Mit einer kleinen Anleihe in der Quantenmechanik kann man sich diese Extra-Bedingung leicht überlegen: Für ein einzelnes Teilchen soll pμ Aμ =0 gelten. Aus dem Impuls wird in der Quantentheorie der Ableitungsoperator ∂μ (mit ein Paar Faktoren i und ℏ, die jetzt egal sind, also ist die Bedingung
∂μAμ =0.
Falls ihr euch in der Elektrodynamik auskennt (falls nicht, betrachtet den Rest des Satzes für den Moment getrost als sinnfreies Physiker-Geblubber), dürfte euch das bekannt vorkommen: Das ist genau die Lorenz-Bedingung (Achtung: die heißt nicht Lorentz-Bedingung, denn sie kommt von Ludvig Lorenz, nicht von Hendrik Antoon Lorentz) für das Viererpotential.
Das klärt dann auch die Frage in der Fußnote oben: Ja, die Gleichung gilt auch für Photonen, auch wenn die kein Ruhesystem haben.
Die kinetische Energie von Spin-1-Teilchen mit raumartigem Spin ist positiv
Betrachten wir ein reales Spin-1-Teilchen.
“Hey, eben hast du gerade noch erzählt, es gibt nur virtuelle Teilchen!!?? Ist das jetzt ein Fall von ‘Was geht mich mein Gerede von vor 5 Minuten an’?”
O.k., ich mach’s etwas genauer, damit niemand nörgelt. Betrachten wir eine Anregung unseres Quantenfeldes in Form einer ebenen Welle, für die die Bedingung ω2–k2=m2 gilt. (Falls ihr nicht mehr wisst, wo diese Bedingung herkommt. könnt ihr hier nachgucken. Ja, heute gibt es viele Querverweise, denn in diesem Teil laufen fast alle Fäden zusammen, die ich bisher gesponnen habe.)
Wir haben also ein Spin-1-Teilchen, und zwar ein “reales”, also eins, das wir auch beobachten können. Wenn es ein massives Teilchen ist, können wir uns in sein Ruhesystem setzen und dann verschwindet die Zeitkomponente des Spin-Vierervektors: A0=0. Wir machen es uns besonders einfach und wählen den Spin des Teilchens so, dass nur eine einzige Komponente nicht verschwindet, zum Beispiel A1. Jetzt geben wir diesem Teilchen eine kleine Geschwindigkeit (oder wir fliegen mit einer kleinen Geschwindigkeit am Teilchen vorbei, das ist nach Relativitätstheorie ja egal.) Das Teilchen hat jetzt eine kinetische Energie.
Diese kinetische Energie ist sicherlich positiv – in der klassischen Physik gilt ja zum Beispiel Ekin=mv2/2, genau wie für ein Spin-0-Teilchen. Wenn wir die Geschwindigkeit senkrecht zur Spinrichtung wählen, dann ändert sich die Spin-Komponente nicht – es ist immer noch nur A1 ungleich Null.
Ein Teilchen mit festgelegtem Spin verhält sich dann ganz genauso wie ein Teilchen ohne Spin, was seine kinetische Energie angeht. Alles andere wäre auch seltsam – wenn ein Teilchen durch Ändern seines Spins sein Verhalten bezüglich der kinetischen Energie verändern könnte, würden wir wahrscheinlich Probleme mit Dingen wie der Energie- und Impulserhaltung bekommen. Und das hätte man auch längst beobachtet. Beispielsweise können in einem Wasserstoff-Atom der Spin von Elektron und Proton entweder entgegengesetzt sein – dann hat das Atom als Ganzes den Spin 0 – oder gleichgerichtet – dann hat das Atom als Ganzes den Spin 1. Dass ein Wasserstoff-Atom eine andere (oder gar negative – letztlich geht’s hier nur ums Vorzeichen) kinetische Energie bekommt, wenn es einen Spin umklappt, wäre uns wohl schon aufgefallen.
Der Propagator eines Spin-1-Teilchens mit raumartigem Spin ähnelt dem eines Spin-0-Teilchens
An dieser Überlegung ändert sich auch nichts, wenn wir das Ganze mit den Regeln der Quantenfeldtheorie beschreiben, und den Propagator des Teilchens betrachten. Der Propagator eines Spin-1-Teilchens mit “normalem” Spin (also einem, der in eine bestimmte Raumrichtung zeigt) sollte genauso aussehen wie der eines Spin-0-Teilchens.
Wenn wir unsere Rechnung zur Kraft zwischen zwei Quellen wieder hervorkramen, dann bedeutet das, dass zwei Quellen, die miteinander ein Spin-1-Teilchen austauschen, dessen Spin senkrecht zu seiner Ausbreitungsrichtung liegt1, sich ebenfalls anziehen sollten. (Das stimmt auch tatsächlich und ist genau der Grund, warum sich zwei stromführende Drähte anziehen – das werde ich aber noch mal detaillierter erklären, wenn ich etwas mehr über das Photon schreibe.)
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