Denkt noch einmal an unser Teichbeispiel. Wir nehmen einen sehr großen Teich und ich schmeiße einen Stein jetzt und hier hinein und schaue, wie groß die Wasserwelle zwei Sekunden später in einem Abstand von 70 Zentimetern ist. Dann wiederhole ich das Experiment zu einem späteren Zeitpunkt und schmeiße den Stein an einem anderen Ort ins Wasser. Wieder messe ich die Wasserwelle zwei Sekunden später in einem Abstand von 70 Zentimetern. Es wird hoffentlich niemanden überraschen, dass das Ergebnis dasselbe ist. Für den Propagator kommt es also nur auf die Differenz zwischen “Quelle bei x” und “gemessen bei y” an, also auf (x-y).
Da unser Universum (von Dingen wie der Expansion und ähnlichen extrem langsamen und großmaßstäblichen Phänomenen abgesehen) überall und zu jeder Zeit gleich aussieht, gilt hier dasselbe. Wir können den Propagator also schreiben als D(x-y).
Ausgestattet mit unserem Propagator werfen wir jetzt einmal einen ersten Blick darauf was passiert, wenn wir zwei Quellen haben. Unsere Quellenfunktion J ist jetzt an zwei Raumzeitpunkten von Null verschieden, einmal bei einem Punkt x, einmal bei einem anderen Punkt y. Können diese miteinander in Wechselwirkung treten, indem sie unser φ-Feld beeinflussen?
Intuitiv sollte man erwarten, dass die beiden sich dann deutlich beeinflussen, wenn der Propagator der einen Quelle am Ort der anderen Quelle nicht verschwindet – genau wie wir uns das oben für die Wasserwelle überlegt haben:
Hier habe ich drei Quellen gezeichnet. Von der Quelle bei x geht der Propagator aus (hier haben wir am Gummituch geruckelt oder einen Stein ins Wasser geworfen). Die dadurch hervorgerufene Veränderung des Feldes breitet sich jetzt aus. Am Punkt y1 sitzt eine passende Quelle (eigentlich sollte man “Senke” sagen, weil die ja die Störung aufnimmt, diesen Unterschied macht man aber nicht, genau wie in der Physik Bremsen auch eine Beschleunigung ist). Die Quelle am Punkt y2 dagegen wird vom Propagator kaum “getroffen”, deswegen ist der zugehörige Term klein. Natürlich kann vom Punkt y2 wieder eine Welle ausgehen (dort ist ja auch eine Quelle), aber diese beiden Wellen würden sich eben nicht “sehen” und hätten nichts miteinander zu tun. Stellt euch wieder das Gummituch vor: Bei x habt ihr eine Kugel draufgeworfen, und dann werft ihr bei y1 wieder eine Kugel drauf, die jetzt aber vielleicht genau in dem Moment ankommt, als das Tuch gerade eine Welle nach oben schlägt. Die Welle, die die zweite Kugel erzeugen würde und die, die gerade ankommt, überlagern sich und löschen sich im Extremfall aus – dabei verschwindet die Energie aber nicht, sondern wird auf die Kugel übertragen.
Das ist alles anschaulich einigermaßen klar und sollte besser auch in unserem Formalismus herauskommen, sonst ist alles, was wir uns überlegt haben, für die Tonne. Wie kitzeln wir jetzt so ein Ergebnis aus unserem Pfadintegralformalismus heraus?
Mit dem Pfadintegral können wir ja immer nur Amplituden berechnen – wie ist die Amplitude dafür, dass aus einem bestimmten Anfangszustand ein bestimmter Endzustand wird? Wir brauchen jetzt eine geschickte Wahl des Anfangs- und Endzustands, mit der wir herausbekommen können, welchen Einfluss unsere Quellen haben und ob unsere Intuition von eben auch stimmt.
Unsere Quellen sind ja nur für jeweils einen Moment (an den Raumzeitpunkten x und y) da (später betrachten wir auch Quellen, die länger aktiv sind). Ich nehme hier der Einfachheit halber an, dann x zeitlich vor y liegt, so wie im Bild oben. (Das ist in keiner Weise zentral und macht nur die Sprechweise einfacher – Mathematiker sagen dazu oBdA “Ohne Beschränkung der Allgemeinheit”.) Lange vor x, in ferner, ferner Vergangenheit, ist von den Quellen natürlich nichts zu merken – wir haben ein Vakuum. Dann sind unsere Quellen aktiv (erst x, dann y), tun irgendetwas mit unserem Feld, und dann passiert nichts mehr. Wir haben also in ferner Vergangenheit und in ferner Zukunft jeweils einen Vakuumzustand.
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