Warum gibt es eigentlich keine halben Elektronen? Oder viertel Photonen? Wenn wir Elementarteilchen mit Feldern beschreiben, warum sehen wir dann bei Experimenten trotzdem Teilchen, und keine Felder?
Mit den Mitteln, die wir uns bisher mühsam erarbeitet haben, können wir diese Frage schon beantworten. Dazu müssen wir jetzt endlich das tun, worum es in dieser Serie ja eigentlich geht: Unsere Felder müssen quantisiert werden.
Im Moment haben wir noch eine ganz klassische Theorie eines Feldes, das wir durch die Klein-Gordon-Gleichung beschreiben. Anschaulich können wir das Feld als die Auslenkung einer Gummimembran interpretieren. Um dieses Feld mit den Mitteln der Quantenmechanik zu behandeln, gehen wir genauso vor wie beim Pfadintegral in der Quantenmechanik: Dort war es ja so, dass wir die Wahrscheinlichkeitsamplitude für ein Ereignis dadurch ausrechnen konnten, dass wir alle denkbaren Wege (deswegen ja “Pfadintegral”) betrachtet haben, für jeden Weg seine Amplitude berechnet und dann alles passend aufsummiert haben. Ich zitiere mich mal wieder selbst:
1. Ihr sucht alle denkbaren Pfade W für das Elektron.
2. Für alle Pfade W macht ihr jetzt folgendes:
2a Ihr zerlegt jeden Pfad in viele kleine Wegstückchen.
2b Für jedes Wegstückchen berechnet ihr, um wieviel sich der Amplitudenpfeil auf diesem Stückchen dreht. (Das macht ihr mit der Lagrangefunktion)
2c alle diese Drehwinkel aufaddiert (die Pfeile multipliziert) geben euch die Amplitude für diesen Pfad W
3. Alle diese Amplituden zählt ihr zusammen und bekommt so die Amplitude für den Gesamtprozess.
In der Quantenfeldtheorie geht es jetzt ganz genauso:
Wir betrachten jetzt allerdings nicht mehr Wege eines Teilchens, denn wir haben ja kein Teilchen, sondern ein Feld. Also betrachten wir alle denkbaren Feldkonfigurationen, die zu dem Ereignis führen, das uns interessiert (wir machen das gleich konkreter, keine Sorge), und zwar im Verlauf der Zeit. Für jede dieser Konfigurationen berechnen wir wieder die Wirkung und daraus die Amplitude, summieren alles auf und bekommen die Gesamtamplitude für das Ereignis, das uns interessiert.
Man spricht hier nach wie vor von einem Pfadintegral – das ist wieder verwirrend, denn es sind ja im Moment keine Pfade, über die wir summieren, sondern Feldkonfigurationen. Eigentlich sollten die Dinger also “Feldkonfigurationsintegrale” heißen – aber Physiker sind ja dafür bekannt, dass sie eine Größe erst in einem Zusammenhang definieren, dann die Bedeutung bis zur Unkenntlichkeit erweitern und verändern, dabei aber den Namen beibehalten.1
1 Und das absolut verwirrende ist, dass man nachher diese Feldkonfigurationen oft über Feynman-Diagramme berechnet, die dann wieder aussehen wie graphische Darstellungen von Pfadintegralen. Dazu kommen wir aber noch.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, was herauskommt, wenn wir von unserer klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie gehen, schauen wir noch einmal auf die klassischen Lösungen. Das waren ja ebene Wellen so wie diese hier:
Sie sind Lösungen der zugehörigen Wellengleichung (der Klein-Gordon-Gleichung). In der klassischen Physik können wir diese Lösungen auch über das Prinzip der kleinsten Wirkung berechnen. Das sieht für ein klassisches Feld – ganz analog zu einem Teilchen – so aus: Nehmt an ihr kennt den Anfangszustand φ(x, t=t0) – das ist also der Wert des Feldes überall zur Zeit t0 – und den Endzustand φ(x, t=t1). Das Feld wird in der Zeit dazwischen diejenigen Werte annehmen, bei denen die gesamte Wirkung (also aufaddiert von t0 bis t1) den kleinsten Wert annimmt. (Bei einem Teilchen nimmt das Teilchen denjenigen Pfad, der die kleinste Wirkung hat, aber hier haben wir jetzt nicht mehr einfach Pfade, sondern Feldkonfigurationen.)
Und woher bekamen wir nochmal die Wirkung? Dazu mussten wir zu jeder Zeit die Lagrangefunktion berechnen (das habe ich im vorletzten Teil mit den hübschen Bildchen erklärt) und alle diese Werte aufaddieren (integrieren, um genau zu sein).
Können wir nun also eine ebene Welle als Lösung auch in der QFT bekommen?
