Wie ihr sehen können stört unser Kerb den Kraftfluss – die Kraftlinien konzentrieren sich direkt an der Kerbspitze (meist “Kerbgrund” genannt). Das ist ziemlich ähnlich zu einer (langsam) strömenden Flüssigkeit (tatsächlich sind die zu Grunde liegenden Gleichungen im wesentlichen dieselben). Diese Konzentration der Kraftlinien führt zu einer Spannungskonzentration (Die Spannung ist definiert als Kraft pro Fläche.).

Die Spannung direkt unter dem Kerb ist also gleich aus zwei Gründen größer als die im ungekerbten Bauteil: Zum einen, weil hier der Querschnitt abnimmt, zum anderen, weil sich zusätzlich die Kraftlinien direkt im Kerbgrund konzentrieren und die Last weiter erhöhen.

Vielleicht macht ein Zahlenbeispiel das etwas anschaulicher (vielleicht auch nicht?): Nimmt man beispielsweise als Durchmesser der Welle 100 Millimeter an und einen umlaufenden, halbkreisförmigen Kerb (so wie im Bild) mit Radius 5 Millimeter, und belastet das ganze mit einer Last von 1200 Kilonewton (also etwa 120 Tonnen), dann ist die Spannung weit weg vom Kerb etwa 150 Megapascal (Newton pro Quadratmillimeter, eine Spannungseinheit). Wegen des kleineren Durchmessers im Kerb würde man hier naiv eine Spannung von 189 Megapascal vorhersagen. Tatsächlich ist direkt unter dem Kerb die Spannung wesentlich höher – nämlich 516 Megapascal, also mehr als zweieinhalb mal so viel, als man nur wegen der Querschnittsabnahme erwartet hätte.

Halten wir also fest: Hat ein Bauteil einen Kerb (oder Riss, den genauen Unterschied diskutiere ich noch), dann gibt es eine Spannungskonzentration direkt am Kerb, die durchaus ziemlich groß sein kann.

Ingenieurinnen wissen das natürlich – entweder ermitteln sie die maximale Spannung gleich mit einer Computersimulation, oder sie verwenden so genannte Kerbformzahldiagramme, bei denen man für handelsübliche Bauteilgeometrien wie Wellen direkt ablesen kann, wie groß die Spannungsüberhöhung ist.

Für uns hier ist vor allem eins wichtig: Der Wert der Spannungsüberhöhung hängt von der Tiefe und vor allem von der Schärfe des Kerbs ab. Je kleiner der Kerbradius, desto schärfer der Kerb und desto größer die Spannungsüberhöhung. Die Zahl der Bauteile, die wegen eines zu scharfen Kerbs versagt haben (weil zum Beispiel für einen Absatz an einem Bauteil kein Radius angegeben war und der Dreher an der Drehbank gerade einen neuen scharfen Drehmeißel eingebaut hat, so dass der Absatz richtig scharf wurde) ist Legion.

Stellen wir uns als nächstes ein Bauteil (der Einfachheit halber denken wir uns eine sehr große Platte) vor, in dem ein langer, scharfer Kerb drin ist, etwa so:

i-3f1a3bbe21df9d7927b01de0cf1fcc07-platte1.jpg

Wir nehmen jetzt an, dass die Platte sehr groß ist im Vergleich zur Länge des Kerbs (ist im Bild nicht wirklich der Fall), und dass der Kerb wiederum sehr lang ist im Vergleich zum Radius an seiner Spitze – dann brauchen wir uns nämlich um die Details der Geometrie keine besonderen Gedanken zu machen. An der Spitze des Kerbs werden die Kraftflusslinien wieder umgeleitet. Je kleiner wir den Kerbradius machen, desto enger legen sich die Kraftflusslinien um den Kerb – die Spannung direkt im Kerbgrund wird immer größer.

