Wenn wir das so machen, dann können wir davon ausgehen, dass der genaue Mechanismus des Aufdrehens und Runterregelns egal ist, weil die Zeit dazwischen sehr lang ist (wir werden am Ende sehen, dass W(J) vom Zeitintervall abhängt, für das die Quellen aktiv waren). Und wir erreichen noch etwas: Durch die sehr langsame Führung des Prozesses bleibt das System immer im energetisch günstigsten Zustand. Das ist die Aussage des sogenannten adiabatischen Theorems – das beweise ich jetzt aber nicht. Anschaulich ist es eigentlich aber ganz leicht zu verstehen: Stellt euch als Beispiel für ein System im energetisch günstigsten Zustand mal wieder einen Ball vor, der in einer Mulde liegt. Wenn ihr die Form der Mulde sehr langsam ändert, dann bleibt der Ball die ganze Zeit am tiefsten Punkt – ändert ihr die Form der Mulde dagegen schnell, dann könnt ihr den Ball damit wegschießen. (“Adiabatisches Theorem” ist übrigens ein blöder Name – es ist ja nicht das Theorem, das adiabatisch ist…)
Alles in allem haben wir jetzt also zwei Quellen, die wir irgendwann aufdrehen und dann in ferner Zukunft wieder zu Null zurückstellen. Dieses Bild hier soll das veranschaulichen:
Unsere Extradrehung wird jetzt etwas komplizierter. Im Bild oben war ja schon zu sehen, dass es einen nennenswerten Einfluss der beiden Quellen aufeinander nur dann gibt, wenn sie im passenden Raumzeitabstand zueinander liegen. Wenn jetzt unsere Quellen über einen längeren Zeitraum aktiv sind, dann gibt es natürlich sehr viele Möglichkeiten, mit Hilfe des Propagators Einfluss aufeinander zu nehmen, etwa so:
Und das sind natürlich nicht alle – wir müssen jede Kombination von Start- und Zielpunkten des Propagators berücksichtigen, die im erlaubten Zeitintervall liegen und bei x anfangen und bei y aufhören.
Streng genommen müssten wir sogar auch diejenigen Kombinationen berücksichtigen, die bei x anfangen und aufhören und ebenso für y. Das wären aber sogenannte Selbstenergieterme, die nichts mit der Wechselwirkung zwischen x und y zu tun haben, die lasse ich deshalb in der Rechnung unter den Tisch fallen.
Mathematisch wird das – wie immer, wenn man über alles Mögliche summiert – wieder ein Integral, genauer gesagt sogar zwei Integrale, eins für die eine und eins für die andere Quelle. Dieses Integral kann man lösen, wobei man sich für den Propagator wieder der Fourier-Transformation bedient. Die Details verbanne ich in einen Abschnitt für Fortgeschrittene, weil im Moment nur das Ergebnis wichtig ist.
Die Rechnung klaue ich in zwei Büchern, dem viel-zitierten von Zee (“Quantum Field Theory in a Nutshell”) und M. Stone “The physics of Quantum Fields”, das auch ziemlich gut ist (wenn auch nicht ganz so gut wie das von Zee – es rechnet alles im kanonischen Formalismus mit Auf- und Absteigeoperatoren (vielleicht erkläre ich die auch noch irgendwann) statt mit Pfadintegralen).
Also los. Wir fangen an mit der Formel für W(J), den Extra-Phasenfaktor durch die Quellen:
Die Quellen sitzen bei x und y, wir können sie also als Jδ(x) und Jδ(y) umschreiben (δ ist die Dirac-Delta-Funktion (oder Distribution)), dann fallen die räumlichen Integrale weg, das J gibt dann die Stärke der Quellen an, die ich der Einfachheit halber als gleich annehme.
Wenn ich das einsetze, sieht das Ergebnis so aus:
Der Faktor 1/2 fällt weg, weil wir beide x-y-Kombinationen berücksichtigen müssen.
Für den Propagator setzen wir seine Fourier-Transformierte ein:
Sieht gruselig aus, ist es aber nicht, jedenfalls nicht zu sehr. Wir können das Integral über y0 benutzen, um den ersten Exponentialterm loszuwerden (das gibt eine Delta-Funktion, die k0 zu Null setzt.). Dann bleibt
Dabei habe ich das iε weggelassen, weil der Nenner jetzt eh nie Null werden kann. Außerdem habe ich (weil k2 ja ein Vierervektor-Produkt war) im Nenner das Vorzeichen gedreht und dafür das Vorzeichen Vorn weggelassen.
Kommentare (56)