintegralmethode ausrechnen. Weil ihr sicher wisst, dass das Elektron bei Q angefangen hat, könnt ihr dafür auch einfach A(x) schreiben – ihr wisst, dass das die Amplitude dafür ist, das Elektron bei x zu finden, denn eine andere Möglichkeit, dorthin zu gelangen, hatte es ja nicht – es musste ja bei Q starten.
Wenn ich nun für alle denkbaren Orte x die Größe A(x) zu einer Zeit kenne, dann weiß ich alles, was es über das Elektron zu wissen gibt. Es gibt eine Gleichung, mit der ich ausrechnen kann, wie groß die Amplitude an jedem Ort zu einem späteren Zeitpunkt ist. Kenne ich also die Amplitude A(x) zu einer Zeit t, kann ich sie zu einer späteren Zeit t’ berechnen.
Schrödinger hat genau diese Gleichung aufgestellt (allerdings nicht mit Pfadintegralen, sondern durch geschicktes Raten) – die Schrödingergleichung. Die Amplitude A(x,t) wird Wellenfunktion genannt und bekommt ein schickes ψ als Formelzeichen: ψ(x,t).
Feld oder Wellenfunktion?
Die Klein-Gordon-Gleichung habe ich hier für ein klassisches Feld φ hergeleitet, also eine Größe, die schon klassisch an jedem Raumzeitpunkt definiert ist. ψ ist dagegen die Wellenfunktion für ein quantenmechanisch beschriebenes Teilchen, das klassisch an einem Ort lokalisiert wäre.
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