Wenn wir den Kerbradius jetzt unendlich klein machen, dann bekommt der bisher ausgerundete Kerb eine scharfe Spitze – aus dem Kerb ist ein Riss geworden. Die Spannung an der Rissspitze wird jetzt sehr groß – rechnerisch geht sie gegen unendlich.

So sieht das ganze aus, wenn man es als Konturplot aufträgt:

i-71d29918a173e7901dfb680341efdef1-rissspannung-thumb-500x424.jpg

Die dicke schwarze Linie bis zur Mitte symbolisiert den Riss. Am Bauteil wird oben und unten gezogen und aufgetragen ist die Spannung in senkrechter Richtung. Man sieht sehr schön, wie sie zur Rissspitze hin immer größer wird.

Falls ihr euch fragt, wieso denn nicht jedes Bauteil mit einem noch so kleinen Riss sofort kaputt geht, wenn doch die Spannung unendlich wird: die Antwort lautet, dass zwar die Spannung lokal gegen unendlich geht, aber Spannung ist Kraft pro Fläche. Betrachtet man beispielsweise die Kraft, die tatsächlich auf ein Atom an der Rissspitze ausgeübt wird, so ist die endlich groß. Streng genommen ist diese Unendlichkeit also ein Artefakt, aber da Atome im Vergleich zu typischen Risslängen winzig sind, ist eine atomare Betrachtung ziemlich sinnlos.

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Kommentare (31)

  1. #1 Geisterfalle
    20. Februar 2012

    Unglaublich, dass ich durch solch einen tollen Artikel als Informatiker für Eigenschaften von Werkstoffen begeistert werde. Chapeau, sehr unterhaltsam und lehrreich 😀

  2. #2 MartinB
    21. Februar 2012

    @Geisterfalle
    Danke schön 🙂

  3. #3 miesepeter3
    21. Februar 2012

    @Martin B.

    Dazu fällt mir dieser Uraltwitz ein:
    In einer Fabrik für Flugzeuge reißen bei einem neuentwickelten Typ beim Durchbruch durch die Schallmauer die Tragflächen immer dicht am Rumpf ab. Die Ingenieure lassen sich immer wieder was neues einfallen, um das abzustellen, nichts hilft. In ihrer Verzweifelung machen sie einen Ideenwettbewerb im Unternehmen, aber niemandem fällt dazu was ein. Doch einem schon, dem Hausmeister. Sein Tipp, perforiert die Stelle genau so wie beim Toilettenpapier. Diese Idee erscheint allen ziemlich schwachsinnig, aber nachdem man schon die unmöglichsten Versuche erfolglos gestartet hatte, kommt es auf diesen einen auch nicht mehr an. Gesagt, getan, man perforierte. Und dann geschah das Wunder, die Tragflächen hielten jeder Belastung stand. Die Testpiloten knüppelten die Maschine immer wieder durch die Schallmauer, nichts passierte. Freude über Freude in der Entwicklungsabteilung, aber nun wollte man vom Hausmeister wissen, welch bahnbrechende wissenschaftliche Erkenntnis ihn zu diesem Tip veranlasst hatte. Die bescheidene Antwort lautete:” Hat jemand schon mal erlebt, dass Toilettenpapier da reißt, wo es soll?”
    Nun, dass entspricht nicht der Vorgabe des Artikels, aber passt irgenwie zum Thema, oder?

  4. #4 MartinB
    21. Februar 2012

    @miesepeter
    Stimmt, der ist nicht schlecht.

  5. #5 Regina
    21. Februar 2012

    Danke für diesen Artikel. Ich lerne immer gerne was dazu.

