Wenn Teilchen eigentlich nur Anregungen von Quantenfeldern sind, wieso beobachten wir dass überhaupt etwas, das man als “Teilchen” beschreiben kann? Und wie kommen diese “Teilchen” von einem Ort zum anderen? Bisher hatten wir ja nur Wellen – die waren überall gleichzeitig und passten damit nicht zu der Vorstellung, dass Teilchen irgendwo entstehen und sich ausbreiten.
In unserem Gummituch-Modell können wir uns leicht überlegen, was da passieren muss: Wir müssen das Gummituch irgendwie dazu bringen, dass sich eine Anregung (beispielsweise eine Welle) von einem Ort ausgehend ausbreitet, so wie eine Wasserwelle, wenn man einen Stein ins Wasser wirft. Wir müssen also irgendwie an unserem Gummituch zupfen.
Wie bauen wir das in unseren Feldtheorie-Formalismus ein?
(Ja, so funktioniert Physik. Man leitet nicht alles aus irgendwelchen Axiomen her, sondern man hat eine physikalische Anschauung und überlegt, wie sie sich mit dem bekannten Wissen vereinbaren lässt und wie man sie mathematisch einbaut. Dann probiert man, was herauskommt und prüft, ob es sinvoll ist und zu den Beobachtungen passt. Wenn es das nicht tut, probiert man was anderes, wenn es passt, versucht man, weitere Sachen herauszuknobeln. )
Am Gummituch zupfen heißt ja, dem Tuch eine Auslenkung aufzuzwingen, unser Feld φ ist dort also nicht Null. Und da wir in unserem Formalismus ja alles mit Hilfe der Wirkung beschreiben, müssen wir dafür sorgen, dass die Wirkung kleiner wird, wenn das Feld irgendwo nicht Null ist. Dazu fügen wir einen Ausdruck hinzu, der die Wirkung an der Stelle (und zu der Zeit), wo wir das Feld anregen wollen, entsprechend verändert. So etwas nennt man eine “Quelle”. Diese Quellen für das Feld sind auch wieder vom Ort und von der Zeit abhängig, so wie das Feld selbst. Wenn ich beispielsweise zur Zeit t am Ort x am Gummituch zupfe, dann muss ich eine Funktion definieren, die bei x und t nicht Null ist. Diese Funktion nennen wir J(x) (hier ist x wieder ein Vierervektor), und unsere Wirkung bekommt jetzt einen zusätzlichen Term, der J(x) und φ(x) enthält.
Das ist ziemlich einfach: Wir müssen einfach nur eine Quellenfunktion J(x) definieren und dann J(x)φ(x) zu unserer Lagrangefunktion hinzuzählen. Die sieht jetzt also so aus:
Dieser Ausdruck kommt jetzt ins Pfadintegral:
Dieses Integral kann man sogar lösen, weil es ein Gaußsches Integral ist – da stehen ja nur quadratische Terme im Exponenten. Dazu kann man alles diskretisieren (also das Feld nur auf einem Raumzeitgitter angucken), dann das Integral lösen und am Ende den Grenzübergang machen. Ein bisschen was dazu erkläre ich unten, Details gibt’s wie immer bei Zee.
Eine solche “Quelle” ist nichts Ungewöhnliches oder Abstraktes, sondern einfach ein “Zupfen” an unserem Gummituch. Ihr könnt euch auch vorstellen, ihr werft eine kleine schwere Kugel auf das Tuch. Dabei entsteht eine Welle, die dann an einer anderen Stelle (wo eine zweite “Quelle”, sprich Kugel, sitzt) diese zweite Kugel in die Luft schleudert, wobei die Kugel Energie aus dem Gummituch entnimmt und unsere Welle im Idealfall verschwindet.
Wenn wir statt unseres Feldes φ das elektromagnetische Feld betrachten1 , dann ist die Quelle eine elektrische Ladung (die ja ein elektrisches Feld erzeugt) oder ein Strom, der ein magnetisches Feld erzeugt. (Denkt daran, dass Ladung und Strom eng miteinander verbunden sind, weil sie zusammen einen Vierervektor bilden, das wird eines Tages noch sehr wichtig werden.) Falls euch das immer noch begrifflich etwas unscharf vorkommt – das liegt vermutlich daran, dass ich hier mein Feld mit der QFT beschreibe, aber die Quelle nicht. Das ist vielleicht verwirrend, denn die QFT soll doch alles beschreiben können. Stimmt schon, aber wie man die Wechselwirkung zwischen zwei echten Quantenfeldern beschreibt, erkläre ich ein bisschen später. Wir können uns hier erstmal mit der Vorstellung behelfen, dass unsere Kugel so schwer oder unsere Ladung so groß ist, dass wir sie in brauchbarer Näherung mit den Mitteln der klassischen Physik beschreiben können.
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