1Wenn ich es richtig sehe, ist es eigentlich wohl ein Axialvektor, weil es sich als der antisymmetrische Teil eines zweistufigen Tensors darstellen lässt. Nagelt mich aber nicht drauf fest – diesen ganzen Gruppentheoriekram finde ich immer etwas unanschaulich.
In der SRT vermischen sich Raum und Zeit, wir können also erwarten, dass aus dem räumlichen Vektor ein Vierervektor wird. (Ja, das ist jetzt genau einer dieser relativistischen Tricks) Der Spin muss also noch eine “Zeitkomponente” bekommen.
Jetzt haben wir plötzlich vier Zahlen für unser Spin-1-Teilchen. Beobachten tun wir aber ja nur drei – wir haben uns ja ausführlich überlegt, dass Spin-1-Teilchen drei Zahlen brauchen, um sie zu beschreiben, nicht vier. Wir haben also irgendwie eine Zahl zu viel, nämlich die “Zeitkomponente” unseres Spins.
Da die Zeitkomponente zunächst mal an realen Teilchen nicht beobachtbar ist, müssen wir sie wieder loswerden. Wenn wir die Komponente für ein normales (ruhendes) Teilchen nicht beobachten, dann verschwindet die Zeitkomponente des Spinvektors im Ruhezustand des Teilchens.
Nun sind Teilchen nicht immer in Ruhe – aber mit den Mitteln der Relativitätstheorie können wir uns eine passende Gleichung überlegen, die in jedem System gilt und die dafür sorgt, dass die Zeitkomponente des Spins im Ruhesystem gleich Null ist.1
1Jetzt könnte jemand zu Recht einwenden, dass masselose Teilchen wie Photonen kein Ruhesystem haben. Das stimmt, die Gleichung in der korrekten relativistischen Form gilt aber auch für sie. Dazu steht etwas weiter unten was hinter einem der Warnschilder.
Wenn ich den Vierervektor für den Spin mit A bezeichne, dann ist also
A0=0 (im Ruhesystem)
Das ist natürlich keine schöne Gleichung, weil sie nicht in jedem Bezugssystem gelten kann. Wir müssen daraus eine invariante Größe basteln. Das ist leicht: Der Viererimpuls hat ja im Ruhesystem des Teilchens die Form
p=(E/c, 0,0,0)
Also ist im Ruhesystem pμ Aμ =0.
Das ist aber eine Gleichung in korrekter invarianter Form, also können wir ganz kühn annehmen, dass sie immer gilt. (Ob diese Annahme gerechtfertigt ist, sehen wir, wenn wir Vorhersa
gen machen, die zum Experiment passen.)
Ist das nicht ziemlich blödsinnig? Erst basteln wir die Zeitkomponente in unseren Spin rein, dann diskutieren wir sie wieder weg? Mag auf den ersten Blick so aussehen, tatsächlich haben wir aber etwas erreicht: Unsere Beschreibung des Spins ist jetzt relativistisch korrekt. Wir können also erwarten, dass sie immer gilt, auch wenn ein Teilchen mit hoher Geschwindigkeit an uns vorbeibraust, und sogar für Teilchen, die immer mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs sind. Diese Eigenschaft hatte die ursprüngliche Spin-Beschreibung nicht. Und die “Zeitkomponente” des Spins spielt die entscheidende Rolle für die Kraft zwischen zwei Quellen.
Die Spin-Vierervektoren bilden ein Quantenfeld
In der Quantenmechanik hatten wir ein Trennung zwischen der ortsabhängigen Beschreibung des Teilchens (der Wellenfunktion) und dem Spin, den wir einfach an die Wellenfunktion ranmultipliziert haben. (Ich bin darauf gar nicht ausführlich eingegangen, sondern habe einfach den Spin für sich allein betrachtet. Das ging eben genau deswegen, weil Spin-Eigenschaft und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Raum direkt nichts miteinander zu tun hatten.)
In der Quantenfeldtheorie muss das aber anders sein. Es gibt ja zum Beispiel auch virtuelle Teilchen (eigentlich gibt es nur die), und wenn ich zum Beispiel das Quantenfeld für Photonen betrachte, dann kann ich jetzt und hier ein Photon mit einem Spinwert haben und gleich und dort eins mit einem anderen. Der Spinwert muss also auch vom Ort abhängen dürfen.
Bei einem Spin-1-Teilchen haben wir deshalb nicht einfach ein Feld φ(x), wir haben ein Spinfeld. An jedem Raumzeitpunkt brauche ich nicht eine Zahl, um das Feld zu beschreiben, sondern vier Zahlen für die vier Spinkomponenten. Das können wir so schreiben: Aμ(x). Der obere Index μ sagt also, welche Komponente ich gerade betrachte, er kann Werte zwischen 0 und 3 annehmen. Dabei müssen diese vier Zahlen noch einer speziellen Bedingung genügen, damit im Ruhesystem eines Teilchens die Zeitkomponente des Spins immer verschwindet.
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