  6. #6 sumo
    21. Februar 2012

    ein sehr schöner Beitrag, vielen Dank dafür! Es ist eine anschauliche Erklärung für das Phänomen der Kerbwirkung, die sich manchmal sehr schmerzhaft bemerkbar machen kann, wenn z.B. ungeeignete Werkstoffe gemeinsam montiert werden und ein Bauteil dann versagt. Das ist mir vor langer Zeit passiert, beim Radfahren brach mir der Alulenker, der in einem Stahlvorbau montiert war. Der Vorbau war innen nicht sorgfältig entgratet, so daß sich dieser Grat im weicheren Alu einarbeiten konnte und es zu einer Rißbildung kam und der Lenker versagte.

  7. #7 MartinB
    21. Februar 2012

    @sumo
    Ja, das ist böse. In solchen Fällen kommt dann meist noch die Ermüdung dazu, die habe ich schon vor langer zeit mal erklärt:
    https://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/10/konnen-werkstoffe-mude-werden.php
    Per Ermüdung können auch kleine (und unter einmaliger Last harmlose) Risse zum Versagen führen.

  8. #8 roel
    21. Februar 2012

    @MartinB mal wieder ein super Artikel mit super einfachen Erklärungen. Das mit der Aufreisskerbe oder dem Aufreisskeil ist eine tueckische Angelegenheit. Der Riss geht nie gerade durch, meistens jedenfalls nicht. Die einfachste Variante ist übrigens ein gezackter oberer Rand.

  9. #9 MartinB
    21. Februar 2012

    “Der Riss geht nie gerade durch, meistens jedenfalls nicht”
    Ich denke, da spielen zwei Dinge rein:
    Erstens zerreißt man meistens nicht exakt in der Ebene, sondern hat immer eine schräge Komponente drin (also sozusagen aus der Papierebene heraus).
    Zweitens ist so ne Gummibärchentüte nicht überall gleich, so dass der Riss (bei mir jedenfalls) meist auf die Kante der Tüte zuläuft.

  10. #10 BreitSide
    21. Februar 2012

    Super! Da keimen alte Erinnerungen auf. Eeeeeendlich hab ich kapiert, warum winzigste Risse (Sandkörnchenkratzer und so) nicht jedes Bauteil sofort zerstören. Die Rissstopbohrungen sind mir noch gut im Hirn.

    Hab später nicht mehr damit zu tun gehabt, aber die Frage kam mir immer mal wieder. Jetzt hat die liebe Seele ruh…:)

  11. #11 MartinB
    21. Februar 2012

    @BreitSide
    “die Frage kam mir immer mal wieder.”
    Ja, so ging’s mir auch immer. Und dann habe ich irgendwann ein Stück Papier genommen und mal die Kraft auf eine einzelne Atombindung in einem Kristal an der Rissspitze ausgerechnet, indem ich einfach die Formel für die Spannung an der Rissspitze über eine Atomlänge aufintegriert habe. Da kommt dann direkt ein sehr vernünftiger Wert heraus, der zu typischen Bindungsenergien passt.
    Das hat jetzt auch Eingang als Übungsaufgabe in unser Meisterwerk gefunden, auch wenn meine Koautoren die Aufgabe wohl etwas unnötig fanden. Aber Dein Kommentar zeigt, dass noch andere daran herumrätseln.

  12. #12 rolak
    21. Februar 2012

    Wesentlich schöner als die ordinäre Lochung finde ich bei den bei Sägeblättern not­wen­digen ‘Rissen’ die Spiralisierung. Gibts auch in richtig schön eingerollt, finde ich im www grad nicht…

    denn damit man es gut abreißen kann, ist es perforiert

    Ich befürchte, da habt ihr etwas völlig falsch verstanden…

  13. #13 MartinB
    21. Februar 2012

    @rolak
    Zweiter – den hatte Miesepeter schon erzählt…
    Die Spiralen sind aber schick.

