Ich sage es hier gleich dazu: Die Notation |k⟩ verwendet man auch in der QFT oft, was suggeriert (und diese Suggestion wird von den meisten QFT-Büchern auch nicht in Frage gestellt), dass es da auch eine Art Wellenfunktion gibt, die eine ebene Welle wäre. Leider ist das aber falsch, Zustände in der QFT sind wesentlich komplizierter als das. (Aber keine Sorge, auch wieder nicht soo kompliziert, dass man sie nicht verstehen könnte.)
Ebene Wellen sind deswegen oft praktischer als Ortszustände, weil ebene Wellen Lösungen der Elektron-Gleichung in der Quantenmechanik (der Schrödinger-Gleichung) sind. Ist ein Elektron einmal in einem Zustand einer ebenen Welle, also |k⟩, dann bleibt es (solange es ungestört ist, also keine Kräfte wirken) in diesem Zustand. Das ist bei Ortszuständen anders: Ist ein Elektron jetzt an einem bestimmten Ort x, also im Zustand |x⟩, dann ist es gleich nicht mehr in diesem Zustand, sondern in einer Überlagerung. (Wellenpakete zerlaufen mit der Zeit, auch dazu findet ihr viele Bildchen in meiner alten Schrödingergleichungs-Serie.)
Intuitiv findet ihr vermutlich Ortszustände anschaulicher (das geht den meisten Leuten wohl so, mir übrigens auch), aber ebene Wellen (auch Impulszustände genannt, weil ℏ k ja der Impuls ist) sind oft wesentlich praktischer. Sie haben auch den zusätzlichen Vorteil, dass sie (für frei herumfliegende Elektronen) einen wohldefinierten Wert der Energie haben.
Es gilt für ebene Wellen dasselbe wie für die Ortszustände: Ein beliebiger Elektronenzustand kann geschrieben werden als
Zustand = ∫ dk ψ(k) |k⟩
Um den Zustand eines Elektrons in der Quantenmechanik zu beschreiben, brauchen wir also einen Satz von speziellen Zuständen, beispielsweise Orts- oder Impulszustände. Ein beliebiger Zustand eines Elektrons ist eine Überlagerung solcher Zustände (man nennt die oft auch Basis-Zustände) mit Koeffizienten, die die Wahrscheinlichkeitsamplitude darstellen, diesen Zustand zu messen. Die Basis-Zustände sind dabei solche, die man auch direkt messen könnte und die auch den Zuständen in der klassischen Physik entsprechen – ein klassisches Elektron ist immer an einem bestimmten Ort x.
Ein anderer Begriff für diese Zustände ist “Eigenzustände” – dazu sagt man, welcher Größe diese Zustände “eigen” sind. Die |x⟩-Zustände heißen also “Ortseigenzustände”, die |k⟩-Zustände heißen Impulseigenzustände, und Energieeigenzustände bekommen wir auch gleich noch.
Zustände in der QFT – erster Versuch
Alles was hier bisher geschrieben habe, gilt in der Quantenmechanik. In der Quantenfeldtheorie haben wir es aber ja nicht mehr mit einem Teilchen zu tun, sondern mit einem ganzen Quantenfeld. Wie können wir mit diesen Ideen den Zustand eines solchen Quantenfelds beschreiben?
In der klassischen Physik haben wir ein Punktteilchen, das an jedem Ort x sein kann. Jeder dieser Möglichkeiten ordnet die Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zu.
Ein klassisches Feld ordnet selbst schon jedem Punkt des Raumes x einen Wert des Feldes zu: φ(x), beispielsweise die Auslenkung unseres berühmten Gummituchs. Entsprechend müssen wir, um den Zustand mit einer Wellenfunktion zu beschreiben, jeder denkbaren Feldkonfiguration φ(x) eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zuordnen. Das passt eigentlich gut zur Logik unseres Pfadintegrals, wo wir ja über alle Feldkonfigurationen summiert haben und jede davon einen Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsamplitude des ganzen Prozesses geleistet hat.
Eigentlich ganz einfach und konsequent.
Mathematisch ist das allerdings ziemlich böse – es gibt schließlich unglaublich irrsinnig viele Funktionen. Formeln, die mit solchen “Funktionalen” (die also einer Funktion einen Wert zuordnen) hantieren, sind deshalb ziemlich schwer zu durchschauen. Das oben schon erwähnte Buch von Hatfield z.B. hat eine Formel, in der der schicke Ausdruck π∞ steht – “pi hoch unendlich” ist schon ein wenig bedenklich, oder? (Mathematisch ist auch das Pfadintegral selbst nicht ohne – da gibt es aber Tricks, mit denen man den Ärger relativ leicht in den Griff bekommt. So ziemlich die wichtigsten davon sind Feynman-Diagramme, eines Tages baue ich die hoffentlich auch noch in diese Serie ein.)
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