Wie ihr daraus seht, ist die Frage, wie genau man das Vakuum am besten interpretiert, nicht eindeutig geklärt. (Ziemlich eindeutig geklärt sind allerdings die notwendigen Rechenvorschriften – deswegen bekommen auch alle PhysikerInnen dasselbe raus, wenn sie Prozesse berechnen, auch wen sie sich über die Interpretation der Gleichungen nicht ganz einig sind.)

Eins ist aber auf jeden Fall auch hier klar: Solange ihr keine Messung macht und damit den Vakuumzustand stört, ist der Vakuumzustand eindeutig und ändert sich nicht mit der Zeit. Auch hier gibt es keine Vakuumfluktuationen.

Die Idee mit den Vakuumfluktuationen kommt wohl daher, dass man sich beispielsweise das Pfadintegral anschaut – da wird ja über jede denkbare Feldkonfiguration integriert, und diejenigen, die dicht am “klassischen” Vakuum liegen, tragen besonders stark bei. Diese Feldkonfigurationen fluktuieren natürlich jede für sich. In der Summe aber mitteln sich all diese Fluktuationen so heraus, dass ein zeitunabhängiger Zustand entsteht. Wie der genau aussieht, zeige ich beim nächsten Mal. (Alternativ kann man sich das auch mit Feynman-Diagrammen veranschaulichen – eigentlich wollte ich die längst erklärt haben, aber mir ist Nichts dazwischen gekommen.)

Vakuumfluktuation ist also eine hübsche Umschreibung der Tatsache, dass im Vakuum das Feld nicht einfach verschwindet, sondern eine komplizierte Überlagerung aus allen möglichen Feldzuständen ist. “Fluktuieren” tut da aber nichts, denn das Wort impliziert ja eine zeitliche Änderung. Trotzdem werde ich das Wort vermutlich in Zukunft verwenden, falls mir kein anderes einfällt: ihr wisst dann ja, wie es zu verstehen ist.

Eine überraschende Wiederbegegnung

Auf jeden Fall können wir aus der Korrelationsfunktion einiges über unser Quantenfeld lernen, das ist hoffentlich deutlich geworden. Und tatsächlich ist die Korrelationsfunktion in Wahrheit ein alter Bekannter, der uns schon oft begegnet ist.

Wenn ihr noch einmal auf die Formel schaut, dann könnt ihr die auch so interpretieren: Zuerst wird am Ort x bei t=0 eine Feldanregung erzeugt, und dann wird am Ort y zu einer späteren Zeit geguckt, welche Auswirkung das hat. Erinnert euch das an etwas? Der Propagator, den wir vor einiger Zeit eingeführt haben, war eine Größe, die genau dasselbe tat, auch der Propagator sagte uns etwas darüber, wie sich eine Störung am Raumzeitpunkt x an einem späteren Raumzeitpunkt y auswirkte. Mit ein bisschen mathematischer Mühe kann man zeigen, dass unsere Korrelationsfunktion zum Propagator identisch ist.

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Das rechne ich jetzt nicht vor, weil es mal wieder in jedem QFT-Buch steht. Genau genommen sollte man natürlich hier das φ(x) als Erzeuger für eine Feldanregung ansehen und das φ(y) als Vernichter, damit dann am Ende wieder ein Vakuumzustand herauskommt.

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Die meisten QFT-Bücher basteln hier auch noch einen Zeitordnungs-Operator ein, das habe ich mir hier gespart, indem ich von vornherein verlangt habe, dass der linke Operator zu einem späteren Zeitpunkt angeguckt wird als der rechte.

Dass die Korrelationsfunktion genau der Propagator ist, ist übrigens ein weiterer Grund, warum ich es sinnvoll finde, sie als eine Eigenschaft des Vakuums anzusehen – denn die Anregung des Quantenfeldes zwischen zwei Quellen breitet sich ja durch das Vakuum aus. Eine andere Struktur des Vakuums (wie beispielsweise ein Higgs-Feld) würde auch den Propagator beeinflussen und ebenso die Korrelationsfunktion.