Eine ebene Welle ist ja periodisch; die Welle sieht nach Ablauf einer Periodendauer wieder genauso aus wie am Anfang – das könnt ihr an der Animation oben gut erkennen.
In der Quantenfeldtheorie berechnen wir Wahrscheinlichkeitsamplituden – die nichts anderes als kleine Pfeile sind. Wir fragen uns jetzt also, was die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür ist, dass eine ebene Welle zur Zeit t=0 in eine identische ebene Welle zur Zeit t=T übergeht, wobei T genau die Periodendauer der Welle ist, also die Zeit, nach der sie gleich aussieht. Wenn ebene Wellen nach wie vor eine Lösung sein sollen, dann muss die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür logischerweise exakt den Wert 1 haben, sonst hat sich was geändert. Das schreibe ich wieder so:
A( Ebene Welle bei t=0, Ebene Welle bei t=T) =1
Wohlgemerkt, die Amplitude muss eins sein, nicht nur die Wahrscheinlichkeit, denn sonst wäre die Situation eben nicht genau periodisch.
Diese Amplitude setzt sich aus lauter Beiträgen der unterschiedlichen Feldkonfigurationen zusammen, jede von ihnen mit ihrer Wirkung gewichtet.
Wir müssen jetzt also alle denkbaren Konfigurationen angucken, die zur Zeit t=0 und t=T wie unsere ebene Welle aussehen. Das ist natürlich unsere ebene Welle selbst, aber auch so etwas wie das hier:
oder auch so etwas
Nehmen wir uns eine dieser Konfigurationen heraus und betrachten sie etwas genauer. Als erstes berechnen wir jetzt wieder dieselbe Größe wie beim vorletzten Mal, die Lagrangefunktion L, die die räumliche und zeitliche Änderung beinhaltet. L hat zu jedem Zeitpunkt zwischen t=0 und t=T an jedem Ort x einen bestimmten Wert. Alle diese Werte addieren (integrieren) wir auf und das Ergebnis ist die Wirkung.
Inzwischen seid ihr ja so formel-gestählt, dass ich die Formel hier ruhig hinschreiben kann, ohne dass ihr gleich wegklickt (und ich erkläre sie natürlich auch in Worten). Sie sieht so aus:
In Worten: Die Wirkung S für eine bestimmte Feldkonfiguration φ (die von Ort und Zeit abhängt) berechnet sich, indem man die Lagrangefunktion L aus φ berechnet, und zwar für alle Orte x und alle Zeiten t (von t=0 bis t=T, das steht am Integral) und alles aufaddiert (integriert).
Zu unserer Feldkonfiguration φ gehört also ein Wert der Wirkung. (Sprachliche Anmerkung: Mit “Feldkonfiguration” meine ich hier das gesamte Feld im betrachteten Zeitintervall, nicht nur das Feld zu einer bestimmten Zeit.) Und genau wie beim Pfadintegral für ein einzelnes Elektron gehört jetzt dazu ein Amplitudenpfeil. Der hat die Länge 1 und einen Drehwinkel, der gerade gleich der Wirkung ist. Das können wir schreiben als
Ich habe hier mal wieder das ħ eingebaut.
Die Gesamtamplitude dafür, dass aus einer ebenen Welle zur Zeit t=0 eine ebene Welle zur Zeit t=T wird, bekommen wir jetzt, indem wir alle diese Pfeile addieren:
Das ist genau die gleiche Formel wie für das Elektron, nur jetzt mit Feldern φ. Dabei darf ich auf der rechten Seite nur solche Feldkonfigurationen nehmen, die tatsächlich zur Zeit t=0 und t=T einer ebenen Welle entsprechen, genau wie ich beim Elektron nur solche Pfade betrachten durfte, bei denen das Elektron am Anfang und Ende am richtigen Ort ist (beispielsweise bei Q und x).
Nehmen wir jetzt einmal an, wir haben tatsächlich folgendes berechnet: Die Amplitude dafür, dass eine ebene Welle φWelle(x,t=0) in eine identische ebene Welle φWelle(x,t=T) übergeht, ist exakt gleich 1. (Dabei muss das Feld in der Zeit zwischen t=0 und t=T, wo wir es nicht beobachten, nicht wie eine ebene Welle aussehen – alle denkbaren Konfigurationen tragen zur Gesamtamplitude bei.) Also nochmal, weil man sich leicht verwirren lässt: Zu zwei bestimmten Zeiten beobachten wir unser Feld, und da soll es eine ganz bestimmte ebene Welle φWelle(x) sein. Wir nehmen jetzt an, dass für genau diese Welle die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, zur Zeit T wieder genau so auszusehen, gleich 1 ist. Dann verhält sich das Feld (wenn wir es beobachten) wie eine ebene Welle.