  14. #14 Johannes W.
    21. Februar 2012

    Danke, sehr guter Artikel erstmal!

    https://www.saege24.de/images/2008_07_13_21-40-58-1005neg_zoom.JPG

    Ich hab den Link zu einem Bild eines Kreissägeblattes verlinkt und ich nehme mal an, dass diese gewollten “Mäander-Risse” oder wie man sie nennen soll gegen ein Reißen und des Blattes dienen wenn sich Schnittgut verklemmt oder blockiert und somit dann eine Entspannung herbeigeführt wird. Es verwindet sich somit weniger. Kann man das so sagen oder wie ist das dort zu erklären? Diese zugeführten “Risse” sind ja wohl auch so geschlungen, damit es im Ernstfall keinen geraden Rißverlauf geben kann welcher das Blatt komplett aufsprengt, nehme ich an. Liege ich da jetzt richtig oder falsch?

    Keine Ahnung warum unser Spamfilter das nicht mochte? Vermutlich wegen des Links?

  15. #15 rolak
    22. Februar 2012

    /zweiter/ ^^oha, den habe ich iwie überlesen…

  16. #16 roel
    22. Februar 2012

    @MartinB· 21.02.12 · 18:41 Uhr

    So ich habe mal mein Wissen etwas aufgefrischt, war mir gestern nur 99% sicher. Die Gummibärchentüte besteht meistens aus einer Verbundfolie, also einer Folie, die aus 2 Folien zusammenkaschiert wurde. Die äussere Folie ist gereckt oder man sagt auch orientiert, d.h. sie ist nur noch bedingt dehnfähig. Die innere ist nicht speziel gereckt, also dehnfähig. Und dadurch reißt sie mehr oder weniger unkontrolliert ein. Bei einer Chipstüte sieht es anders aus, die besteht i.d.R. nur aus einer einzelnen gereckten Folie und reißt dadurch gerader auf, allerdings auch schneller und fast unstopbar, da ja die Lochbohrung fehlt.

  17. #17 MartinB
    22. Februar 2012

    @roel
    Ah, interessant, wieder was gelernt. Jetzt frage ich mich natürlich, warum die Gummibärchen ne Verbundfolie bekommen und die Chips nicht.

  18. #18 roel
    22. Februar 2012

    @MartinB Na dass ist schwer zu erklären, verpackungstechnisch sind beide Folien geeignet für beide Produkte. Es hat sich auf der einen Seite historisch entwickelt und auf der anderen Seite sind es Marketinggründe. Eine Chipstüte “muss” ordentlich knistern, die Gummibärchentüte nicht.

  19. #19 MartinB
    22. Februar 2012

    roel
    Ja, das mit dem Knistern hatte ich auch überlegt – und mich dann gefragt, warum eine gezogene Folie mehr knistert als eine doppellagige. Weil die gestreckten Polymerketten sich nicht so gut umformen lassen und die Chipstütenfolie deshalb eher knickt als sich einfach zu verbiegen?
    Hast du dazu irgendwelche Links parat? Das wäre ja mal ne coole Sache für unsere Erstsemester – Werkstoffkunde von Naschzeugtüten, mit praktischem Anschauungsmaterial finanziert aus Studiengebühren 😉

  20. #20 roel
    22. Februar 2012

    @MartinB Wegen Links muß ich mal schauen, aber die sollten dann ja schon gut sein, dauert dann ein klein bisschen. Anschauungsmaterial stelle ich dann gerne kostenlos zur Verfügung.

    Also der Knistereffekt beruht auf der Orientierung der Polymerketten, dass macht die Folie steifer und daher knisternd und nicht so biegasam.

  21. #21 MartinB
    22. Februar 2012

    @roel
    “Also der Knistereffekt beruht auf der Orientierung der Polymerketten”
    Und warum knistert’s dann nicht, wenn ich ne zweite Folie dazunehme? Die gestreckte Folie hat ja trotzdem orientierte Ketten und ist wenig biegsam. Oder verhindert die zweite Folie das lokalisieren der Verformung zum Knick?

