Nach den Regeln für Vierervektoren können wir das umschreiben als
Dann steht auf der linken Seite direkt das Quadrat des Viererimpulses.
Aus dieser ganzen Überlegung folgt: Ein Teilchen, das wir beobachten, muss eine bestimmte Beziehung zwischen Energie, Impuls und Masse erfüllen.
Beschreibt man das Teilchen quantenmechanisch, dann kann man dazu ja die Wellenfunktion verwenden, die ich hier und sehr ausführlich (für den nicht-relativistischen Fall) auch in dieser Serie erklärt habe. Die Wellenfunktion beschreibt ein einzelnes Teilchen als Welle oder als Überlagerung von Wellen zu einem Wellenpaket, so wie in diesem Bild vom letzten Mal:
.svg#/media/File:Sinc_function_(normalized).svg)
By Omegatron – Own work, CC BY-SA 3.0, Link
Für die Wellenfunktion gilt, dass die Frequenz der Welle mit der Energie des Teilchens zusammenhängt. Es gilt E=hν=ħω, mit ν als Frequenz und ω=2πν als “Kreisfrequenz”. Der Impuls p und die Wellenzahl k (hier fettgedruckt, weil es dreidimensionale Vektoren sind) hängen ebenfalls zusammen: p=ħk. Unsere Beziehung für Energie und Impuls übersetzt sich dabei zu
ω2–k2=m2
(wobei ich ab jetzt wieder Faktoren von c und ? weglasse.)
ω und k bilden zusammen den Vierervektor aus Frequenz und Wellenzahl (folgt dem Link, wenn ich euch nicht mehr erinnert, ist ja schon ne Weile her). Wie meist sind die mathematischen Details nicht so wichtig, wichtig ist hier nur, dass für ein Teilchen der Impuls (oder die Wellenzahl) und die Energie (oder die Frequenz) zusammenhängen und keine beliebigen Werte annehmen können.
Ausgeschrieben ist unsere Energie-Impuls-Beziehung jetzt
oder in Kurzform
Ganz kurz können wir das auch schreiben als
Aber wir haben ja bisher keine “Teilchen” und nicht mal Wellenfunktionen für einzelne Teilchen, sondern zwei Quellen mit einem Propagator, richtig? Was wir jetzt tun müssen, um den Zusammenhang zwischen Teilchenbild und dem Propagator herzustellen, ist, den Propagator D(x-y) so umzuschreiben, dass wir ihn aus lauter Wellen zusammensetzen, die wir mit Frequenz und Wellenzahl beschreiben können. Dann können wir nämlich direkt prüfen, ob die richtige Beziehung zwischen Frequenz und Wellenzahl immer erfüllt ist; wenn sie das ist, dann beschreibt unser Propagator eine Störung unseres Quantenfelds, die sich wie ein Teilchen verhält – die Störung transportiert dann Masse, Energie und Impuls in der richtigen Menge.
Um den Propagator, der ja eine Funktion von (x-y) ist (wobei x und y vierdimensionale Raumzeitkoordinaten sind – immer dran denken, wir haben hier eine relativistische Theorie), in Wellen umzuschreiben, verwenden wir den Trick mit den Wellen, die Fourier-Transformation: In einer Dimension können wir jede Funktion als Summe über lauter Sinus- und Kosinus-Funktionen darstellen, die unterschiedliche Wellenlängen haben.
Unser Propagator hat jetzt aber nicht eine einfache Zahl als Argument in der Klammer, sondern (x-y). x und y sind zwei Raumzeitpunkte, für die man jeweils 4 Zahlen braucht. Um den Wert von (x-y) festzulegen, braucht man entsprechend auch vier Zahlen (und nicht etwa acht), denn es kommt nur auf die Differenz, also den Raumzeitabstand an.
Der Propagator ist also eine Funktion mit 4 Argumenten oder, anders ausgedrückt, eine Funktion in der vierdimensionalen Raumzeit. Wenn wir eine beliebige Funktion in vier Dimensionen mit Wellen darstellen wollen, dann reicht ein einfacher Sinus natürlich nicht – man muss Sinusse in unterschiedlichen Richtungen überlagern. Hier zum Beispiel ein paar Beispiele für solche Überlagerungen in zwei Dimensionen (direkt aus meinem Vorlesungsskript):
Hier braucht man also beliebige Wellen in x- und y-Richtung, die man überlagert. Mit lauter solchen Wellen in x- und y-Richtung kann man jetzt auch wieder jede (hinreichend gutartige) mathematische Funktion darstellen. Man braucht dann Wellen in x- und y-Richtung, entsprechend gibt es also Wellenlängen oder Wellenvektoren für die x- und für die y-Wellen. Im rechten oberen Bild zum Beispiel ist die Wellenlänge in x-Richtung doppelt so groß wie die in y-Richtung.
Kommentare (40)