Apropos Higgs-Feld: Das Higgs-Feld (nicht zu verwechseln mit dem Higgs-Teilchen- folgt dem Link eben für eine detaillierte Erklärung) zeichnet sich genau dadurch aus, dass bei ihm der Vakuum-Erwartungswert für das Feld ⟨0| φ |0⟩ nicht verschwindet. Das liegt daran, dass das Vakuum mit verschwindendem Higgs-Feld-Erwartungswert instabil ist – es ist energetisch günstiger, wenn das Higgs-Feld einen endlichen Wert bekommt. Folgt dem Link oben für eine ausführliche Erklärung.

Felder an benachbarten Raumzeitpunkten im Vakuum sind also korreliert, auch wenn der Erwartungswert des Feldes verschwindet. Um das mathematisch darzustellen, brauchen wir eine ziemlich komplizierte Wellenfunktion, die an jedem Punkt des Raumes für jeden Wert des Feldes eine Wahrscheinlichkeitsamplitude vorgibt und die auch noch diese Korrelation berücksichtigt. So ein Gebilde ist also eine Funktion von Funktionen – mathematisch ein Funktional, ein ziemlich unhandliches Gebilde, mit dem sich schlecht rechnen lässt.

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Kommentare (19)

  1. #1 nihil jie
    1. Juni 2012

    Ganz schön viel Arbeit, um das Vakuum zu verstehen? In der Quantenfeldtheorie ist eben selbst das Nichts alles andere als einfach.

    das stimmt allerdings 😉 aber dennoch… rein von der Vorstellungskraft her kann ich einiges mit Deiner Ausführung anfangen. Vor allem verhelfen mir am meisten die Grafiken zum Verständnis nicht unbedingt die Mathematik. Sie ist natürlich notwendig um das alles Naturwissenschaftlich zu verankern und auf solide Beine zu stellen, wie auch zusammenhänge in Zahlen zu beschreiben. dennoch… mir haben Diagramme und Grafiken schon meistens den Zugang zu verschiedenen Dingen eröffnet.

    ja.. da freue ich mich schon auf das Drei-Punkt-Universum *gg 😉

  2. #2 Niels
    1. Juni 2012

    Puh, das hat mich jetzt ehrlich gesagt ein bisschen überfordert.

    Nächstes oder übernächstes Wochenende lese ich noch mal ein paar der Vorgänger-Artikel und direkt im Anschluss noch mal diesen Teil.
    Wenns dann immer noch klemmt löcher ich dich mit Fragen. 😉

  3. #3 MartinB
    2. Juni 2012

    @nihilje
    Ja, geht mir mit den Grafiken genauso. Ich hatte die alles-entscheidende Formel (kommt nächstes mal) schon gesehen (dank eines Verweises im physicsforum) aber nicht viel damit anfangen können. Dann habe ich mir die Oszillator-Geschichten hier überlegt und dann gab es letzte Woche ein richtiges “Erleuchtungserlebnis” – plötzlich von einer Sekunde auf die andere wusste ich quasi, dass ich es jetzt verstanden hatte und musste dann nur noch alles sauber durchdenken.

    @Niels
    Au weia, wenn es dich schon überfordert…
    Ich hoffe, du kannst noch sagen, wo es klemmt, sonst versteht’s am Ende niemand außer mir.

  4. #4 SCHWAR_A
    2. Juni 2012

    @MartinB:
    wo steckt eigentlich die Laufzeit für die Korrelation drin? Die gegenseitige Beeinflussung benötigt doch Zeit, auch mit Δx→0. Gibt es daher nicht für jeden Ort A bzw. B verschiedene Misch-Terme mit dem eigenen Feld der aktuellen Zeit t und dem fernen Feld aus der Vergangenheit, also zur Zeit t-Δt ?

    Herzliche Grüße.

  5. #5 SCHWAR_A
    2. Juni 2012

    @MartinB:
    …wenn ich’s genau nehme, müßte sogar immer das ferne Feld zur Zeit t-Δt genommen werden, also auch der quadatische Term, oder nicht?

  6. #6 MartinB
    2. Juni 2012

    @SCHWAR_A
    Die Laufzeit steckt natürlich in Wahrheit auch drin – das haben wir seinerzeit beim Propagator gesehen, die Formel ist ja dieselbe.

