Doch, tun sie. Aber um das Verhalten eines klassischen Teilchens in einem harmonischen Oszillator zu beschreiben, muss man mehrere Energiezustände überlagern, man hat also
|Zustand⟩ = a0|0⟩ + a1|1⟩ + a2|2⟩ + a3|3⟩ +…
Dabei sind die a’s wieder die Wahrscheinlichkeitsamplituden, mit denen die einzelnen Zustände beitragen.
Und mit einer geschickten Wahl dieser a’s (sogenannte kohärente Zustände) ergibt sich folgendes für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons:
Hier haben wir jetzt ein “Wellenpaket” (sowas kennen wir ja schon), das sich ganz brav bewegt wie ein klassisches Teilchen und genau mit der richtigen Frequenz hin- und hersaust.
Ein klassisch schwingendes Teilchen lässt sich also tatsächlich mit dem harmonischen Oszillator und den Mitteln der Quantenmechanik verstehen – allerdings ist seine Energie nicht ganz scharf definiert, denn unser Wellenpaket ist ja eine Überlagerung unterschiedlicher Energiezustände.
Wie groß wäre denn aber die Energie von so einem Wellenpaket? Auch das kann man mit den Mitteln der Quantenmechanik herausfinden – man muss aber ein bisschen vorsichtig sein. (Und ja, ihr bekommt heute einen absoluten Turbo-Crashkurs in QM. Falls er zu “turbo” ist und ihr verständnistechnisch wirklich einen Crash erleidet, nörgelt in den Kommentaren.)
Nehmen wir erstmal einen Energie-Eigenzustand, beispielsweise |n⟩. Dessen Energie kennen wir, sie ist ℏω (n+1/2).
Nehmen wir als nächstes an, wir hätten einen Überlagerungszustand, beispielsweise aus dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand:
|Zustand⟩ = a0|0⟩ + a1|1⟩
Dabei ist a0 die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Zustand |0⟩ und entsprechend a1 für den Zustand |1⟩.
Der Begriff “Wahrscheinlichkeitsamplitude mit Wert a” bedeutete ja, dass wir bei einer Messung den jeweiligen Zustand mit einer Wahrscheinlichkeit von |a|2 messen werden.
Wenn wir also die Energie messen, dann werden wir in |a0|2 der Fälle den Wert ℏω/2 (Grundzustand) messen und in |a1|2der Fälle den Wert ℏω(n+1/2). Was wir im Einzelfall messen, wissen wir dabei natürlich nicht, aber bei einer einzelnen Messung einer Größe wie der Energie (vornehm ausgedrückt, einer “Observable” – etwas, das man messen kann) bekommen wir immer einen der Energiewerte, die zu einem Eigenzustand gehören. (Die Energieerhaltung wird dabei übrigens nicht verletzt, weil sowohl beim Herstellen als auch beim Messen des Zustandes ja eine Wechselwirkung mit der Umgebung stattfindet. Das im Detail zu erklären wäre vielleicht mal einen eigenen Text wert.)
Oft ist es aber so, dass wir sehr viele Messungen machen und dann darüber mitteln. Denkt beispielsweise ans CERN, da werden Milliarden von Protonen gegeneinandergeballert, und wir messen am Ende zum Beispiel, wie oft die miteinander kollidiert sind. Oder denkt an einen Kristall voller schwingender Atome, von dem ihr die Wärme messt. In beiden Fällen würden wir erwarten, dass die Energie sich als Mittelwert aus den unterschiedlichen Möglichkeiten ergibt. Diesen Wert nennt man den Erwartungswert. Für unseren einfachen Oszillator-Zustand wäre der Erwartungswert
Eerwartung = |a0|2 ℏω/2 + |a1|2 ℏω 3/2
Als Erwartungswert können wir irgendeinen Wert bekommen, weil ja die Wahrscheinlichkeitsamplituden beliebige Werte haben können. Für diesen Erwartungswert gibt es eine spezielle Notation mit zwei spitzen Klammern(die ich vielleicht ein andermal erklären muss):
Eerwartung = ⟨Zustand| E | Zustand⟩
ist der Erwartungswert zur Energie für unseren | Zustand⟩. Meist bekommt das E ein kleines Dach oben drauf, damit man nicht denkt, dass es sich hier um eine Zahl handelt – das E steht hier für die Messgröße Energie. Weil in html Dächer nicht so gut gehen, unterstreiche ich stattdessen.
Wir können auch zum Beispiel den Erwartungswert des Ortes angucken. Die Messgröße hierzu ist der Ort x, wir schreiben das also als x. Für den Grundzustand unseres Oszillators (und auch für jeden angeregten Eigenzustand zur Energie) ist
⟨0| x | 0⟩=0
Das könnt ihr direkt am Bild der Wellenfunktion oben sehen, denn die ist nach rechts und links symmetrisch, also messe ich, wenn ich es sehr oft tue, für den Ort den Wert Null.
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