Und Nichts (nämlich das Vakuum) zu verstehen, ist gar nicht so einfach. Nach all dem Vorgeplänkel sind wir aber nun soweit. Beim letzten Mal habe ich ja schon einen kleinen Einblick gegeben, was im Vakuum so alles los ist. Heute schauen wir uns im Detail an, wie das Vakuum funktioniert, und nehmen es auch gleich als Ausgangspunkt, um (beim nächsten Mal) überhaupt alle Zustände zu verstehen.
Wir hatten gesehen, dass auch im Vakuum das Feld φ(x) nicht einfach überall Null ist, sondern eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für unterschiedliche Werte hat. In unserem Ein-Punkt-Universum hatte φ(x) eine Verteilung um den Nullpunkt, die genau aussah wie die im Grundzustand des harmonischen Oszillators.
Im Zwei-Punkt-Universum hatten wir dann gesehen, dass die Felder an benachbarten Punkten miteinander korreliert sind, das Argument war aber nur qualitativ und etwas wischi-waschi (es war ja auch von mir…).
Unsere Aufgabe ist jetzt die Folgende: Wir wollen wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist, im Vakuumzustand eine bestimmte Feldkonfiguration φ(x) zu finden – mit anderen Worten, wie groß ist der Beitrag dieser Feldkonfiguration zum Vakuumzustand?
Da es überabzählbar unendlich viele mögliche Konfigurationen gibt, trägt eine ganz bestimmte natürlich nur mit Maß Null bei – eigentlich müsste man hier noch passende Wahrscheinlichkeitsmaße definieren und dafür sorgen, dass alles korrekt normiert ist.
Ich mache mir hier diese Mühe aber nicht, denn mich interessieren vor allem Verhältnisse von Wahrscheinlichkeitsamplituden – wieviel mehr trägt die eine Konfiguration bei als die andere?
Dazu brauchen wir wieder einmal eine etwas andere Darstellung, nämlich die mit Wellen. Dank des guten alten Fourier-Tricks, den ich vor einiger Zeit erklärt habe, können wir jede Feldkonfiguration φ(x) als Überlagerung von ebenen Wellen darstellen. Man bekommt wohl am besten ein Gefühl für diese Wellen-Zerlegerei (vornehm Fourier-Transformation), wenn man sich einfach ein paar Funktionen und ihre Fourier-Transformierte anguckt. Sehr viele (ausführlich vorgerechnete) Beispiele und eine ausgezeichnete ausführliche Erklärung findet ihr auf der Seite thefouriertransform.com. Hier ein paar Bildchen – folgt dem Link oben für eine ausführlichere Erklärung. Als erstes betrachten wir einfache Rechtecke und ihre Fourier-Transformation:
Links seht ihr die Funktion, rechts seht ihr, welche Wellenlängen wie stark zu dieser Funktion beitragen, wenn ich sie mit ebenen Wellen beschreibe.
Hier könnt ihr schon die für uns wichtigste Eigenschaft der Fourier-Transformation erkennen: Je enger begrenzt eine Funktion ist, desto breiter ist ihre Fourier-Transformation. Es tragen also sehr viele Wellenlängen bei, wenn ihr einen eng begrenzten Puls habt, aber nur wenige, wenn der Puls sehr breit ist. Der Extremfall ist eine echte ebene Welle – die ist unendlich ausgedehnt und ihre Fourier-Transformierte ist nur an einem Punkt ungleich Null, nämlich genau bei dem Wert der Wellenzahl, die zu dieser Wellenlänge gehört.
Die Wellenfunktionen des Grundzustands des harmonischen Oszillators, die wir die letzten Male hatten, waren ja Gaußkurven. Hier noch ein paar Gauß-Fouriertransformationen:
Auch hier seht ihr wieder dasselbe Spiel: Je enger die Kurve, desto breiter die zugehörige Fouriertransformierte. In mehreren Dimensionen sieht das übrigens ganz ähnlich aus – eine mehrdimensionale Gaußglocke hat eine entsprechende Glocke als Fouriertransformierte und auch hier gelten dieselben Regeln.
So, nun aber zurück zu unserem Quantenfeld. Wir berechnen also zu unserer Feldkonfiguration φ(x) die zugehörige Fouriertransformierte φ(k) und setzen das Feld so aus ebenen Wellen zusammen.
Der Vorteil dabei ist, dass die ebenen Wellen eine Lösung unserer klassischen Gleichung waren. Das führt dazu, dass es – anders als bei der Darstellung über den Ort – gerade keine Korrelationen zwischen unterschiedlichen Wellen mehr gibt. Das bedeutet: Wenn zwei unterschiedliche Feldkonfigurationen φ1 und φ2 für einen bestimmten Wert des Wellenvektors k dieselbe Fourier-Komponente φ(k) haben, dann gilt für diese auch dieselbe Formel für die Wahrscheinlichkeitsamplitude. (Falls euch das zu schnell ging, keine Sorge, das wird gleich noch deutlicher werden.)
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