1genauer gesagt, müssten wir bei Ladungen das elektromagnetische Potential angucken, aber das ist hier nebensächlich.
Das elektromagnetische Feld ist etwas komplizierter als unser φ-Feld, weil es nicht bloß an jedem Ort eine einzige Zahl ist – elektrisches und magnetisches Feld zeigen ja jeweils in eine bestimmte Richtung – es handelt sich um ein Vektorfeld. (Falls ihr nen Auffrischungskurs zum Thema Elektromagnetismus sucht, dann… – Stimme aus dem OFF: “Wir wissen nicht, was dieser freundliche Blogger empfiehlt. Wir empfehlen bei mangelnden Elektromagnetismuskenntnissen diese Serie.” (Das war jetzt ein Scherz für die etwas ältere Generation unter den Leserinnen und Lesern.)) Das Prinzip ist aber das gleiche, und Felder, die genau so funktionieren wie unser φ-Feld hier spielen in der Physik eine wichtige Rolle. Man nennt so ein Feld wie das φ-Feld, das nur einen Wert, aber keine Richtung hat, ein Skalarfeld. (Nicht wegen der Fische, sondern weil mathematische Größen, die bloß Zahlen sind, nun mal Skalare heißen.)
Wenn wir jetzt erstmal wieder eine klassische Lösung suchen1, dann sehen wir, dass wir die Wirkung verkleinern können, wenn φ(x) da, wo J(x) nicht Null ist, einen Wert bekommt. (Je nachdem, wie wir das machen, ist φ negativ oder positiv – wir zupfen nach unten oder nach oben.) Der darf natürlich nicht zu groß werden, denn sonst werden die anderen Beiträge (die die Änderung von φ enthalten und auch der “Extra-Term”) zur Wirkung zu groß. Wir fragen uns jetzt also, welchen Wert das Feld φ bekommt, wenn wir am Raumzeitpunkt x eine Quelle J(x) hinsetzen. Gesucht ist also φ am Raumzeitpunkt y für den Fall, dass man eine Quelle am Raumzeitpunkt x hat. Diese Größe schreibt man als D(x,y) und nennt sie den Propagator. (Nein, das ist nicht der neuste Film mit Arnold Niederegger. Aber der Propagator kommt wieder – wenn auch ohne Sonnenbrille.)
1Ich bin hier ein bisschen schlampig – um eine Lösung zu suchen, muss man ja beim Pfadintegral einen Anfangs- und einen Endzustand festlegen. Wir können uns Zustände vorstellen, bei denen am Anfang (vor langer Zeit) reines Vakuum herrschte, am Ende (in ferner Zukunft) wieder nur Vakuum da ist und wir uns fragen, was dazwischen passiert, wenn wir Quellen anschalten. Weiter unten bin ich etwas genauer.
So etwas Ähnliches haben wir schon beim Pfadintegral gemacht: Da hatten wir eine Elektronenquelle bei Q und haben die Amplitude dafür gesucht, dass das Elektron bei x ankommt. Hier ist das jetzt ganz analog, nur dass jetzt der Ort der Quelle x heißt und der, an dem wir gucken, y, und dazwischen haben wir nicht bloß ein Elektron, sondern ein ganzes Feld.
Wenn euch der Propagator nicht anschaulich genug ist, dann denkt an ein einfaches Alltagsbeispiel: Ihr steht an einem schönen Teich mit ruhigen Wasser (es funktioniert übrigens auch genauso mit unserem Gummituch). Jetzt werft ihr einen Stein ins Wasser: Am Ort x zur Zeit t (also am Raumzeitpunkt x) wird die Wasseroberfläche durch den Stein ausgelenkt und es entsteht eine Welle. In der Realität sind es meist mehrere Wellenberge und -täler, die entstehen, das liegt vor allem daran, dass der Stein ja die Oberfläche eine gewisse Zeit lang stört. Jetzt fragt ihr euch: Wenn ich bei x den Stein ins Wasser werfe, wie hoch ist dann der Wasserstand bei einer anderen Zeit an einem anderen Ort, also am Raumzeitpunkt y. Es ist klar, dass das Wasser nun dann nennenswert aus der Ruhelage ausgelenkt ist, wenn die Wasserwelle diesen Punkt gut erreichen kann. Breitet sich die Wasserwelle mit einer Geschwindigkeit v aus, dann muss der räumliche Abstand gerade gleich vt sein, wenn t der zeitliche Abstand ist. Außerdem gilt: Je weiter ihr vom Ursprung weg seid, desto weniger stark ist die Auslenkung (weil sich die Welle kreisförmig ausbreitet und der Umfang ja immer größer wird). Die Auslenkung am Raumzeitpunkt y, wenn eine Quelle (mit festgelegter Stärke) am Raumzeitpunkt x aktiv war, nennt ihr D(x,y).
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