Das zweite Integral (über k) lässt sich lösen (das verbannt selbst Zee in einen Anhang – im wesentlichen ist der Trick, dass man in Kugelkoordinaten transformiert)
Dabei ist r der (skalare) räumliche Abstand zwischen x und y.
Und was ist mit dem Integral über x0? Ist das nicht unendlich? Nein, ist es nicht – es kommt ja vom Integral über die Quellen. Wenn die Quellen ausgeschaltet sind, sind alle Quellterme Null. Also laufen die Integralgrenzen nicht von minus unendlich bis unendlich, wie man bei meiner schlampigen Schreibweise denken könnte, sondern sie laufen von “vor langer Zeit” bis “in ferner Zukunft”. Nennen wir dieses Zeitintervall T, dann ist das Integral also einfach gleich T.
Das Ergebnis dieser langen Rechnung gehört aber definitiv in den allgemeinen Teil.
Auch wenn die Rechnung nicht hier in den harmlosen Teil gehört, das Ergebnis sollten wir uns anschauen:
In dieser Formel stecken ein paar Zeichen drin, die ich während der fiesen Rechnung eingeführt habe, die muss ich natürlich erklären. T ist die Zeitdauer, die die Quellen angeschaltet waren (also in den Diagrammen oben die Länge der vertikalen Linie, das sind ja Raumzeitdiagramme, wo die senkrechte Richtung die Zeit darstellt). J gibt die Stärke der Quellen an (denkt im Zweifel an so etwas wie Massen oder elektrische Ladungen, die sind ja auch nicht alle gleich groß), wobei ich angenommen habe, dass unsere beiden Quellen hier gleich stark sind (sonst stünde hier J1J2).
Der Buchstabe r bezeichnet den räumlichen Abstand zwischen den beiden Quellen.
Was sagt uns die Formel für W(J)? W(J) war ja der zusätzliche Drehwinkel der Amplitude. Wir sehen, dass dieser Drehwinkel von der Stärke der beiden Quellen abhängt – das erscheint ja ganz logisch, je stärker die sind, desto stärker der Einfluss. Außerdem hängt er von der Zeit ab, die die Quellen eingeschaltet waren – ist auch ganz plausibel, wenn ich etwas doppelt so lange tue, bekomme ich doppelt so viel Ergebnis. (Im Pfadintegral rotiert der Phasenfaktor mit einer bestimmten Geschwindigkeit, doppelt so lange rotieren ergibt doppelt so viel Drehung.)
Dann kommt der Bruch. Da steht unten im Nenner ein Faktor r – W(J) wird also immer kleiner, je größer der Abstand der Quellen wird. Oben im Zähler steht auch noch ein Faktor mit einer Exponentialfunktion. Die hat ein negatives Argument, nämlich -mr. Das m ist die Masse unseres Quantenfeldes (der “Extra-Term”), r wieder der Abstand. W(J) nimmt also exponentiell mit dem Abstand ab – wie stark, hängt von der Masse ab. Dieses Bild zeigt die Funktion (in absolut willkürlichen Einheiten) für unterschiedliche Werte der Masse m:
Ist die Masse groß, ist die Abnahme rapide, ist sie klein, ist die Abnahme schwächer. Bei Masse gleich Null fällt die Funktion ab wie 1/r (der Exponent ist immer gleich 1). Für sehr kleine Abstände dagegen wird der Wert der Funktion sehr groß.
Wenn wir annehmen, dass wir den (von mir immer noch nicht spezifizierten) Effekt, den die Quellen aufeinander ausüben, nicht mehr messen können, wenn W(J) sehr klein wird, dann haben wir also einen Effekt, dessen Reichweite mit der Entfernung und mit der Masse abnimmt. Ist die Masse groß, ist die Reichweite klein, bei Masse Null ist die Reichweite anscheinend sehr groß.
Vorher aber sollte ich endlich mal konkret werden. Was ist denn nun die physikalische Bedeutung von W(J)? Ein globaler Phasenfaktor an einer Wahrscheinlichkeitsamplitude klingt jetzt erst einmal wenig spektakulär und ziemlich abgehoben. Tatsächlich hat dieser Phasenfaktor aber eine ganz einfache und anschauliche Bedeutung.
Wer die Serie aufmerksam verfolgt hat, der wird jetzt vermutlich sagen: Die Bedeutung ist doch eigentlich klar – war nicht der Phasenfaktor immer gerade die Wirkung? Gut aufgepasst, aber leider trotzdem nicht ganz richtig. Wenn wir im Pfadintegral einen einzelnen Pfad betrachten, dann ist der Phasenfaktor die Wirkung. Hier aber betrachten wir jetzt die Summe über alle Pfade, um die Gesamtamplitude für den Prozess zu berechnen. Deshalb ist der Phasenfaktor nicht direkt die Wirkung, sondern etwas, das eng mit der Wirkung zusammenhängt: Die Energie.
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