Mit diesem Argument hängt auch ein anderer Aspekt zusammen: Für Energie und Zeit gilt (ebenso wie für Ort und Impuls) eine Unschärferelation: Man kann die Energie eines Zustands nur dann exakt bestimmen, wenn man dafür unendlich lange Zeit hat, und es gilt ΔEΔt≥ℏ/2.
Es gibt hier auch eine enge Verbindung zum berühmten Noether-Theorem, nach dem die Energie eines Systems genau dann erhalten ist, wenn es bei einer zeitlichen Verschiebung unverändert bleibt.
Vielleicht macht euch das zumindest plausibel, warum Energie und Zeitentwicklung hier so eng zusammenhängen. Aber ich geb’s zu: So ganz zufrieden bin ich mit all diesen Halb-Erklärungen nicht. Es gibt zwei Möglichkeiten, warum das so ist: Entweder ich verstehe es noch nicht wirklich gut genug oder diese Ideen sind mir so selbstverständlich, dass es mir schwer fällt, mich in jemanden hineinzuversetzen, der diese Konzepte nicht kennt (das alte Problem, dass wohl jeder Lehrende kennt). Vielleicht fällt mir irgendwann noch etwas besseres ein, dann schreibe ich einen Text dazu, warum Energie und Zeit so merkwürdig eng verbandelt sind.
Energie und Kraft – wir verdienen uns – fast – einen Nobelpreis
Wir haben also mit angeschalteten Quellen eine Energie, die durch diese Formel gegeben ist (ausnahmsweise bastele ich die Konstanten zumindest im Exponenten mal wieder rein, ich hoffe, ich habe mich nicht vertan):
Das Vorzeichen hier ist negativ, die Energie des Systems ist mit eingeschalteten Quellen also kleiner als ohne diese Quellen. Wenn wir versuchen würden, die Quellen voneinander zu entfernen (sehr langsam, sonst kann alles mögliche passieren, das ist wieder das “adiabatische Theorem”), dann müssen wir dafür Energie aufwenden, das heißt, wir müssen Arbeit leisten, denn die Energie wäre ja hinterher größer als vorher.
Nach der guten alten klassischen Physik hängt die Arbeit, die man an einem System leisten muss, mit der Kraft zusammen: Arbeit ist Kraft mal Weg. Wenn wir die Quellen ein Stück voneinander entfernen wollen, brauchen wir also eine Kraft. Mit anderen Worten: Die beiden Quellen ziehen sich an.
Aus unserer Quantenfeldtheorie haben wir also ein echtes physikalisches Resultat abgeleitet: Zwei Quellen, die mit unserem Quantenfeld wechselwirken, ziehen sich an. Die Anziehungskraft nimmt dabei mit dem Abstand ab.
Der japanische Physiker Hideki Yukawa, der von Studenten angeblich wegen seiner komplizierten Mathematik “headache-Yukawa” genannt wurde – eine Geschichte, die ich in irgendeinem Buch gelesen habe, die aber durch eine Recherche bei der google University auf die Schnelle nicht bestätigt wurde – also, dieser Hideki Yukawa hat in den dreißiger Jahren eine Rechnung ähnlich wie diese hier angestellt und sich dann Folgendes überlegt: Eine anziehende Kraft, die mit der Entfernung sehr schnell abnimmt – so etwas beobachtet man doch auch in der Natur. Kernbausteine (Protonen und Neutronen) halten in Atomkernen fest zusammen, aber die Reichweite der Kernkraft ist sehr gering, Atomkerne sind immer klein und wenn sie zu groß werden, werden sie instabil und zerfallen radioaktiv.
Ausgehend von dem, was Yukawa über die Kernkraft wusste, konnte er ableiten, dass das zu dieser Rechnung hier passte. Dann würde die Kernkraft durch ein Quantenfeld vermittelt werden, und zu diesem Feld gehört dann ein Teilchen der Masse m. Yukawa schätzte die Masse dieses neuen Teilchens ab und sagte damit das Pion vorher, das dann 1947 auch gefunden wurde, und zwar ziemlich gut passend zur vorhergesagten Masse. Für diese Vorhersage hat Yukawa auch postwendend den Nobelpreis bekommen.
Zumindest ganz grob können wir seine Rechnung mit einer Abschätzung nachvollziehen – dazu ignorieren wir spaßeshalber den Nenner und schauen uns nur den exponentiellen Abfall im Zähler an. Dort steht ja als Argument -mcr/ℏ. Bei Abstand Null ist dieser Term gleich 1 (der Nenner unseres Bruchs divergiert, aber das ignoriere ich mal kurzerhand.) Wenn wir annehmen, dass die Reichweite dieser Kraft der Größe eines Uranatomkerns (mit einem Durchmesser von 10 Femtometern (10-14 Metern)) entspricht, dann sollte 1/(mc/ℏ) also in dieser Größenordnung liegen, dann ist der Exponent gerade -1. Setzt man Zahlenwerte ein, dann bekommt man für m eine Masse von etwa 50 Elektronenmassen. Das ist natürlich eine sehr grobe Abschätzung (wir haben ja auch den Nenner ignoriert, und ein Abfall um 1/e=0.37 ist ja auch nicht viel) – der tatsächliche Wert liegt bei etwa 240 Elektronenmassen, aber immerhin haben wir die Größenordnung richtig hinbekommen.
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