    “Anschauungsmaterial stelle ich dann gerne kostenlos zur Verfügung.”
    Aber bitte mit Inhalt ;-)))

  22. #22 roel
    22. Februar 2012

    @MartinB Die Verbundfolien für z.B. Gummibären bestehen i.d.R. aus 20µm gereckten Polypropylen (da gibt es verschiedene Abkürzungen für O-PP, PP-O, BOPP…) und 40µm Polyethylen (PE). Das PE ist nicht gereckt, d.H. wenn du das nimmst, kannst du das solange ziehen, bis das es irgendwann mal reißt. Das PP kannst du fast gar nicht in die Länge ziehen. Beide Folien zusammen ebenfalls kaum, aber durch das PE knistert es deutlich weniger.

    “Aber bitte mit Inhalt ;-)))” Wenn der nicht für ein ganzes Semester reichen muß.

  23. #23 MartinB
    22. Februar 2012

    @roel
    Danke für die Zusatzinfos
    “durch das PE knistert es deutlich weniger.”
    ist mir noch nicht so ganz klar – muss wohl heute abend mal ein paar Versuche anstellen.

  24. #24 roel
    22. Februar 2012

    @MartinB Das kann man sicher physikalisch erklären, aber den Teil den ich dazu bräuchte hast du hier noch nicht besprochen. Die Eigenschaften beider Materialien ergänzen sich teilweise, addieren sich auch teilweise und das führt dazu, das das Knistern des PP’s weniger wird. Wenn du eine Frischhaltefolie hast, kannst du diese als PE nehmen, die ist aber viel dünner als 40µm, also dann vielleicht auch doppelt und dreifach nehmen.

  25. #25 roel
    22. Februar 2012

    @MartinB Ich stell dir mal ein Mustermaterialien zusammen. Kann aber bis nächste Woche dauern.

  26. #26 BreitSide
    22. Februar 2012

    @rolak: Ja, die Schwingungs-(Schall-)dämpfung kann manchmal richtig schön sein.

    “Leider” dämpft ein Sandwichsägeblatt (mit aufgebrachtem dünnen Metallblech/-folie auf beiden Seiten) noch besser. Sieht aber nicht mehr so hübsch aus….

    Tatsächlich, das www spuckt nix aus. Das sieht auch ganz nett aus: https://www.rosa-moser.at/sites/default/files/produkte/4700803200_Premium4in1.jpg

  27. #27 MartinB
    22. Februar 2012

    @roel
    Echt jetzt? Ich hätte mich ja mit meinen häuslichen Lakritz- und Chipstüten amüsiert, aber wenn du was schickeres hast, nehm ich das natürlich gern.

  28. #28 rolak
    22. Februar 2012

    Hi Johannes W., die Schnitte dienen ausschließlich der Schalldämpfung. Sehr notwendig, da der genutzte Stahl ungemein hart ist – und die Verballhornung Kreischsäge habe ich auch schon lange nicht mehr gehört. Hier wäre ein aktuelles Exemplar von Leitz, bei dem auch die Endlochungen schön wiederzufinden sind; doch das sieht mir viel zu wenig ‘handgemacht’ aus. Mal schauen, ob ich morgen bei der Arbeit eines dieser schönen Exemplare finde, dann gibts ein Photo…

    Mit Deiner Vermutung zur Begründung des sich Eindrehens, des Verschlingens liegst Du allerdings goldrichtig.

  29. #29 roel
    24. Februar 2012

    @MartinB ergänzend. Es gibt die Beutel fuer Gummiebaerchen auch in 30µm O-PP und auch in einigen anderen Dicken. Je nach Marke.

  30. #30 MartinB
    24. Februar 2012

    @roel
    Ja, ich werde dann demnächst mal rumspielen und meine Knistertheorie prüfen.

  31. #31 rolak
    24. Februar 2012

    So, hier nun das versprochene Photo (direkt das erste Schrottblatt…) – sieht doch aus wie eine weihnachtliche Laubsägearbeit, oder?