1Diese Forderung ist eigentlich nur für masselose Spin-1-Teilchen wie das Photon wichtig.
Unser Spin-1-Teilchen (oder besser gesagt, das Spin-1-Quantenfeld) soll ja eine Kraft zwischen zwei Objekten vermitteln, so wie wir es bei der Kraftberechnung neulich gesehen haben. Dort hatten wir einen Term
J(x) D(x-y) J(y)
aus dem sich die Anziehungskraft ergab. Dabei war D(x-y) der Propagator.
Der Propagator D(x-y) sagt etwas darüber wie sich eine Störung des Feldes am Raumzeitpunkt x auf den Raumzeitpunkt y auswirkt.
Nun hat unser Quantenfeld einen Spin dazubekommen. Ich muss also jetzt auch beachten, welche Spinkomponente unseres Quantenfeldes ich am Punkt x anrege und umgekehrt auch, auf welche Komponente ich die Auswirkung am Punkt y betrachten will.
Wir müssen also eigentlich schreiben
D(x-y, Spin bei x, Spin bei y)
Wenn ich also am Ort x eine bestimmte Spinkomponente anrege, dann wird sich dies auf die unterschiedlichen Spin-Komponenten am Ort y unterschiedlich auswirken.
Da wir den Spin ja mühsam zu einem Vierervektor gemacht haben und da man Vierervektoren ja immer mit Indices kennzeichnet, schreiben wir aber besser
Dμν(x-y)
Das gibt mir also die Auswirkung einer Störung der μ-Komponente am Raumzeitpunkt x auf die ν-Komponente am Raumzeitpunkt y. Beim Photon (und generell bei allen masselosen Spin-1-Teilchen) ist der Propagator übrigens gleich Null, wenn μ ungleich ν ist. Das heißt anschaulich gesprochen, dass sich der Spin beim Propagieren nicht ändert. (Bei Spin-1-Teilchen mit Masse und auch bei Elektronen ist das anders.) Das kann man (mit etwas Rechnerei) auch herleiten, man kann auch einfach Photonen als Beispiel nehmen – polarisiertes Licht bleibt polarisiert, egal wie weit es fliegt.
Also ist Dμν nur dann ungleich Null, wenn μ=ν ist. Ist μ= 1, 2 oder 3 (“du musst dich entscheiden…”), dann sollte der Propagator genauso aussehen wie der für ein Spin-0-Teilchen.
Dass sich der Spinwert während des Propagierens nicht ändern kann, gilt nur für ein masseloses Teilchen wie das Photon, nicht für ein massives Teilchen. Bei einem massiven Teilchen kommt hier ein Term kμkν/m2 hinzu, der aber verschwindet, wenn die Masse gegen Null geht. Details wie meist bei Zee (Kap. I.5). Wesentlich komplizierter wird die Sache bei Spin-1/2-Teilchen wie Elektronen. Wenn die durch die Gegend fliegen, bekommen sie eine Anti-Teilchen-Komponente mit entgegengesetztem Spin dazu. Ich hoffe, dass ich es irgendwann schaffe, auch über dieses gruselige Thema (Spinoren) zu schreiben.
Die Anziehungskraft zwischen zwei ruhenden Quellen involviert die Zeitkomponente des Feldes
Unsere beiden Quellen tauschen jetzt also virtuelle Teilchen aus (ihr könnt auch sagen, sie wechselwirken mit dem Quantenfeld, das ist ja dasselbe und es ist reine Geschmackssache, welche Sprechweise ihr bevorzugt). Aber welche Rolle spielen dabei die Indices μ und ν für die Spin-Komponente? Wir können nicht einfach
J(x)Dμν(x-y)J(y)
schreiben, das wäre ganz doll pfui-bäh, weil das Ergebnis zwei Vierervektor-Indices hat – es muss aber eine einfache Zahl (ein Skalar) sein, denn dieser Ausdruck gibt ja einen Drehwinkel für unseren Wahrscheinlichkeitsamplitudenpfeil an.
Irgendwo müssen wir noch mehr Vierervektor herbekommen, denn aus zwei Vierervektoren kann man eine einfache Zahl bauen, indem man sie aneinandermultipliziert. (Das hatte ich seinerzeit eine “invariante Größe” genannt.)
Mit ein bisschen physikalischer Intuition können wir aber überlegen, wo diese Vierervektoren herkommen: Die Quelle selbst ist auch ein Vierervektor.
Warum? Stellt euch kurz unter der Quelle konkret eine elektrische Ladung vor. Und nun mieten wir uns mal wieder ein Raumschiff und heizen mit dreiviertel-Impuls an unserer Ladung vorbei. Wir sehen eine Ladung, die sich bewegt. Und eine sich bewegende Ladung ist ein Strom. Auch das hatten wir seinerzeit im Relativitätstheoriekapitel gesehen: Ladung und Strom1 bilden zusammen einen Vierervektor. Die Ladung entspricht dabei der “zeitlichen” Komponente, der Strom der “räumlichen” Komponente.
1 genauer gesagt Ladungsdichte und Stromdichte, aber der Unterschied spielt hier keine Rolle.
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