Genauer gesagt ist W(J)=-ET. (Im Buch von Zee ist hier ein Vorzeichenfehler, ich hoffe, ich habe alle Vorzeichen hier richtig zusammengebastelt) Dabei ist T wieder das Zeitintervall und E ist die Energie. (Warum das so ist, und welche Energie hier eigentlich gemeint ist, dazu gleich mehr.) Wir haben also
Immerhin – die Energie ist eine “echte” physikalische Größe, unter der wir uns etwas vorstellen können. Bevor wir uns das genauer ansehen, will ich versuchen, euch zumindest plausibel zu machen, warum der Phasenfaktor etwas mit der Energie zu tun hat. Wer’s einfach glauben mag, der kann den nächsten Abschnitt schadlos überspringen.
Die Energie als Phasenfaktor
Tja, hier habe ich nun ein kleines Problem: Dass die Energie in einem Problem als Phasenfaktor auftauchen muss, ist so tief in den Wurzeln der Physik verankert, dass es gar nicht so leicht ist, eine Begründung dafür zu finden.
Der Phasenfaktor, den wir hier haben, ist ja ET, Energie mal Zeit. (Da fehlt natürlich wieder ein ℏ.) Ich verwende jetzt mal eine Schreibweise aus der Quantenmechanik, um die Argumentation übersichtlich zu halten. Ich bezeichne einen Zustand unseres Quantenfelds dadurch, dass ich ihn in eine halbe spitze Klammer einschließe (ein “ket”). Den Vakuum-Zustand, um den es hier geht, bezeichne ich mit |0>.
Wenn wir keine Quellen einschalten, dann bleibt das Vakuum einfach Vakuum, wenn wir das Zeitintervall T abwarten:
Wenn wir dagegen unsere Quellen an- und wieder abschalten, dann bekommen wir ja den zusätzlichen Phasenfaktor W(J):
Sieht mal wieder schlimmer aus, als es ist – der Pfeil sagt einfach, dass wir das Zeitintervall T mit angeschalteten Quellen J abwarten; und das e-hoch-i W(J) ist nichts als unsere Schreibweise für einen Phasenfaktor, die wir in einem der ersten Teile eingeführt haben, also die Extra-Drehung der Amplitude.
Wir haben hier also einen Zustand – das Vakuum – der nach einer Zeit T in einen anderen Zustand – das Vakuum mit Extra-Phasenfaktor – übergeht. Hier steht also nichts, was wir nicht schon wissen.
Eine Möglichkeit, einzusehen, dass es sich bei diesem Phasenfaktor um die Energie handelt, besteht darin, eine Anleihe in der guten alten Quantenmechanik zu machen – letztlich ist unsere Quantenfeldtheorie ja nichts anderes als Quantenmechanik mit zwei Extras: Relativitätstheorie und Feldern statt Punktteilchen.
Unser Vakuum ist ein Zustand mit einer Energie – nämlich der niedrigst-möglichen Energie. Diese Energie steckt auch in der Quantenmechanik in einem Phasenfaktor drin: Dort haben die Wellenfunktionen (die ja die Zustände beschreiben) zu einem Zustand mit einer bestimmten Energie auch immer einen Phasenfaktor, nämlich
Das kann man direkt aus der Schrödingergleichung ableiten. In der Quantenmechanik ist ein Phasenfaktor also eine Energie (das sieht man auch an der berühmten Beziehung E=ℏω).
Man mag jetzt einwenden, dass die Schrödinger-Gleichung in der Quantenfeldtheorie ja gerade nicht gilt – man kann dasselbe aber auch für die Klein-Gordon-Gleichung zeigen.
Man kann das Argument auch umdrehen: Die Schreibweise mit dem Pfeil oben zeigt ja, dass der Phasenfaktor das ist, was man bekommt, wenn man die Zeit fortschreiten lässt. Manche Bücher der Quantenmechanik gehen deshalb andersherum vor: Sie definieren eine Zeitentwicklung, die einen Zustand |ψ(t=0)> in einen späteren Zustand |ψ(t=T)> überführt, und leiten dann ab, dass das mathematische Objekt, das die Zeitentwicklung regelt, gerade die Energie (genauer gesagt, der Energieoperator) ist:
Das E mit dem Dach drauf ist der Energie-Operator. Wenn der Zustand ψ eine definierte Energie hat, dann kann man das Dach am Energieoperator auch weglassen und den direkt durch die Energie ersetzen. Auf diesen Zugang hat mich Leser Christian hier aufmerksam gemacht. (Nochmal danke an alle, die sich an der Diskussion dort beteiligt haben.)
Diese Denkweise führt dann, wenn ich es richtig sehe, direkt zur Aussage von Wigner, dass Elementarteilchen irreduzible Darstellungen der Poincare-Gruppe sind. Obwohl das richtig ist, konnte ich mich mit dieser Aussage noch nie anfreunden – vielleicht ist das auch der Kern meines Problems hier.
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