Falls ihr immer noch verwirrt seid, hier noch einmal die Analogie zum Elektron: Dort hatten wir ja Amplituden angeguckt, zum Beispiel A(Q,x) – die Amplitude dafür, dass das Elektron, wenn zu einer bestimmten Zeit bei Q startet, zu einer späteren Zeit bei x landet. Jetzt gucken wir Amplituden der Art A(φ1(x), φ2(x)) an – die Amplitude dafür, dass unser Feld, wenn es bei t=0 durch φ1(x) beschrieben ist, zur Zeit t=T durch φ2(x) beschrieben werden kann. Und dann betrachten wir den Spezialfall, dass φ1=φ2 ist, nämlich genau gleich einer ebenen Welle, und nehmen an, dass die Amplitude dafür exakt gleich 1 ist, das Feld also keine andere Wahl hat als nach Ablauf von T wieder denselben Wert zu haben. (Warum man das annehmen darf, ist eine andere Geschichte, wir gucken hier erstmal, was daraus folgt…)
Jetzt können wir etwas erstaunliches feststellen: In unsere Lagrangefunktion (und damit auch in die Wirkung) geht ja die Änderung von φ ein. Mache ich φ ein bisschen größer, dann ändert sich die Lagrangefunktion entsprechend. (Falls ihr euch nichts unter einer Vergrößerung von φ vorstellen könnt, denkt noch mal an unsere Gummituch-Theorie: Da war φ die Auslenkung. Eine Vergößerung von φ bedeutet also, dass die Berge und Täler entsprechend höher werden. In einer Theorie mit Elementarteilchen hängt φ mit der Intensität oder Energie zusammen – die ist gleich φ2.)
Damit wird auch die Wirkung um diesen Faktor größer und damit auch der Drehwinkel unseres Amplitudenpfeils. Der war vorher gleich 1 (zeigte also genau nach rechts), aber jetzt ist er größer geworden und zeigt deshalb nicht mehr nach rechts, sondern vielleicht nach schräg oben rechts. Diese “aufgeblasene” ebene Welle ist also keine Lösung, sie ist nicht perfekt periodisch, denn der Amplitudenpfeil ist nicht mehr exakt 1.
Vergrößern wir den Wert von φWelle weiter, dann vergrößert sich unsere Wirkung auch weiter – der Amplitudenpfeil zeigt jetzt vielleicht nach links). Vergrößern wir sie noch weiter, dann zeigt der Pfeil nach schräg links unten, dann nach unten.
Moment! Wenn wir φWelle noch ein bisschen mehr vergrößern, dann zeigt der Amplitudenpfeil wieder genau nach rechts und hat damit den Wert 1. Dazu muss der Amplitudenpfeil-Winkel genau eine zusätzliche Umdrehung machen. Dann haben wir wieder eine Lösung, bei der die Gleichung von oben gilt.
Was bedeutet das?
In der klassischen Physik gilt für eine Wellengleichung wie unsere Klein-Gordon-Gleichung, dass wir jede Lösung mit einer beliebigen Zahl multiplizieren können – sie bleibt eine Lösung. Egal ob wir sie um 10% vergrößern, oder 23% oder was auch immer, Lösung bleibt Lösung.
In der Quantenfeldtheorie dagegen ist das nicht so: Auch wenn Wellenlänge und Frequenz der Welle passen, ist sie nur dann eine Lösung, wenn sie eine bestimmte Größe hat. Mit anderen Worten: Unsere Lösungen können nur bestimmte Werte annehmen.
Welche Werte sind das?
Eben haben wir unsere Lösung immer weiter vergrößert, um neue Lösungen zu finden. Wir können sie natürlich umgekehrt auch verkleinern, allerdings nicht beliebig weit.
Betrachtet noch einmal die Wirkung S, die ja den Drehwinkel angibt. Beim Elektron hatten wir gesehen, dass für einen typischen Pfad des Elektrons der aus der Wirkung resultierende Pfeil viele Milliarden Umdrehungen macht, weil S meist viel größer ist als ħ.
Nehmen wir an, es wären für unser φWelle genau 10 Milliarden Umdrehungen des Pfeils. Da eine Umdrehung (in Winkeleinheit “Radian”) genau einem Wert von 2π entspricht, wäre also
Wenn wir unser φWelle um einen Faktor 10 verkleinern, verkleinert sich unsere Wirkung um den Faktor 100 (weil φ in die Wirkung quadratisch eingeht – das könnt ihr im fiesen Formelteil vom vorletzten Mal nachschlagen oder mir einfach glauben), also auf
(Da stehen jetzt also 100 Millionen.)
Machen wir φ nochmal um den Faktor 1000 kleiner, bekommen wir
Verkleinern wir φ nochmal um einen Faktor 10, haben wir schließlich
Und jetzt ist Schluss – kleiner können wir φ nicht machen und trotzdem noch eine echt periodische Welle haben, denn einmal ganz herumlaufen muss der Pfeil ja. (O.k., ihr könntet φ=0 setzen, aber das wäre ein bisschen langweilig.)