    “Gibt es daher nicht für jeden Ort A bzw. B verschiedene Misch-Terme mit dem eigenen Feld der aktuellen Zeit t und dem fernen Feld aus der Vergangenheit, also zur Zeit t-Δt”
    Da bin ich mir jetzt nicht sicher, ob ich das richtig verstehe. Wenn ich wie ich es hier tue Zustände angucke, dann muss ja der Zustand bei t+dt vollständig durch den bei t bestimmt sein – wo du da jetzt die ferne Vergangenheit siehst, ist mir nicht klar. Natürlich hat auch alles was vor langer Zeit passiert ist, Einfluss auf den Zustand bei t+dt, aber dieser Einfluss steckt ja im Feld zur Zeit t schon drin.

    “müßte sogar immer das ferne Feld zur Zeit t-Δt genommen werden, also auch der quadatische Term, oder nicht?”
    Welcher quadratische Term? der (d phi)^2-Term? Oder die Ableitung nach x? Kann dir gerade nicht folgen.

  7. #7 SCHWAR_A
    2. Juni 2012

    @MartinB:
    oh, das hast Du nicht so verstanden, wie ich es gemeint habe.

    Mit “fern” meine ich den benachbarten Punkt (es gibt ja nur diesen in diesem Artikel) im Abstand Δx, also einer Propagationszeit von Δt=Δx/c zur Überbrückung dieser Distanz.

    Daher meine ich, daß beide Terme betroffen sind, bei denen das Feld φ(x+Δx) ein Bestandteil ist: beide sollten m.E. eigentlich φ(x+Δx, t-Δt) enthalten,
    also

      – ( φ(x+Δx, t-Δt) – φ(x, t) )² / Δx² =

     &nbsp  – ( φ²(x+Δx, t-Δt) – 2φ(x+Δx, t-Δt)φ(x, t) + φ²(x, t) ) / Δx²

  8. #8 MartinB
    2. Juni 2012

    @SCHWAR_A
    Ach so, ich glaube jetzt verstehe ich.
    Das ist meiner Ansicht nach unnötig, wenn ich es richtig sehe, ist der Unterschied ein Effekt 2. Ordnung und somit vernachlässigbar, weil
    φ(x,t-dt) = φ(x,t) – dt dφ(x,t) /dt
    Hab’s nicht im Detail ausgerechnet, aber mein Bauchgefühl sagt mir, dass der Unterschied proportional zu dx dt ist. Falls du das nicht nachvollziehen kannst, sag nochmal Bescheid, dann versuche ich, das wasserdicht aufzuschreiben.

  9. #9 SCHWAR_A
    2. Juni 2012

    @MartinB:
    “…2.Ordnung … vernachlässigbar…”

    Wenn wir uns auf Planck-Längen-Niveau befinden, dann jedoch Abstände auf Protonen-Radius-Niveau betrachten, ist das aber nicht mehr vernachlässigbar – oder etwa doch?
    Wie ist denn der Gültigkeitsbereich definiert/herleitbar?

  10. #10 MartinB
    2. Juni 2012

    @SCHWAR_A
    Ich argumentiere hier rein mathematisch, da spielen doch solche Erwägungen zur Planck-Skala keine Rolle. Vom Protonen-Radius war hier doch auch nirgends wie Rede, oder? Irgendwie verstehe ich immer noch nicht so ganz dein Problem – einen “Gültigkeitsbereich” hat mein 2-Punkt-Universum nicht, es ist ja nur ein Spielzeug.

  11. #11 SCHWAR_A
    2. Juni 2012

    @MartinB:
    OK, ich sehe, daß die beiden Punkte in diesem Artikel sehr eng nebeneinander liegen.

    Ich bezog mich bereits auf eine laaaange Punkte- Kette – die kommt ja erst noch…
    Und die Planck-Länge bzw. Protonen-Radius waren NUR Größenordnungen, um zu zeigen, daß ich seeehr viele Punkte meinte…

    So, jetzt geht’s erst mal in Urlaub. In 2 Wo bin ich dann wieder dabei – und muß dann wahrscheinlich viel aufholen… 😉

    Herzliche Grüße.

  12. #12 MartinB
    2. Juni 2012

    @SCHWAR_A
    Ach so, dann verstehe ich. Nein, hier ist es wirkliche in Gitter mit zwei Punkten, die auch dicht zusammenliegen können/sollen. letztlich dient das ganze nur dazu, die Intuition zu schärfen, damit man das volle Problem versteht; außerdem fiel mir dann auf, dass es ein netter Weg ist, den Propagator zu erklären.
    Wer weiß, wenn ich die Serie nochmal schreiben würde, würde ich vielleicht tatsächlich damit hier (Wellenfunktion des Vakuums) anfangen, konzeptionell finde ich es inzwischen fast einfacher als das Pfadintegral.

