Um uns das Leben einfacher zu machen, gucken wir uns erst Mal nur eine einzige Komponente dieser Fouriertransformierten an. Wir entscheiden uns also für einen bestimmten k-Wert. Anschaulich heißt das, dass wir eine bestimmte Wellenlänge und damit auch eine bestimmte Energie festlegen, die uns interessiert.
Ich nenne diesen Wert des Wellenvektors k1. (Ich finde es in Physikbüchern immer störend, wenn nicht deutlich wird, ob in einem Symbol wie φ(k) nun die Funktion als Ganzes oder ihr Wert an einer bestimmten Stelle gemeint ist, deswegen versuche ich es hier besser zu machen.) Wenn wir in einer Dimension sind, dann ist k=2π/λ, wenn wir also den Beitrag einer Welle mit Wellenlänge 1 Meter zum Vakuumzustand berechnen wollen, dann ist k1=6,28/Meter. Die zugehörige Energie können wir aus
E2=k12+m2
berechnen; wie üblich in Einheiten c=?=1. Auf vielfachen Wunsch eines Kommentators hier aber ausnahmsweise nochmal mit allen Naturkonstanten (und hoffentlich ohne Rechenfehler):
E2=?2c2 k12+m2c4
Was können wir jetzt über den Beitrag von φ(k1) zum Vakuumzustand sagen? Im Mittel über viele Messungen muss – ganz analog wie beim Gundzustand des harmonischen Oszillators oder wie in unserem Ein-Punkt-Universum – der Wert von φ(k1) verschwinden. Warum? Weil wir sonst – im Mittel – kein Vakuum messen würden. Zumindest im Mittel sollte ja an jedem Raumpunkt φ(x)=0 sein. Wenn aber an jedem Raumpunkt φ(x) im Mittel verschwindet, dann muss im Mittel auch φ(k1) verschwinden.
Vornehm ausgedrückt, ist also der Vakuumerwartungswert von φ(k1) gleich null. Das können wir so schreiben:
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für φ(k1) kann aber nicht einfach gleich Null sei, sonst wäre das Vakuum absolut leer und das Feld würde immer und überall verschwinden – dass es das nicht tut (sondern eben nur im Mittel), haben wir letztes Mal gesehen. Wir können deshalb erwarten, dass für φ(k1) Ähnliches gilt wie für φ(x) im Ein-Punkt-Universum. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für φ(k1) – wir könnten sie auch “Wellenfunktion” nennen – ist um Null zentriert (weil der Vakuumerwartungswert gleich Null ist) und fällt nach außen hin ab.
Basierend auf einem Bild von AllenMcC. – File:HarmOsziFunktionen.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11623546
Praktischerweise ist die mathematische Funktion, die hinter dieser Kurve steckt, wieder exakt dieselbe, die auch den Grundzustand des harmonischen Oszillators beschreibt – nur mit passenden Ersetzungen für die Variablen, ähnlich zu unserer Übersetzungstabelle von neulich. (Die genaue Formel kommt nachher im Warn-Abschnitt.) Deswegen konnte ich auch das Bild von neulich recyclen. An dieser Kurve können wir also ablesen, wie wahrscheinlich es ist, dass wir im Vakuum bei einer Messung einen bestimmten Wert von φ(k1) bekommen würden.
Der Abfall nach außen (zu größeren φ(k1)-Werten) wird dabei durch die Frequenz (oder Energie) ω beeinflusst, also durch k12+m2. Je größer ω, desto schmaler ist die Kurve, desto unwahrscheinlicher sind also große Werte von φ(k1). Das ist eigentlich auch logisch, weil sowohl hohe Masse als auch kurze Wellenlänge (also großes k12) zu hohen Energien führen. Entsprechend wird die Gaußkurve für große Werte von k immer enger, und für Teilchen mit großer Masse ist sie generell enger als für solche mit kleiner.
Bei der Berechnung von Pfadintegralen haben wir gesehen, dass Konfigurationen mit großem Wert der Wirkung (also auch hoher Energie) wenig beitragen, weil sich der Einfluss benachbarter Pfade weghebt. Auch vom Standpunkt der Unschärferelation ist das ein Ergebnis, das man intuitiv erwarten würde: Je höher die Energie, desto kleiner der Beitrag. Dies ist dann letztlich auch der Grund dafür, warum man in anschaulichen Erklärungen oft liest, dass “Vakuumfluktuationen” um so unwahrscheinlicher sind, je höher ihre Energie ist.
Betrachten wir den Fall k1=0, also ein Feld, das überall im Raum den gleichen Wert hat (denn zu k1=0 gehört ja eine unendlich große Wellenlänge, also ein konstantes Feld). Für diesen k-Wert ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, einen großen Wert zu finden, insgesamt am größten, weil die Breite der Kurve am größten ist. Wenn die Masse sehr klein wird, dann werden immer größere Werte von φ(0) möglich.
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