Es gibt also einen Mindestwert für die Auslenkung unserer ebenen Welle, weniger Auslenkung geht nicht.
Mehr Auslenkung geht aber natürlich – wir können den Pfeil sich ja zweimal herumdrehen lassen statt bloß einmal. Und weil φ in den Drehwinkel quadratisch eingeht, müssen wir dazu φ um √2 größer machen als beim Mindestwert. Oder wir lassen den Pfeil dreimal herumdrehen, dazu vergrößern wir φ um √3. Also: Wenn wir diese “Mindestlösung” haben, dann ist jede Lösung, die um einen Faktor √n größer ist, ebenfalls eine Lösung.
Mit anderen Worten: Unsere Wellen sind quantisiert, sie können nicht beliebige Werte annehmen, sondern nur ganz bestimmte.
Jede solche Welle trägt ja auch Energie – die steckte ja direkt in der Lagrangefunktion drin. Weil φ in die Energie auch wieder quadratisch eingeht, heißt das, die Energie einer ebenen Welle ist immer ein Vielfaches einer “Grundenergie”. Nennen wir diese Energie EG, dann gilt also
E= n EG.
Meist wird das über die Frequenz ω ausgedrückt (wobei ich den Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz hier noch nicht gezeigt habe, sondern ihn einfach einsetze):
Die Energie einer Welle kann also nur bestimmte Werte annehmen. (Hinweis für die Expertinnen: Ja, hier fehlt die Nullpunktsenergie. Die kommt hoffentlich irgendwann auch noch dran, aber da man den Energienullpunkt eh frei wählen kann, ist mir das hier auch egal.)
Und was heißt das nun?
Stellt euch als Beispiel eine elektromagnetische Welle vor. Die können wir mit dem Mitteln der QFT beschreiben, genauso wie ich es hier gemacht habe.1 Und ihr seht jetzt, dass so eine elektromagnetische Welle keine ganz beliebigen Energien haben kann, sondern nur ganz bestimmte, eben quantisierte Werte.
1 Die Mathematik wird etwas komplizierter, weil man eigentlich einen Vierervektor braucht, aber das spielt hier keine Rolle und ich erwähne es nur der Vollständigkeit halber.
Wenn jetzt ein Teilchen mit so einer Welle wechselwirkt (beispielsweise ein Elektron), dann kann es eine Energie von ħω aus der Welle absorbieren, oder vielleicht auch 2 ħω (wenn die Welle so viel Energie hat), aber nicht nur ħω/2 – dann wäre der “Rest” der Welle keine Welle mehr. Man kann Energie aus einer elektromagnetischen Welle also nur in Paketen herausholen – eben den Quanten. Obwohl wir mit einer Feldtheorie gestartet sind, in der (nach den Regeln der klassischen Physik) die Felder ganz beliebige Werte annehmen konnten, haben wir durch Anwendung der Regeln für das Pfadintegral herausbekommen, dass Wellen in dieser Theorie quantisiert sind. Sie können nur bestimmte Energien haben und Energie kann nur in “Paketen” zugefügt oder absorbiert werden.
Und diese Pakete bekommen jetzt (für den Fall von elektromagnetischen Wellen) einen speziellen Namen: Wir nennen sie Lichtteilchen oder “Photonen”.
Herzlichen Glückwunsch: Wir haben gerade den Welle-Teilchen-Dualismus wiederentdeckt: Wellen in der Quantenfeldtheorie verhalten sich in vieler Hinsicht wie Teilchen. Warum gerade Wellen so wichtig sind, werden wir ein andernmal noch im Detail sehen, aber wir können jetzt schon einsehen, dass Quantenfelder tatsächlich quantisiert sind – jedenfalls, wenn sie sich als Welle ausbreiten.
Allerdings könnt ihr hier – zu Recht – einwenden, dass so eine ebene Welle ja überall gleichzeitig ist. Teilchen, die sich so richtig von A nach B ausbreiten, bekommen wir so noch nicht. Aber keine Sorge, die Serie ist ja auch noch nicht zu Ende.
Wenn ich es richtig sehe, ist das Argument hier (auch wenn ich es in genau dieser Form noch nie irgendwo gesehen habe) in etwa äquivalent zur Vorgehensweise von Born, Heisenberg und Jordan, beschrieben im Buch von Weinberg. Ich habe es mir in Analogie zur Lösung des harmonischen Oszillators mit dem Pfadintegralformalismus überlegt, aber die Idee scheint mir letztlich dieselbe zu sein. Falls jemand eine Quelle kennt, in der das Argument ähnlich wie hier aufgezogen ist, wäre ich für einen Hinweis dankbar.
Falls ihr schnell einen Überblick über die ganze Serie sucht, den findet ihr hier.
Kommentare (73)