  13. #13 nihil jie
    3. Juni 2012

    @MartinB

    mir ging es oft auch in der schule so. aber ich hatte in Polen einige gute Lehrer die sich derartige (bildliche, graphische) Erklärungsmodelle wussten zunutze zu machen. zb. Meine damalige Physiklehrerin. Sie hatte wirklich keine mühe gescheut uns Physikalische Vorgänge naher zu bringen und zu erklären. dem Umstand hatte ich damals aber eher wenig Beachtung geschenkt. das tue ich erst heute und nachträglich und bin der Frau unendlich dankbar für ihre Mühen. schade nur dass ich ihr das nicht mehr sagen kann um mich zu bedanken… sie ist schon vor vielen Jahren verstorben. Physik war auch immer der Fach in dem ich in meiner ganzen Schulzeit am besten war. Danach kam Bio, Geographie und dann auch Mathe. in Polnisch oder Russisch war ich immer ziemlich mäßig *gg

  14. #14 Name auf Verlangen entfernt
    6. Juni 2012

    @ Freistetter: Mal testen, ob das hier durchgeht, wenn Du schon wieder mit meinem Namen rumhausierst; der Einfachheit halber poste ich´s auch auf dem Nachbarblog (den es auch betrifft), damit ein wenig offenbar wird, daß Du Deinen gerufenen Diskussionsteilnehmern u.U. vorab sehr klug den Mund verbietest:

    Lieber Herr Termin, tragen Sie Ihre Diskussionen und Ihren Blödsinn bitte nicht auch noch hier herein, vielen Dank.

  15. #15 Name auf Verlangen entfernt
    6. Juni 2012

    @ Bäker: Das tut mir leid, aber vielleicht sollten Sie doch vorbei ein bischen über das 1-dimensionale philosophieren, und sich fragen, ob es denn sowas geben kann? Mathe ist eben doch nicht die Realität. Ich poste dann der Einfachheit halber beim Wissenschaftsfeuilleton. Denn geantwortet soll doch werden.

  16. #16 MartinB
    6. Juni 2012

    @MT
    “ob es denn sowas geben kann?”
    Einen eindimensionalen Raum? Vermutlich nicht, jedenfalls nicht in einem irgendwie interessanten Universum.

    Das spielt hier allerdings überhaupt keine Rolle, da es hier um ein Modell geht, das nicht darauf abzielt, die Realität zu beschreiben sondern nur darauf, eine Theorie an einem einfachen Beispiel zu erklären.

    PS: Wann war noch mal der Untergang der Titanic?

  17. #17 Name auf Verlangen entfernt
    6. Juni 2012

    @ MartinB: “Ein einfache Beispiel” – ? – das klingt klug: nach welchen Analogie-Kriterien gleich noch mal?! Die Geschichten-Erzählerei ist eine der großen Stärken relativistischer Märchen-Onkel.

  18. #18 Niels
    6. Juni 2012

    @MartinB
    Ich hab diesen Teil und den direkten Vorgänger gerade noch einmal gelesen und diesmal hab ichs verstanden. 🙂

    Wobei mich die Veranschaulichung mit den Federn am Anfang und beim ersten Lesen eher verwirrt hat, weil ich das simultan gedanklich immer zurück zum Feld Phi und der allgemeineren Beschreibung hin zu “übersetzen” versuche. Daran ist es dann beim letzten Mal vermutlich gescheitert.
    Ist aber bestimmt kein Problem, dass bei besonders vielen Lesern auftritt.

    Den ganz neuen Teil finde ich zum Beispiel leichter verständlich. Kommt mir zwar selbst etwas seltsam vor, ist aber so.

  19. #19 MartinB
    7. Juni 2012

    @Niels
    Da bin ich ja erleichtert.
    Mag sein, dass der nächste Teil leichter verständlich ist, weil ich’s da selbst endgültig begriffen hatte – dieser Teil und der vorige enthielten ja meine etwas wirren Gedankengänge, mit denen ich mir selbst hergeleitet habe, wie das Vakuum so etwa aussehen müsste (bevor ich dann die Wunderformel im Hatfield gefunden und begriffen habe).