Da gibt es leider eine kleine Komplikation, mit der wir uns im Moment nicht herumschlagen wollen (kommt hoffentlich irgendwann später – je nachdem, wann mir in dieser Serie die Luft ausgeht, die mal wieder “etwas” länger wird als gedacht). Unsere Quellen befinden sich im Vakuum – aber das Vakuum ist in der QFT auch schon ein ziemlich kompliziertes Gebilde (vermutlich habt ihr schon mal von den “Vakuumfluktuationen” oder den “virtuellen Teilchen im Vakuum” gehört). Diese Komplikation möchte ich uns erstmal gern ersparen. Wir machen deshalb folgendes: Wir vergleichen die Situation mit Quellen mit der Situation ohne Quellen. Dann heben sich die ganzen nervigen Vakuumfluktuationen weg.
Wir berechnen also die Amplitude dafür, dass ein Vakuum in ferner Vergangenheit in ein Vakuum in ferner Zukunft übergeht. Um den Einfluss der Vakuumfluktuationen loszuwerden, tun wir das zweimal: Einmal mit Quellen, und einmal ohne. Wenn wir diese beiden Amplituden miteinander vergleichen, dann sehen wir direkt den Einfluss der Quellen auf die Amplitude.
Mathematisch bedeutet das einfach, dass wir am Ende alle Ausdrücke, die kein J enthalten, ignorieren.
Wir berechnen also wieder ein Pfadintegral (das wie gesagt mit Pfaden nicht viel zu tun hat, sondern eigentlich Feldkonfigurationsintegral heißen sollte), aber diesmal eins mit eingebauten Quelltermen J. Und diesmal rechnen wir das auch wirklich aus (jedenfalls im bösen Formelteil).
Das geht hier genauso wie in der Quantenmechanik: Dort haben wir für jeden denkbaren Pfad die Wirkung berechnet. Zu jedem Pfad gehört ein Amplitudenpfeil, die haben wir alle addiert und das Ergebnis war die Gesamtamplitude.
Statt Pfaden haben wir jetzt Konfigurationen, wir müssen also für jede denkbare Feldkonfiguration die Wirkung berechnen, daraus den zugehörigen Amplitudenpfeil, und alle diese Pfeile addieren wir dann
auf. Ich schreibe die Formel hier ruhig mal hin – wenn ihr sie mit den Formeln aus dem Pfadintegral für ein einzelnes Elektron vergleicht, dann seht ihr, dass das gar nicht so schlimm ist. Ich nenne die Amplitude jetzt Z, weil das der übliche Buchstabe ist. Z(J) schreibe ich, weil das Z ja von unseren Quellen J abhängt:
Da wo beim Elektron über alle Wege summiert wird, summieren wir jetzt über alle Feldkonfigurationen φ, und an der e-Funktion steht wieder der Drehwinkel: Die Wirkung S in Einheiten von ħ. S hängt dabei natürlich vom Feld φ ab, jetzt aber zusätzlich auch vom Quellterm J.
Die kurze Rechnung klaue ich im Buch von Zee:
Jetzt wird partiell integriert (wobei man an den Grenzen ein bisschen rumargumentieren muss…), und man bekommt
In der Klammer seht ihr quasi schon die Klein-Gordon-Gleichung. Das ist jetzt letztlich ein Gaußsches Integral, das man (mit Hilfe des Propagators und ein bisschen Rechnerei) lösen kann. Es ergibt sich (für den allgemeinen Fall beliebiger J’s):
Dabei enthält Z(0) genau die Terme ohne J, also den ganzen Vakuumkram. (In dieser Rechnung habe ich mir das ħ wieder gespart, das gehört im Exponenten natürlich rein.)
Der mathematische Formalismus macht es dabei sehr leicht, den Anteil der Amplitude, der zu reinen Vakuumfluktuationen gehört, von dem zu trennen, der etwas mit den Quelltermen zu tun hat. Das Ergebnis für den interessanten Teil enthält einen einfachen Ausdruck. Der Drehwinkel für die Amplitude ändert sich mit unseren zwei Quellen am Raumzeitpunkt x und y genau um den Wert
-J(x) D(x-y) J(y)/2.
Was bedeutet das? J(x) ist der Wert der Quelle am Raumzeitpunkt x, J(y) der am Punkt y, und dazwischen steht der Propagator. Dieser Ausdruck kann nur einigermaßen groß sein, wenn J(x) und J(y) beide einen Wert haben und wenn der Raumzeitabstand von x und y gerade so ist, dass der Propagator von x nach y auch hinreichend groß ist. Das ist genau das, was wir uns oben anschaulich mit dem Bild des Propagators überlegt haben.
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